Soutenance mémoire
Ce travail de doctorat a été préparé à l’École Centrale de Lille, au sein de l’équipe SyNer (Systèmes Non linéaires et à Retards) du Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS – UMR CNRS 8219). Il s’inscrit dans le cadre du projet Non-A (Non-Asymptotic estimation for online systems) soutenu par l’INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique). Ce travail a été réalisé sous la direction de M. Thierry Floquet, Chargé de recherche au CNRS, habilité à diriger des recherches au LAGIS.
Les activités de recherche des équipes SyNer et Non-A se situent dans le cadre général de l’estimation et de la commande des processus. Elles développent notamment une théorie de l’estimation bâtie autour de l’algèbre différentielle et du calcul opérationnel, pour une grande part, mais aussi de techniques à grands gains (modes glissants, commutations…). Ces deux approches conduisent notamment à l’estimation en temps fini.
Les travaux de cette thèse concernent les systèmes non linéaires plats. En considérant cette classe de systèmes, des algorithmes d’identification, d’observation et de commande ont été développés. Nous nous sommes alors intéressés à l’application de tels algorithmes sur des systèmes électromécaniques tels qu’un palier magnétique et plus particulièrement un Moteur Synchrone à Aimants Permanents (MSAP). Les deux bancs d’essais étant disponibles au laboratoire, tous les résultats présentés ont été appliqués expérimentalement.
Les MSAP sont largement utilisés dans l’industrie pour le suivi de trajectoires, spécialement dans les applications de fabrication pour les machines-outils ou encore en robotique. Ce type de machines présentent de nombreux avantages pour les asservissements de position et de vitesse (simplicité d’installation, souplesse d’emploi, robustesse, gamme de produits très large). Ces moteurs ont une plage de vitesses étendue. Ils ont un couple à l’arrêt important, et un bon rendement. De plus, la mise en œuvre et la commande en boucle ouverte est très simple. Cependant, les opérations en boucle ouverte sont limitées par la potentielle perte de synchronisme. Le MSAP fonctionne loin des fréquences de résonances et pour des trajectoires particulières, sans accélérations élevées.
Afin d’améliorer les performances de tels moteurs, la commande en boucle fermée avec un capteur de position ayant une précision suffisante a été introduite. Celle-ci permet de remédier aux inconvénients cités ci-dessus. Le modèle du MSAP est un système possédant la propriété de platitude, c’est-à-dire que toutes les variables d’états et les entrées peuvent être exprimées en fonction des sorties plates et de leurs dérivées successives. Un système plat est équivalent à un système linéaire commandable, cette propriété facilitant notamment la planification de trajectoire hors ligne. En contre partie, la commande en boucle fermée nécessite une bonne connaissance du modèle du moteur [Goeldel 1984] et [Engelmann 1995], ainsi que ses paramètres. En présence d’un capteur de position, on peut citer les articles de [Blauch 1993], [Kim 2002] et [Nahid Mobarakeh 2001] concernant l’identification des paramètres. Dans la littérature, on trouve également différentes lois de commande pour des asservissements en position ou en vitesse. On citera par exemple les méthodes de linéarisation entrée/sortie [Bodson 1993], de passivité associée à la platitude [Sira-Ramírez 2000] et par modes glissants [Zribi 2001], [Laghrouche 2003], [Nollet 2008], [Defoort 2009].
