Contribution à la caractérisation ultrasonore des milieux hétérogènes

La technique de mesure de référence en terme de densité osseuse est l’absorptiométrie biphotonique à rayons X. Cette technique ne peut être utilisée à long terme en raison du pouvoir ionisant des rayons X sur les cellules. Il est donc extrêmement difficile de suivre l’évolution de la maladie sur un patient. En outre cette technique ne permet pas d’évaluer la micro structure du milieu dont les caractéristiques sont intimement liées à la fragilité osseuse. Les techniques de mesures ultrasonores apparaissent très prometteuses. Sans risque pour le patient, elles permettent l’évaluation des caractéristiques mécaniques d’un milieu, et sont sensibles à sa micro structure. Il nous a paru intéressant d’effectuer un travail en amont permettant de mieux comprendre les interactions os-ultrasons. Cela passe à notre avis par la mise au point d’un nouveau système de mesure. Destiné à être utilisé in vitro, nous pouvons choisir des conditions expérimentales idéales, conditions généralement incompatibles avec les contraintes rencontrées dans les mesures in VIVO.

Le savoir-faire du département OAE de l’IEMN en matière de caractérisation ultrasonore nous a été d’une grande utilité. Les travaux de M Deblock sur la caractérisation ultrasonore de liquides viscoélastiques en bande étroite haute fréquence ont retenu toute notre attention. Il utilise une technique originale de mesures basée sur la génération et la détection des ondes acoustiques, en régime harmonique. L’avantage de cette technique est de présenter un rapport signal à bruit beaucoup plus élevé que celui des méthodes plus traditionnelles utilisant des impulsions dont la durée s’étend d’une fraction de période à quelques dizaines de périodes. Les interactions os-ultrasons se complexifient avec l’accroissement de la fréquence. Un système mesurant l’évolution fréquentielle de la transmission ultrasonore nous parait donc susceptible de mieux faire apparaître cette complexification.

Associé avec le LAboratoire de Matériaux Avancés et de Céramiques (LAMAC), nous avions la possibilité d’obtenir des échantillons de substituts osseux à porosité contrôlée, en terme de concentration, de forme et de taille des pores. Cela constitue une aide considérable dans l’analyse des effets de la micro architecture du milieu sur la propagation acoustique.

La connaissance des signaux transmis à travers un milieu aussi complexe qu’un tissu osseux nous renseigne peu sur les interactions s’y étant produit. Il est essentiel de traiter les signaux mesurés sur la base d’hypothèses de propagation des ondes acoustiques dans le matériau. Nous rappelons quelques modèles simplifiés par des choix adéquats d’hypothèses fondatrices. Notre travail est exposé en quatre chapitres. Le premier chapitre est essentiellement destiné à l’étude théorique de la propagation ultrasonore dans les milieux hétérogènes. Nous définissons différents types de milieux poreux et discutons des grandeurs permettant de les caractériser. Nous présentons ensuite quelques modèles qm apportent différents mveaux de compréhension à la propagation d’ultrasons dans les milieux hétérogènes. Nous comparons ces modèles et discutons de leur applicabilité aux milieux poreux.

GENERALITES SUR LES MILIEUX HETEROGENES 

NOTIONS D’HOMOGENEITE ET D’HETEROGENEITE 

La constitution de la matière, décrite par des atomes ou molécules, est de nature discrète, donc hétérogène. Contrairement à l’idée que l’on peut s’en faire en observant un milieu dit homogène. Les notions d’homogénéité et d’hétérogénéité sont indissociables de l’échelle d’observation. Supposons une fenêtre W dans laquelle nous étudions les propriétés d’un milieu. Si un déplacement de la fenêtre dans le milieu n’apporte pas de nouveaux renseignements sur la propriété étudiée, le milieu est homogène à l’échelle de la fenêtre pour cette propriété.

