Soutenance mémoire
Schémas de commande adaptative
Séquencement de gain et commande linéaire à paramètres variants
On suppose qu’une modélisation du système est connue, mais que les paramètres de ce système ne sont pas connus a priori mais uniquement en temps réel. On cherche alors à concevoir un contrôleur dépendant de ces paramètres. Les deux paragraphes suivants donnent un bref aperçu des deux principaux types de commande dans un tel contexte, à savoir la commande par séquencement de gain et la commande linéaire à paramètres variants.
Séquencement de gain
La technique de séquencement de gain, ou « gain-scheduling », apparue dans les années 1960, permet de décrire un système non linéaire grâce à un ensemble de systèmes linéaires. Plus précisément, elle consiste dans un premier temps à définir un maillage du domaine de fonctionnement du système non linéaire considéré, puis à linéariser le système autour de chaque point de ce domaine. On peut alors appliquer des méthodes d’analyse ([SA90]) et de synthèse de correcteurs ([MAS03], [BMC05]) classiques locales sur chaque système linéaire. Enfin, on réalise une interpolation pour obtenir une loi globale (voir [LL00], [RS00] et [Ilk15] pour un état de l’art sur le sujet). L’inconvénient majeur de la technique du gain-scheduling est qu’elle n’assure la stabilité du système qu’à ses points de fonctionnement. Aucune preuve de stabilité globale n’est garantie. Cela peut poser problème dans le cas où les paramètres du système ont des variations rapides ([SA91]). Cependant, les systèmes contrôlés par gain-scheduling ont un bon comportement en pratique ([ASB92], [YL03], [BRK06], [PVSD+06], [LWZX12]).
Commande linéaire à paramètres variants (LPV)
La commande LPV a été introduite dans les années 1990 afin de palier le problème de la preuve de stabilité globale que pose le séquencement de gain ([Sha12], [AG95], [Wu95], [Hel99], [BB00], [Sen16]). On considère qu’un système de représentation d’état :
x˙(t) = A(ρ)x(t) (1.1.1)
où ρ = ρ(t) 2 D est un vecteur de paramètres variants dans le temps, supposés connus pour tout t, et D un ensemble convexe.
Remarque 1.1. Certains systèmes non linéaires sont LPV ([Bia13]).
On distingue alors deux types de représentations des systèmes LPV :
— La représentation polytopique (1.1.1) ([BA99]) consiste en un ensemble de N matrices dont l’enveloppe convexe contient A(ρ) pour tout ρ ∈ D. Plus le nombre N de sommets est élevé et plus le modèle sera précis. En contrepartie, un nombre de sommets élevé rendra l’analyse et la synthèse d’un contrôleur plus complexe. Inversement, plus N est faible et plus l’analyse et la synthèse d’un contrôleur sera simple, mais les résultats obtenus seront fort pessimistes.
— Contrairement à la représentation polytopique, la transformation linéaire fractionnaire (LFT) permet de représenter de manière exacte tout système LPV (1.1.1) qui dépend des paramètres de manière polynomiale ou rationnelle ([DPZ91], [HV04], [Mag05]).
Dans le cas particulier où les matrices du système LPV (1.1.1) sont des fonctions affines de θ , les représentations polytopique et LFT sont équivalentes. Dans le cas général, seule la représentation LFT a l’avantage de représenter exactement le système LPV (1.1.1). Néanmoins, les critères de stabilité d’un système LPV (1.1.1) peuvent être plus pessimistes avec une représentation LFT qu’avec une représentation polytopique. Une étude comparative des deux représentations est disponible dans [Bia10]. A partir de la représentation du système LPV (1.1.1), on en déduit des conditions de stabilité ([AG95], [Des09]) et des méthodes de synthèse de correcteurs ([GA94], [AG95], [PVSD07], [GHBB10]). Certaines de ces conditions se présentent sous forme d’inégalités matricielles linéaires (LMI), outil introduit dans la section 3 de ce chapitre et qui peut être utilisé en commande adaptative.
Commande adaptative indirecte
Au lieu de mesurer en temps réel les paramètres d’un système, une autre approche est de les estimer. On parle alors d’identification (et non de mesure) des paramètres en temps réel, ou de commande adaptative indirecte, par opposition à la commande adaptative directe qui sera introduite dans la sous-section suivante. Un comparatif des deux techniques fait l’objet de [LD86].
La commande adaptative indirecte est un concept naturel : un contrôleur est mis à jour en temps réel en fonction de l’estimation des paramètres du système . L’estimation des paramètres peut aussi être appuyée par une estimation du vecteur d’état du système ([HC10]). Parmi les nombreux travaux sur la commande adaptative indirecte, on peut citer [KKK95], [IS96], [AKO07] ou encore [CH08]. Néanmoins, la conception d’un contrôleur adaptatif indirect repose sur de fortes hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiables/vérifiées :
— La possibilité de séparer l’estimateur du contrôleur est nécessaire ([Kal58], [PEH17a]) . Or, en pratique, cette séparation peut s’avérer impossible. C’est notamment le cas lorsque le système a des dynamiques non modélisées ([Ast84], [RVAS85]) ou qu’il a des incertitudes, cas qui nous intéressera dans l’ensemble du manuscrit.