La commande en boucle fermée en présence de capteurs présente de nombreux avantages par rapport à la boucle ouverte. Cependant, les capteurs représentent un coût élevé, leur mise en place n’est pas toujours possible et ceux-ci peuvent également poser des problèmes de fiabilité. De récentes recherches tentent ainsi d’obtenir des performances similaires à la commande en boucle fermée avec capteurs, mais sur des systèmes sans capteur. Dans ce cas, sans capteur fait référence à des systèmes qui n’ont ni capteur de position ni de vitesse, mais conservant cependant les capteurs de courants. Ces méthodes s’appuient également sur la connaissance du modèle. Bien que la commande sans capteur ait été largement développée dans la littérature, la question de l’identification des paramètres sans capteur a reçu peu d’intérêt. On peut citer par exemple des méthodes utilisant des signaux particulier à l’arrêt ou avec des conditions de charges dans [Nee 2000], seulement pour l’identification des réactances d et q. D’autres méthodes d’identification en ligne sont présentées dans [Bolognani 1997] et [Lee 2004]. Cependant [Bolognani 1997] fournit uniquement des simulations, alors que dans [Lee 2004], la résistance du stator et la constante contre-FEM sont idientifiées. Dans [Ichikawa 2004], [Ichikawa 2006] et [Yoshimi 2010], l’identification est réalisée dans le repère d−q. La position nécessaire pour la transformation d − q est estimée sur la base des paramètres identifiés. Ce type de structure peut fonctionner en pratique, mais les garanties de stabilité et de convergence sont absentes. En ce qui concerne les lois de commande sans capteur, différentes approches ont été traitées. On peut, par exemple, mentionner les vues d’ensemble de [Johnson 1999] et [Schroedl 2004] traitant respectivement des moteurs « brushless » et des MSAP. Parmi les approches les plus courantes, on trouve la méthode d’injection de hautes fréquences ( [Jang 2004] et [Zhu 2009]), les approches basées sur des observateurs, comme le filtre de Kalman étendu, ( [Bolognani 2001] et [Bendjedia 2012]), les observateurs linéaires ( [Son 2002]), ou non linéaires ( [Poulain 2008], [Ortega 2011] et [Khlaief 2011]), les observateurs interconnectés adaptatifs ( [Hamida 2012]) ou encore les observateurs par modes glissants [Ezzat 2010], [Kim 2011] et [Fiter 2010].
Généralités sur la méthode algébrique
La méthode algébrique développée dans le projet Non-A est un outil non-asymptotique initialement introduit par M. Fliess et H. Sira-Ramirez [Fliess 2003b] dans le cadre de l’identification des paramètres pour des systèmes linéaires. Des outils similaires ont été développés en traitement du signal [Fliess 2003a], ou pour aboutir à l’estimation des dérivées [Fliess 2005a], [Mboup 2007b], [Liu 2008], [Mboup 2009], [Riachy 2010], etc. En pratique, un large éventail d’information n’est pas directement obtenu par la mesure. Des paramètres (constante d’actionneurs électriques, retards de trasmission, etc.), ou des variables internes (position, vitesse, couple, etc.) sont inconnus ou non mesurés. De plus, les signaux des capteurs sont fréquemment faussés et entachés par le bruit. Afin de commander, superviser, etc., un système et d’extraire les informations véhiculées par les signaux, on a souvent recours à l’estimation des paramètres ou des variables. Contrairement aux méthodes traditionnelles, les estimateurs définis sont “non-asymptotiques” : les solutions sont obtenues par des formules algébriques explicites. Ces techniques aboutissent en l’absence de bruits à une estimation en temps fini. Le problème se traduit par des formules algébriques exactes, dépendantes d’intégrales des signaux mesurés. Dans le cas où les signaux sont bruités, ces intégrales produisent un effet de filtrage intéressant [Fliess 2003a], [Fliess 2006]. Les fondements mathématiques apportés dans cette approche proviennent entre autres de [Fliess 1990], [Fliess 1995], [Fliess 2003a], [Fliess 2008a]. Ces outils sont basés sur l’algèbre différentielle et le calcul opérationnel. L’algèbre différentielle fournit un moyen puissant et élégant de développer des structures linéaires cachées en permettant aux cœfficients d’appartenir à un anneau/domaine plus riche. Les détails et définitions de l’algèbre différentielle ne sont pas rappelés dans ce manuscrit, ils sont largement décris dans les articles cités précédemment. Nous nous intéresserons davantage aux opérations réalisables dans le domaine opérationnel.