Les dimensions de la fenêtre dépendent de la situation physique. Dans le cas de la propagation d’une onde il faut les rattacher à une grandeur caractéristique de la propagation, par exemple la longueur d’onde. Cette description phénoménologique des notions d’homogénéité et d’hétérogénéité est en grande partie déduite des travaux expérimentaux de Mme HoBaTho .

Notons que dans le langage courant un milieu est dit hétérogène si les hétérogénéités apparaissent à l’œil nu.Afin de concilier les deux terminologies nous qualifierons d’homogénéisé un milieu pour lequel nous pouvons observer des hétérogénéités, mais dont les dimensions sont petites à l’échelle des phénomènes physique s’y produisant. Nous parlerons alors de caractéristiques effectives du milieu.

MILIEUX HETEROGENES 

Il existe deux grands types de milieux hétérogènes, les milieux hétérogènes continus pour lesquels les caractéristiques évoluent continûment dans l’espace et les milieux discrets qui sont issus de la juxtaposition d’au moins deux phases. Nous nous intéressons tout particulièrement à ce type de milieux hétérogènes, notamment dans le cas où ils sont constitués de phases solides et fluides.

GRANDEURS DESCRIPTIVES D’UN MILIEU HETEROGENE 

Un milieu hétérogène peut être décrit à partir :
• de paramètres physiques : les modules élastiques des éléments le constituant, leurs densités, ….
• de paramètres géométriques : les concentrations des différents constituants, la taille des inclusions, leurs formes, l’existence ou pas de connections, les diamètres d’interconnections, ….

Cette description n•est pas facilement accessible par une analyse non destructive. Notons qu•il n•est souvent nécessaire de ne connaître que les grandeurs utiles à une application spécifique. Cela peut être par exemple :
• dans le cas du suivi de colonisation d•un milieu poreux par des cellules osseuses, les caractéristiques de la phase fluide.
• dans le cas du suivi de la calcification, le diamètre moyen des pores.

Le recours à des méthodes empmques est fréquent si ces grandeurs ne sont pas facilement accessibles. On cherche alors à corréler les modifications des caractéristiques du milieu avec ses propriétés effectives.

L’intérêt que nous portons à la mesure des caractéristiques mécaniques des milieux nous conduit naturellement à utiliser des ondes acoustiques. Nous commençons par présenter l’étude de la propagation d’ondes acoustiques dans des solides et des fluides homogènes.

GENERALITES SUR LES ONDES ACOUSTIQUES 

Une onde acoustique est la propagation d’une perturbation mécanique dans un milieu matériel. Si le milieu est isotrope, les caractéristiques de propagation sont indépendantes de la direction de propagation. Lorsque à un instant donné, les perturbations sont identiques en tous les points d’un plan, on qualifie l’onde d’onde plane. Ce plan est appelé plan d’onde. L’onde se propage dans une direction perpendiculaire à son plan d’onde si le milieu est isotrope. Une onde longitudinale est une onde pour laquelle la perturbation à lieu dans la direction de propagation. Pour une onde transversale, la perturbation a lieu dans une direction orthogonale à la direction de propagation. Une onde est harmonique si l’évolution au cours du temps de la perturbation en un point du milieu est sinusoïdale.

