Soutenance mémoire
L’étude et l’analyse du comportement dynamique des systèmes mécaniques constituent un intérêt majeur dans le domaine industriel. Elles permettent de dépasser les domaines d’instabilités ainsi que la réduction des niveaux vibratoires. En effet, les conséquences néfastes que pourraient engendrer l’instabilité de tels systèmes imposent aux concepteurs d’établir, d’une façon rigoureuse prudente, une étude et une analyse détaillées de leurs comportements dynamiques avant d’envisager leurs implémentations réelles. La plupart des systèmes mécaniques sont caractérisés par la présence de paramètres incertains qui affectent leur robustesse vis-à-vis des zones de stabilité et d’instabilité et des niveaux vibratoires. La méthode de prise en compte des incertitudes est classée parmi les méthodes d’optimisation permettant de juger la robustesse des systèmes. Elle est appliquée généralement pour décrire le comportement complexe des systèmes mécaniques en tenant compte de plusieurs phénomènes étroitement couplés.
Transmission par engrenages
L’engrenage est l’organe de transmission de puissance par excellence. Il répond parfaitement aux exigences de rendement, de précision et de puissance spécifique imposées dans les architectures mécaniques modernes. Cette partie présente une synthèse bibliographique sur la transmission d’engrenage simple étage et à deux étages.
Transmission par engrenages simple étage
Pour étudier le comportement dynamique des transmissions par engrenages, on doit passer par la modélisation du système physique en le transformant en un modèle dynamique. La modélisation consiste à chercher la manière de prise en compte des constituants réels (roues, arbres, dents, …) dans les équations de mouvement qui décrivent le mouvement du système.
Modèles dynamiques d’une transmission par engrenages
Plusieurs travaux se sont focalisés sur la modélisation des systèmes d’engrenages et sont orientés vers des modélisations à paramètres concentrés (modèle masses ressorts) dans lesquels les engrenages sont assimilés à deux cylindres rigides liés par une raideur élastique qui représente la liaison entre dentures. Bard (Bard 1995) a étudié un modèle dynamique à deux degrés de liberté d’une transmission simple étage . L’interface d’engrènement est modélisé par une raideur fluctuante au cours du temps Kij(t) et une erreur de transmission εij(t). Cette modélisation est très simplifiée. Par contre Lin (Lin et al. 2001) a utilisé un modèle fait intervenir les flexibilités des arbres de liaison (Ks1, Ks2, Cs1 et Cs2) . L’interface d’engrènement est modélisée par une raideur Kg et un amortisseur Cg. Ces travaux ont montré qu’une transmission par engrenages participe de manière notoire à la production de vibrations et de bruits par des excitations localisées au niveau du contact entre dentures.
Modélisation de l’interface d’engrènement
La modélisation la plus simple consiste à introduire une raideur constante, indépendante de la charge transmise. Il s’agit d’un modèle linéaire à paramètre constant. Ce modèle s’appuie sur l’hypothèse que les variations de la raideur d’engrènement sont négligeables en supposant que l’aire de contact demeure constante. La première amélioration que l’on peut apporter au modèle précédent consiste à prendre en compte le nombre de dents en prise. Prenons le cas d’un engrenage droit où il y a une prise alternative entre une seule et deux paires de dents en prise lors de l’engrènement. Il s’agit d’un modèle linéaire et paramétrique qui est conditionné par :
– l’évolution du nombre de paires de dents en prise au cours de l’engrènement, typiquement de 1 à 2 pour des dentures droites, et 2 à 3 pour des dentures hélicoïdaux,
– l’évolution du point d’application des efforts sur chaque dent : une dent se déforme d’autant plus que le point d’application est proche de la tête.
En régime de fonctionnement stationnaire, la fluctuation de la raideur est périodique et induit ainsi une excitation paramétrique à la fréquence d’engrènement, produit du nombre de dents d’une des deux roues par sa fréquence de rotation, et ses premiers harmoniques. Ainsi, ce modèle rend compte du caractère périodique de la raideur. Lorsque le contact n’est assuré que par une paire de dents, la raideur d’engrènement est égale à la raideur d’une paire de dents en prise tel qu’introduite dans le modèle linéaire à paramètre constant. Dans le cas où le contact est assuré par deux paires de dents, la raideur d’engrènement est alors équivalente à celle de deux raideurs en parallèle. Ainsi, la raideur d’engrènement varie dans ce cas du simple au double (Walha 2008).
