Soutenance mémoire
Dérivation de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs polynomiaux
Théorème 3.1. [49] Toute dérivation de l’algèbre de Lie des champs polynomiaux P est intérieure par rapport au normalisateur N de P. De plus D “ LpF`Xq avec X P H0 et F P PzH0. Nous remarquons que le champ F ` X du Théorème3.1 peut ne pas être dans P, car LX avec X un champ linéaire diagonal est toujours une dérivation de P. Or, tous les champs linéaires diagonaux ne sont pas forcément dans P.
Proposition 3.2. [49] Le centralisateur CpPq de P est nul.
Théorème 3.3. [49] Le premier espace de cohomologie de Chevalley-Eilenberg de P noté H1 pPq est isomorphe à une R´sous-algèbre de Lie de H0. Si tous les champs linéaires diagonaux appartiennent à P alors H1 pPq est nul.
Corollaire 3.4. [49] Toute dérivation de N est intérieure.
Particulièrement, nous montrons que toute dérivation des champs de vecteurs polynomiaux P sur R est intérieure, toute dérivation des champs de vecteurs polynomiaux P de dimension infinie sur R2 est intérieure.
Sur la dérivation de l’algèbre de Lie d’une distribution involutive
Théorème 3.5. [46] Toute dérivation de l’algèbre de Lie d’une distribution involutive Ω de M est une dérivée de Lie par rapport à un et un seul champ de vecteurs sur M. On remarque que tous les résultats principaux ci-dessus restent valable dans le cas d’une distribution. De plus nous trouvons les résultats suivants
Théorème 3.6. [46] L’algèbre de Lie χcpF q “ χpF qXCc est un idéal caractéristique de χcpF q tel que rχc pF q,χcpF qs “ χcpF q. Si @x P M, DX P χc pF q tel que Xpxq ‰ 0, alors le centralisateur de χcpF q est nul et H1pχcpF qq “ NpF q{χcpF q. C’est une généralisation, en partie, dans le cas non régulier d’un théorème dans [33] p.64.
Théorème 3.7. [46] L’idéal dérivé de χpF q est égal à χpF q. Si le feuilletage est non singulier, c’est-à-dire que chaque feuille a une dimension supérieure ou égale à un, alors le centralisateur de χpF q est nul et H1 pχpF qq – NpF q{χcpF q, H1pNpF qq – t0u, H1pLpF qq –NpF q{LpF q.
Nous avons remarqué que si le feuilletage F est régulier alors on retrouve un théorème de Kanie cf.[29] p.487 et certains résultats de Lichnérowicz cf.[33] p.55, p.64, p.69, à partir du Théorème précédent.
Correspondance entre groupe de Lie et algèbre de Lie des champs de vecteurs polynomiaux
Proposition 4.13. Soient P et Q deux groupes de Lie des algèbres de Lie des champs polynomiaux P et Q respectivement sur Rn. Si f : P Ñ Q est un morphisme de groupes de Lie alors la différentielle df de f définie par df p1q : P Ñ Q est un morphisme d’algèbres de Lie des champs polynomiaux sur Rn. Il suffit de vérifier qu’il existe un foncteur noté T de la catégorie de groupes de Lie à la catégorie de R-algèbres de Lie des champs polynomiaux. Ensuite, nous pouvons montrer que pour les groupes de Lie P et Q des algèbres de Lie P et Q respectivement, si f : P Ñ Q est un morphisme de groupes de Lie alors Tef : P Ñ Q est un morphisme d’algèbres de Lie des champs polynomiaux, où e est l’élément neutre de groupe de Lie G et Te f désigne l’application tangente de f vers le point e.