Table des matières

INTRODUCTION GÉNÉRALE
CHAPITRE 1. MODÈLES DE PROPAGATION DANS LES MILIEUX HÉTÉROGÈNES
1.01 INTRODUCTION
1.02 GÉNÉRALITÉS ET DÉFINITIONS
1.02-1 GÉNÉRALITÉS SUR LES MILIEUX HÉTÉROGÈNES
1.02-1-A NOTIONS D’HOMOGÉNÉITÉ ET D’HÉTÉROGÉNÉITÉ
1.02-1-B MILIEUX HÉTÉROGÈNES
1.02-1-C GRANDEURS DESCRIPTIVES D’UN MILIEU HÉTÉROGÈNE
1.02-2 GÉNÉRALITÉS SUR LES ONDES ACOUSTIQUES
1.02-2-A DÉFINITION DES GRANDEURS MÉCANIQUES
1-02-2-A-( 1) : DÉFORMATION D’UN SOLIDE
1-02-2-A-(2) : CONTRAINTES APPLIQUÉES SUR UN ÉLÉMENT DE VOLUME
1-02-2-A-(3): LOI DE HOOKE ET CONSTANTES ÉLASTIQUES
1.02-2-B EQUATIONS DE PROPAGATION
1-02-2-B-(l) :PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE HARMONIQUE DANS UN SOLIDE
1-02-2-B-(2) :PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE HARMONIQUE DANS UN FLUIDE
1-02-2-B-(3) : IMPÉDANCE
1-02-2-B-(4) :CONCLUSION
1.03 DÉMARCHE SUIVIE
1.04 MODÈLE DE BIOT
1.04-1 EQUATIONS DE PROPAGATIONS
1.04-1-A RELATIONS CONTRAINTES DÉPLACEMENT
1.04-1-B ENERGIE DISSIPÉE
1.04-1-C ENERGIE CINÉTIQUE
1.04-1-D EQUATIONS DE PROPAGATION
1-04-1-D-(1): ÜNDE LONGITUDINALE
1-04-1-D-(2) : ÜNDE TRANSVERSALE
1.04-2 INTERPRÉTATION DES CONSTANTES PHÉNOMÉNOLOGIQUES
1.04-2-A CONSTANTES ÉLASTIQUES GÉNÉRALISÉES
1.04-2-B DÉTERMINATION DES MODULES ÉLASTIQUES DU MILIEU POREUX
1.04-2-C COUPLAGE INERTIEL
1.04-2-D COUPLAGE VISQUEUX
1.04-3 SOLUTIONS DES ÉQUATIONS DE PROPAGATION
1.04-3-A ONDE LONGITUDINALE
1.04-3-B ONDE TRANSVERSALE
1.04-4 INFLUENCE DES DIVERS PARAMÈTRES
1.04-4-A EN ABSENCE DE COUPLAGE
1.04-4-B EFFETS DES COUPLAGES
1.04-4-C CONCLUSION
1.04-5 SIMULATIONS DU MODÈLE DE BIOT POUR UNE CÉRAMIQUE
D’HYDROXYAPATITE POREUSE
1.04-6 ASPECT EXPÉRIMENTAL
1.04-6-A MISE EN ÉVIDENCE DE L’ONDE LENTE DE BIOT
1.04-6-B APPLICATION À DES MESURES SUR DES OS
1.05 THÉORIES DE LA DIFFUSION MULTIPLE
1.05-1 DIFFUSION PAR UNE SPHÈRE
1.05-1-A SOLUTION DE L’ÉQUATION DE HELMHOLTZ EN COORDONNÉES
SPHÉRIQUES
1.05-1-B CONTRAINTES
1.05-1-C DIFFUSION PAR UNE SPHÈRE
1.05-2 DIFFUSION PAR UN GRAND NOMBRE DE SPHÈRES
1.05-2-A TRANSLATIONS DES VECTEURS DÉPLACEMENTS
1.05-2-B MODÈLE DE LA MATRICE MULTICENTRÉE
1.05-3 INTERPRÉTATION PAR LA THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DE LA DIFFRACTION
1.05-3-A THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DE LA DIFFRACTION POUR UNE SPHÈRE
1.05-3-B COUPLAGE ENTRE DEUX SPHÈRES