Dans le domaine de l’automatique, ces méthodes ont permis de traiter les problèmes suivants :
– estimation des paramètres [Mboup 2007a], [Morales 2010],
– estimation des retards [Belkoura 2009], [Ibn Taarit 2011]
– différentiation numérique [Mboup 2009], [Riachy 2010], [Riachy 2011]
– détection de changements brusques [Belkoura 2010], [Fliess 2010b], [Tiganj 2010],
– commande sans modèle [Fliess 2009], [Fliess 2010a]
– …
Les techniques algébriques ont également montré leur efficacité dans divers domaines industriels. On citera notamment :
– commande de véhicules [Villagra 2009], [Yu 2009], [Join 2008a], [D’Andrea Novel 2010],
– application aux systèmes électromécaniques [Gédouin 2009], [Eckhardt 2008], [Delpoux 2011], [Michel 2010],
– communication sécurisée [Zheng 2008], [Neves 2006], [Sira-Ramírez 2006],
– traitement d’images et de videos [Yu 2010a], [Yu 2010b], [Join 2008b], [Fliess 2005a], [Fliess 2005b],
– …
Structure générale des estimateurs
L’estimation pose problème dans les situations réelles en présence de signaux bruités ou autres entrées inconnues vues comme des perturbations. Cette section décrit comment la méthode algébrique permet d’aboutir à des estimateurs performants dans de telles situations. Avant tout, il est alors important d’introduire la notion de perturbations.
Perturbations
Les perturbations peuvent se décomposer en perturbations structurées et non structurées [Fliess 2008b]. Les perturbations sont dites structurées s’il existe un générateur différentiel Π défini dans [Fliess 2008b], tel que ce dernier annihile cette perturbation. Dans la plupart des cas les perturbations non structurées sont vues comme des variations hautes fréquences, autrement dit du bruit pouvant être atténuée par des filtres passe-bas tels que des intégrales.
Le développement de cet algorithme dans le domaine opérationnel est explicite. En revanche, dans le domaine temporel, la procédure pour l’obtenir est moins évidente, voire impossible. Notamment, le choix de la fonction C n+1 dans le domaine temporel, qui annihile les conditions initiales, est très simple dans cette exemple, mais peut se révéler plus compliquée dans certains cas. Les opérations permettant d’obtenir cet estimateur ne sont pas uniques. De récents travaux [Ushirobira 2011], [Ushirobira 2012] tentent de systématiser cette procédure, en proposant une méthodologie pour trouver des annihilateurs minimaux ainsi que des numérateurs différentiels ayant de bonnes propriétés une fois de retour dans le domaine temporel. L’expression de l’estimateur final est une expression dépendante du signal mesuré, utilisant seulement l’opérateur intégral.
Mise en œuvre
Dans le paragraphe précédent, nous avons décrit les étapes permettant d’obtenir des estimateurs algébriques. Il est important d’apporter certains éléments afin de mettre en œuvre ce genre d’algorithme. Les estimateurs algébriques s’expriment systématiquement sous la forme d’une combinaison d’expression (1.6). Leur expression est une intégrale sur l’intervalle [0, t[. Sur un long intervalle de temps la contribution du bruit de mesures et des termes non modélisés ont un effet néfaste sur le calcul des intégrales. On peut notamment citer [Liu 2011] concernant une étude sur la contribution du bruit sur les estimateurs. Afin de minimiser cet effet, les intégrales sont calculées sur une fenêtre glissante. L’idée est de calculer ces intégrales sur une fenêtre [t − Tf , t], ou Tf représente la taille de la fenêtre. Le choix de la longueur de la fenêtre permettra effectivement de minimiser cette erreur [Liu 2008].