Proposition 4.14. Soit P un groupe de Lie. S’il existe un groupe de Lie connexe et simplement connexe P˜ dont l’application π de P˜ vers P est un revêtement, alors l’application tangente dπ des algèbres de Lie Lie ` P˜˘ vers Lie pP q est un revêtement universel de P . On peut restreindre Lie `P˜˘ sur Rn. En effet, soit P un groupe de Lie. Sur Rn , nous savons qu’il existe un autre groupe connexe et simplement connexe P˜ tel que l’application π : P˜ Ñ P est un morphisme de groupes de Lie. Alors π est un revêtement. En prenant la différentielle dπ de π et d’après les Théorèmes et Propositions (3.22-26) de [67], nous obtenons un isomorphisme dπ des algèbres de Lie des champs polynomiaux Lie ` P˜˘ vers Lie pP q. Or Kerπ est un sous-groupe distingué central de P˜ tel que P˜{Kerπ est isomorphe à P et la différentielle dπ est définie par dπ : Lie `P˜˘ÝÑ Lie pP q. Le théorème d’Ado pour les groupes de Lie affirme que pour tout groupe de Lie, il existe une représentation sur un sous-espace de GLn pRq ce qui entraine que toute algèbre de Lie de dimension finie est isomorphe à l’algèbre de Lie d’au moins un groupe de Lie. De plus, étant dans le cas connexe et simplement connexe et, en vertu du 3ème Théorème de Lie, le foncteur T défini dans la Proposition 4.13 cidessus est alors unique. D’où dπ est un revêtement universel.
Théorème 4.15. Soient P et Q deux groupes de Lie d’algèbres de Lie P et Q respectivement et, ϕ : P ÝÑ Q un morphisme d’algèbres de Lie. Si P est simplement connexe alors il existe un unique morphisme des groupes de Lie associé f : P ÝÑ Q tel que df “ ϕ. Ceci découle du Théorème 3.27 de [67].
Corollaire 4.16. Toute algèbre de Lie des champs polynomiaux P sur Rn détermine un groupe de Lie connexe et simplement connexe P correspondant. C’est immédiate, car d’après le Théorème 4.15, P et Q sont des espaces connexes et simplement connexes alors ϕ est un unique isomorphisme global.
Théorème 4.17. Il existe une correspondance algébrique entre les propriétés des algèbres de Lie des champs de vecteurs polynomiaux de dimension finie et des groupes de Lie associés. En effet, soient P et Q deux groupes de Lie, une application C8 notée ψ : P ˆ Q ÝÑ Q tels que p ÞÝÑ ψpp,.q est un morphisme de P dans les groupes des automorphismes Q, alors P ˆψ Q est un groupe de Lie. La différentielle ψppq de ψpp,.q en identité de Q est un morphisme C8 de P dans les automorphismes de Q. Sa différentielle dψ est un homomorphisme de P dans DerR pQq et l’algèbre de Lie de P ˆψ Q est P ‘dψ Q. Réciproquement, comme P et Q sont de groupes de Lie connexes et simplement connexes et en considérant un homomorphisme d’algèbres ϕ : P ÝÑ DerpQq alors il existe une seule action ψ de P sur Q telle que dψ “ ϕ et P ˆψ Q soit un groupe de Lie connexe et simplement connexe et, d’algèbre de Lie P ‘dψ Q. Ce qui termine notre preuve. Il n’y a pas de raison à voir la correspondance dans le cas de dimension infinie.