1.05-3-C INTERPRÉTATION DE LA DIFFUSION MULTIPLE PAR LA THÉORIE
GÉOMÉTRIQUE DE LA DIFFRACTION
1.05-4 MODÈLE DE FOLDY
1.05-4-A EQUATION DE LA DIFFUSION MULTIPLE
1.05-4-B TRAITEMENT STATISTIQUE
S 1.05-4-C ENS DEL , APPROXIMATION
1.05-5 MODÈLE DE WATERMAN ET TRUELL
1.05-6 SIMULATION DU MODÈLE DE WATERMAN ET TRUELL POUR UNE
CÉRAMIQUE D’HYDROXY APATITE POREUSE
1.05-7 ASPECT EXPÉRIMENTAL
1.06 APPLICABILITÉ ET UNIFICATION
1.06-1 VOLUME REPRÉSENTATIF ÉLÉMENTAIRE
1.06-2 APPLICABILITÉ DES MODÈLES
1.06-2-A MODÈLES DE DIFFUSION MULTIPLE
1.06-2-B MODÈLE DE BIOT
1.06-3 UNIFICATION DES MODÈLES
1.07 CONCLUSION
CHAPITRE 2. MODÉLISATION DU SYSTÈME DE CARACTÉRISATION ACOUSTIUE
2.01 INTRODUCTION
2.02 ETUDE DE LA PROPAGATION SOUS INCIDENCE NORMALE
2.02-1 INTRODUCTION
2.02-2 DÉFINITION DES COEFFICIENTS DE RÉFLEXION ET DE TRANSMISSION
2.02-3 ETUDE D’UNE COUCHE PRISE EN SANDWICH ENTRE DEUX MILIEUX SEMIINFINIS
2.02-3-A IMPÉDANCE RAMENÉE Zol
2.02-3-B COEFFICIENTS DE TRANSMISSION ET DE RÉFLEXION
2.02-3-C RELATION ENTRÉE-SORTIE
2.02-3-D FONCTION DE TRANSFERT
2.02-4 CAS D’UN MILIEU MULTICOUCHES
2.03 PARAMÈTRES LIÉS À LA TRANSDUCTION
2.03-1 INTRODUCTION
2.03-2 EQUATIONS DE TRANSDUCTION D’UNE COUCHE PIÉZO-ÉLECTRIQUE
MINCE
2.03-3 RELATIONS GÉNÉRALES DE CONVERSION
2.03-3-A RELATIONS À L’ÉMISSION
2.03-3-B RELATION À LA RÉCEPTION
2.03-4 EXPRESSION DES GRANDEURS ÉLECTRO-ACOUSTIQUES
2.03-4-A IMPÉDANCE ÉLECTRIQUE DU TRANSDUCTEUR ÉMETTEUR
2.03-4-B COEFFICIENT DE TRANSMISSION ÉLECTRIQUE
2.03-4-C RAPPORT DE CONVERSION ÉLECTRO-ACOUSTIQUE
2.03-4-D IMPÉDANCE ACOUSTIQUE ZA DU TRANSDUCTEUR RÉCEPTEUR
2.03-4-E COEFFICIENT DE RÉFLEXION ACOUSTIQUE SUR LE TRANSDUCTEUR
RÉCEPTEUR
2.03-4-F RAPPORT DE CONVERSION ACOUSTO-ÉLECTRIQUE
2.04 EXPRESSION DES PARAMÈTRES S NÉCESSAIRES À LA
CARACTÉRISATION
2.04-1 PARAMÈTRE S21 DU SYSTÈME
2.04-2 PARAMÈTRE Stt DU SYSTÈME
2.04-3 PARAMÈTRE S22 DU SYSTÈME
2.05 ANALYSE DES EXPRESSIONS DES PARAMÈTRES S
2.05-1 INTERPRÉTATION DES PARAMÈTRES S 11 ET S21
2.05-1-A PARAMÈTRE s21
2.05-1-B PARAMÈTRE sll
2.05-2 EXISTENCE D’UNE TRANSFORMÉE DE FOURIER INVERSE
2.05-3 TERMES UTILES DE CHAQUE PARAMÈTRES
2.06 SIMULATION
2.06-1 IMPÉDANCE ACOUSTIQUE ZA RAMENÉE SUR LE RÉCEPTEUR
2.06-2 IMPÉDANCE RAMENÉE Zo1
2.06-3 IMPÉDANCE ÉLECTRIQUE Zel
2.06-4 PARAMÈTRE s
2.06-s PARAMÈTRE S2
2.07 CONCLUSION
CONCLUSION GÉNÉRALE

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