— La présence d’un estimateur requiert une importante puissance de calcul. Or, on verra dans la partie applicative de ce manuscrit que le contrôleur a pour vocation d’être implémenté à bord d’un satellite.
— Afin de pouvoir estimer ses paramètres mal connus, le système a besoin d’être excité. Plus l’excitation est importante et plus l’estimation sera précise. Mais de fortes excitations peuvent avoir de mauvais effets sur le système. Un compromis est donc à trouver ([IK82], [NA87], [KHA13]).
Au vu de ces inconvénients, des études ont été menées afin de modifier les algorithmes de commande adaptative indirecte ([PN82], [KN82]). Une de ces modifications consiste à limiter les gains adaptatifs grâce à la σ-modification .
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Table des matières
INTRODUCTION
I Résultats théoriques et méthodologiques
1 Etat de l’art
1.1 Schémas de commande adaptative
1.1.1 Séquencement de gain et commande linéaire à paramètres variants
1.1.2 Commande adaptative indirecte
1.1.3 Commande adaptative directe
1.1.4 Commande adaptative avec modèle de référence (MRAC)
1.1.5 Conclusions
1.2 Commande adaptative directe basée sur la passivité
1.2.1 Les systèmes passifs
1.2.2 Les systèmes « presque » passifs
1.2.3 Les systèmes « G-passifs »
1.2.4 Les systèmes « presque G-passifs »
1.2.5 Passification des systèmes carrés par un gain en parallèle
1.2.6 G-passification des systèmes stables par un gain en parallèle
1.2.7 Modifications de la loi de commande adaptative
1.2.8 Conclusions
1.3 Cas des systèmes linéaires et résultats LMI
1.3.1 Inégalités matricielles linéaires
1.3.2 Inégalités matricielles et commande adaptative directe
1.3.3 Extensions à la commande structurée
1.3.4 Implémentation et modifications
1.4 Conclusions
2 Systèmes descripteurs incertains
2.1 Systèmes descripteurs
2.1.1 Définition des systèmes descripteurs
2.1.2 Stabilité des systèmes descripteurs
2.2 Systèmes descripteurs incertains
2.2.1 Définition des systèmes descripteurs incertains et résultat fondamental
2.2.2 Stabilité des systèmes descripteurs incertains
2.3 Exemple
2.3.1 Système sans incertitude
2.3.2 Système avec incertitude
3 Conception d’un contrôleur adaptatif direct robuste
3.1 Hypothèse d’existence d’un correcteur LTI stabilisant
3.2 Expression mathématique du contrôleur adaptatif
3.2.1 Structuration des gains adaptatifs
3.2.2 Equation différentielle régissant l’évolution des gains adaptatifs
3.3 Conception d’un contrôleur adaptatif robuste à l’aide de méthodes LMI
3.3.1 Théorème
3.3.2 Preuve
3.4 Conception d’un contrôleur adaptatif robuste à robustesse améliorée
3.4.1 Théorème
3.4.2 Preuve et remarques
3.5 Exemple
3.5.1 Conception du contrôleur adaptatif à robustesse équivalente
3.5.2 Amélioration de la robustesse du contrôleur adaptatif
3.6 Conclusions
4 Performance L2 d’un contrôleur adaptatif robuste
4.1 Position du problème
4.1.1 Ecriture du système perturbé
4.1.2 Définition du critère de performance
4.2 Performance L2 d’un retour de sortie statique robustement stabilisant donné
4.2.1 Théorème
4.2.2 Preuve
4.3 Performance L2 d’un contrôleur adaptatif robuste
4.3.1 Résultat théorique sur la performance L2 du contrôleur adaptatif robuste
4.3.2 Preuve
4.3.3 Synthèse du correcteur adaptatif performant
4.4 Exemples
4.4.1 Suspension de voiture
4.5 Conclusions du chapitre 4 et de la partie I
II Application au contrôle d’attitude de satellites
5 Le contrôle d’attitude des satellites Myriade
5.1 Position du problème du contrôle d’attitude
5.1.1 Les satellites de la filière Myriade
5.1.2 Architecture et boucle SCAO
5.2 Etat de l’art sur le contrôle d’attitude des satellites Myriade
5.2.1 Résumé des travaux précédents
5.2.2 Conclusions
6 Application des résultats théoriques au contrôle d’attitude d’un satellite 3 axes
6.1 Satellite contrôlé par retour de sortie statique
6.1.1 Description du système à contrôler
6.1.2 Modélisation du système à contrôler et expression du contrôleur statique
6.2 Expression des contrôleurs adaptatifs et application des résultats théoriques des chapitres 3 et 4
6.2.1 Contrôleur adaptatif (6.2.1)
6.2.2 Robustesse améliorée du contrôleur adaptatif (6.2.1)
6.2.3 Performance L2 du contrôleur adaptatif robuste (6.2.3)
6.3 Résultats des simulations
6.3.1 Contrôleur adaptatif (6.2.1) à robustesse équivalente
6.3.2 Contrôleur adaptatif (6.2.1) à robustesse améliorée
6.4 Conclusions
7 Validation de la loi de commande adaptative robuste sur un simulateur complet
CONCLUSION