Atouts de M.F. Anona vis-à-vis de ses activités de recherche
Manelo Fréderic Anona est un mathématicien malgache spécialiste en géométrie différentielle et théoricien en divination malgache, ancien élève de J. L. Koszul et de J. Klein. A son retour au pays, il a combiné les activités d’enseignant et de chercheur avec celles d’un opérateur économique. Il était aussi Ministre du Commerce (début de la 3ème République). M. F. Anona est marié et père de trois enfants. D’après lui, ”un mathématicien est une personne capable de trouver les moyens nécessaires afin de réaliser tous ses objectifs quel que soit la difficulté rencontrée.” Grâce à ses qualités professionnelles, le Laboratoire d’Algèbre et Géométrie de l’université d’Antananarivo qu’il a créé maintient toujours son rythme de croisière malgré les circonstances difficiles et les contextes de crise traversés par son pays. Ce mathématicien est né le 17 mars 1947 à Antalaha, Madagascar donc sous le signe astrologique du Poisson/Porc, et par là, [68] il est donc particulièrement en relation avec les côtés cognitif et émotionnel cf.[60] et [1], il a un esprit très intuitif, est sensitif, est attiré par l’irrationnel et, a une certaine conscience universelle ou cosmique. Il a aussi un idéal hypersensible et cette hypersensibilité a du mal à s’exprimer avec des mots, ou à trancher d’une façon claire cf.[59]. Donc, il est plutôt attiré par l’infini, que ce soit l’infini physique de l’océan, du cosmos ou l’infini métaphysique d’une religion, d’une foi cf.[3]. Il est de la race des ambitieux, des grands réalisateurs. Il a un sens profond de la grandeur ainsi que le sentiment d’une oeuvre à accomplir et surtout un certain don d’observation. [31] s’ajoute à cela le fait que son adhérence aux phénom ènes de coopération ou de Aperçu sur la vie de quelques mathématiciens 38 compétition est aléatoire. Dans [12], on a précisée que pour un type comme Anona : se manifester et s’assumer sont deux points qui demandent un effort particulier.
|
Table des matières
Remerciements
Avant-propos
Introduction générale
I SYNTHÈSE DES ACTIVITÉS
1 Responsabilités académiques
1.1 Introduction
1.2 Parcours scientifique
1.3 Responsabilités pédagogiques
1.4 Déroulement de carrière
1.5 Enseignements
2 Travaux d’encadrement, Conférences, Visites scientifiques et autres
2.1 Introduction
2.2 Travaux d’encadrement
2.2.1 En thèse de doctorat
2.2.2 En DEA (Diplôme d’Etudes Approfondies)
2.2.3 En Master 2
2.3 Participation aux conférences et colloques
2.4 Visites scientifiques et participation au Congrès international des mathématiciens
2.5 Autres contributions
II ACTIVITÉS DE RECHERCHE PROPREMENT DITES
3 Dérivations de quelques algèbres de Lie des champs de vecteurs
3.1 Dérivation de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs polynomiaux
3.2 Sur la dérivation de l’algèbre de Lie d’une distribution involutive
3.3 Sur la dérivation de l’algèbre de Lie d’un système des champs de vecteurs permutables
3.4 Sur la dérivation de l’algèbre de Lie associée à une connexion
3.5 Sur les algèbres de Lie isotropes des champs de vecteurs définies par un affineur
4 Structures algébriques de certaines algèbres de Lie des champs polynomiaux
4.1 Introduction
4.2 Notations et préliminaires
4.2.1 Etude de certaines algèbres de Lie des champs polynomiaux
4.3 Correspondance entre groupe de Lie et algèbre de Lie des champs de vecteurs polynomiaux
5 Sur la famille des polynômes d’Ehrhart
5.1 Généralités
5.2 Sur les contre-exemples de la conjecture de Beck et autres
6 Aperçu sur la vie de quelques mathématiciens
6.1 Généralité
6.2 Atouts de M.F. Anona vis-à-vis de ses activités de recherche
6.3 S. Mori et ses richesses internes
6.4 Un coup d’oeil sur la vie de Leibniz
6.5 Forte personnalité de Perelman et ses mystères
6.6 Points communs de Leibniz et Perelman
7 Recommandations et perspectives
7.1 Recommandations
7.1.1 Recommandation globale
7.1.2 Sur la recherche en mathématiques
7.2 Perspectives de recherche
7.2.1 Volet algèbres de Lie des champs polynomiaux
7.2.2 Volet Algèbres de Lie des champs de vecteurs (en général)
7.2.3 Volet psychologie et découvertes mathématiques
7.2.4 Volet famille de polynômes d’Ehrhart
7.2.5 Volet théories de développement
Bibliographie
Télécharger le rapport complet