La seconde amélioration consiste à prendre en compte l’influence de la charge transmise. Il s’agit d’un modèle non linéaire et paramétrique qui reproduit le caractère non linéaire et périodique de la raideur en tenant compte de la relation non linéaire entre le rapprochement entre les dents en prise et la charge transmise, ainsi que du nombre de paires de dents en prise. Plusieurs études ont été effectuées sur la relation entre le nombre de dents en contact et la rigidité globale. (Kuang et al. 1992), (Kuang et al. 2003) ont monté que l’évolution du nombre de dents en contact est également responsable de l’évolution de la rigidité globale de l’engrènement dans le temps.
Modélisation par une approche réelle
Dans cette modélisation, le calcul de la rigidité découle du calcul de la déflection des dents δ(t) . Il est noté par déflection des dents le déplacement relatif des deux dents projeté sur la ligne d’action. L’étude de cette déflection sous charge a été largement prise en compte par les concepteurs afin d’estimer la capacité de transmission en charge des engrenages. D’après les travaux de Maatar (Maatar 1995), Parker (Parker et al. 2002), Chaari (Chaari 2005) et Walha (Walha 2008), la déflection totale que peut subir une dent au cours de l’engrènement est décomposée en trois composantes :
➤ la déflection due à la flexion de la dent : δf
➤ la déflection de la fondation de la dent et du corps de l’engrenage : δv
➤ la déflection de contact Hertzien : δh .
Erreur de transmission
Le point commun des recherches constitue la caractérisation de l’erreur de transmission. Cette erreur qui englobe les erreurs de fabrication, de montage et de fonctionnement associées au phénomène d’engrènement entre roues dentées est le thermomètre indiquant l’état de santé de ce type de transmissions. Elle est définie comme étant l’écart de position de la roue menée, pour une position donnée du pignon, par rapport à la position qu’elle devrait occuper si les engrenages étaient rigides et géométriquement parfaits.
L’erreur de transmission rend compte des déformations instantanées de dentures chargées et de l’influence d’écarts de forme et de montage.
Les travaux consacrés à l’analyse du comportement dynamique des réducteurs à engrenages reposent pour une large part sur la notion d’erreur de transmission introduite par Harris en 1958 (Harris, 1958). Vernay (Vernay 1999), Bourdon (Bourdon 1997) et Diab (Diab 2005) ont défini l’erreur de transmission comme une source d’excitation dans les systèmes d’engrenage. Chaari (Chaari 2005) a étudié l’effet de l’erreur de transmission sur un train épicycloïdal. En régime quasi statique, elle fournit une bonne indication sur la qualité des transmissions et peut être utilisée comme outil de contrôle (Velex 1988), (Yakhou 1999) (Reboul 2005). L’erreur statique de transmission est mesurée à des vitesses de fonctionnement très faibles. Pour des vitesses plus élevées, dés qu’il n’est pas possible d’exulter les phénomènes dynamiques, on parle d’erreurs dynamiques de transmission. De façon générale, l’erreur de transmission est divisée en trois groupes :
✯ Erreur de transmission quasi statique sans charge (Erreur Cinématique)
Elle est encore notée erreur cinématique et représente les défauts géométriques de denture et le fait que les profils ne seront pas exactement conjugués. Elle résulte de la fabrication, du montage, de la détérioration du profil en cours d’utilisation. Cette erreur de transmission est purement géométrique et traduit des défauts sous la forme de déplacement angulaire.
✯ Erreur de transmission quasi statique sous charge
C’est la superposition de l’erreur de transmission quasi statique sans charge et de l’effet de déformations dues à la charge. Elle fait intervenir les effets périodiques des déformations de dentures, de corrections éventuelles de profil, et des déformations de l’ensemble du système (arbres, paliers…).
✯ Erreur de transmission dynamique
C’est une grandeur instantanée qui rend compte de l’ensemble des effets dynamiques du système en fonctionnement. Cette grandeur reflète la réponse dynamique des engrenages suite aux excitations internes et externes.