Dans la littérature, on peut trouver différentes méthodes de mise en œuvre de ces estimateurs. Dans [Gensior 2007], à chaque instant d’échantillonnage, le résultat de l’intégrale sur cet échantillon est mis en mémoire. L’intégrale sur la fenêtre est égale à la somme des résultats de chaque échantillon de l’instant t−Tf à t. Afin d’évoluer le long du signal, une solution serait de recalculer cette somme à chaque instant. Afin de minimiser le temps de calcul, la solution proposée est de mettre à jour l’intégrale calculée à l’échantillon précédent en soustrayant le premier élément de la fenêtre et en y ajoutant le nouvel élément entrant. Cette méthode est très efficace en temps réel. Cependant, on remarque que l’intégrale (1.6) étant un produit de convolution, tous les points de la fenêtre changent à chaque instant.
L’approche utilisée pour calculer cette intégrale, est issue de [Mboup 2009]. L’intégrale sur l’intervalle [0, t] est réécrite sur un intervalle [0, Tf ]. Il faut noter que le “zéro” de ces deux intervalles est différent. Dans le second cas, il représente le début de la fenêtre, et évolue donc en même temps que celle-ci.
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Table des matières
Introduction
Chapitre 1 Outils et Méthodes
1.1 Introduction
1.2 Généralités sur la méthode algébrique
1.2.1 Structure générale des estimateurs
1.2.1.1 Perturbations
1.2.1.2 Construction de l’estimateur
1.2.2 Mise en œuvre
1.3 Généralités sur les modes glissants
1.3.1 Généralités
1.3.2 Algorithmes glissants d’ordre supérieur
1.4 Méthodes d’identification
1.4.1 Méthodes d’identification hors ligne
1.4.1.1 Méthode par moindres carrés
1.4.1.2 Théorie de l’élimination
1.4.2 Méthodes d’identification en ligne
1.4.2.1 Identification algébrique
1.4.2.2 Une application originale aux paliers magnétiques
1.4.2.3 Identification par modes glissants
1.5 Conclusion
Chapitre 2 Modélisation des moteurs synchrones à aimants permanents
2.1 Introduction
2.2 Principe de fonctionnement
2.3 Équations dynamiques des moteurs à aimants permanents
2.3.1 Équations électriques
2.3.2 Équations mécaniques
2.3.3 Équations de puissance
2.4 Différents repères pour la modélisation
2.4.1 Rappel sur le modèle dans le repère d − q
2.4.2 Modèle dans le nouveau repère f − g
2.4.3 Modélisation dans le cas où L2 est négligeable
2.5 Analyse du système
2.5.1 Commandabilité et observabilité
2.5.2 Platitude
2.6 Planification de la trajectoire
2.6.1 Position θr
2.6.2 Courant direct idr
2.7 Présentation du banc d’essai
2.8 Conclusion
Chapitre 3 Identification et commande en présence de capteurs mécaniques
3.1 Introduction
3.2 Identification hors ligne
3.2.1 Estimation des paramètres sur la base des mesures en régime permanent
3.2.2 Estimation de l’inertie sur la base de mesures en régime transitoire
3.2.3 Détection de l’angle de décalage du codeur (offset)
3.2.3.1 Procédure d’identification
3.2.3.2 Identification rapide de l’offset
3.3 Commande
3.3.1 Définition de l’erreur de poursuite
3.3.2 Commande par modes glissants d’ordre 2
3.3.2.1 Suivi du courant direct
3.3.2.2 Suivi de position
3.3.3 Estimations de l’accélération et du couple résistant
3.3.4 Stabilité de la boucle fermée basée sur l’observateur
3.3.5 Résultats expérimentaux
3.4 Identification en ligne
3.4.1 Paramètres électriques
3.4.1.1 Méthode algébrique
3.4.1.2 Modes glissants
3.4.1.3 Résultats expérimentaux
3.4.2 Paramètres mécaniques
3.4.2.1 Méthode algébrique
3.4.2.2 Modes glissants
3.4.2.3 Résultats expérimentaux
3.5 Conclusion
Conclusion
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