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1.État de l’art : Transmission par engrenages et principales sources d’excitations
1. Introduction
2. Transmission par engrenages
2.1. Transmission par engrenages simple étage
2.1.1. Modèles dynamiques d’une transmission par engrenages
2.1.2. Modélisation de l’interface d’engrènement
2.1.3. Erreur de transmission
2.1.4. Equation du mouvement
2.2. Transmission par engrenage à deux étages
3. Principales sources d’excitation des transmissions par engrenages
3.1. Sources internes
3.1.1. Raideur d’engrènement
3.1.2. Considérations technologiques sur les défauts d’engrenages
3.2. Sources externes
3.2.1. Fluctuations du couple moteur
3.2.2. Fluctuations du couple de charge
3.2.3. Variation du couple aérodynamique (cas des éoliennes)
4. Conclusion
Chapitre 2.Méthodes de prise en compte des incertitudes
1. Introduction
2. Approche probabiliste
2.1. Méthode de Monte Carlo (MC)
2.1.1. Origine
2.1.2. Principe
2.1.3. Avantages et inconvénients
2.1.4. Conclusion
2.2. Méthode de perturbation
2.2.1. Principe
2.2.2. Formulation théorique
2.2.3. Les principales applications
2.2.4. Exemple d’application
2.2.5. Conclusion
2.3. Chaos polynomial
2.3.1. Principe
2.3.2. Formulation théorique
2.3.3. Les principales applications
2.3.4. Exemple d’application
2.3.5. Conclusion
3. Méthode des plans d’expériences
3.1. Principe
3.2. Méthode de Taguchi
3.3. Exemple d’application
4. Approche possibiliste (ensembliste)
4.1. Méthode des intervalles
4.1.1. Principe
4.1.2. Formulation théorique
4.1.3. Exemple d’application
4.1.4. Conclusion
4.2. Méthode à base de la logique floue
4.2.1. Principe
4.2.2. Exemple d’application
4.2.3. Conclusion
5. Conclusion
Chapitre 3. Réponse dynamique d’une transmission par engrenage simple étage à paramètres incertains
1. Introduction
2. Simulation de Monte Carlo (MC)
3. Méthodes de perturbation
3.1. Expansion en série de Taylor d’ordre 2
3.2. Méthode de Perturbation de Muscolino
3.3. Comportement dynamique d’une transmission d’engrenage simple étage à paramètres incertains
3.3.1. Modèle dynamique
3.3.2. Equations du mouvement
3.3.3. Simulation numérique
4. Projection sur un chaos polynomial
4.1. Formulation théorique
4.2. Comportement dynamique d’une transmission par engrenage simple étage en présence du frottement
4.2.1. Modélisation du frottement entre denture
4.2.2. Equations du mouvement
4.2.3. Simulation numérique
4.3. Analyse par le chaos polynomial
5. Conclusion
Chapitre 4. Étude de cas : Robustesse d’une transmission par engrenage d’éolienne à variables aléatoires
1. Introduction
2. Modélisation du comportement dynamique d’un système d’engrenage dans une éolienne
3. Réponse dynamique d’un système d’engrenage à deux étages d’éolienne à variables incertaines
3.1. Modèle dynamique d’une transmission d’engrenage à deux étages d’éolienne
3.1.1. Description du modèle
3.1.2. Equations de mouvement
3.2. Etude avec la méthode du chaos polynomial
3.2.1. Simulation numérique
3.2.2. Analyse de l’effet des paramètres incertains
3.2.3. Analyse de l’effet des multiples paramètres incertains
3.3. Etude avec la méthode de perturbation
3.3.1. Analyse de l’effet des paramètres incertains
3.3.2. Analyse de l’effet des multiples paramètres incertains
3.4. Comparaison entre les différentes méthodes
4. Comportement dynamique d’un système d’engrenage d’éolienne avec la méthode d’analyse par intervalles
4.1. Formulation théorique
4.1.1. Méthode d’analyse par intervalles
4.1.2. Approche probabiliste
4.2. Simulation numérique
4.2.1. Modèle dynamique
4.2.1. Analyse dynamique du système avec des paramètres déterministes
4.2.2. Comportement dynamique du système avec des paramètres incertains
5. Conclusion
Conclusion générale
