CONTINUITE ET COMPACITE DES OPERATEURS DE TOEPLITZ SUR L’ESPACE DE BERGMAN

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Chapitre 1 :Rappels et notions de bases

1.1 Opérateurs compacts dans les espaces hilber- tiens.

Soient E et F deux espaces préhilbertiens (dont les normes et produit scalaires seront notés par les symboles ||.||,h.,.i).
Tous les espaces vectoriels sont pris sur le corps C. Rappelons qu’une application linéaire U : E −→ F s’appelle un opérateur linéaire (de E dans F).
Propriété 1.1.1.
U est continu si et seulement si il existe M > 0 tel que
||U(f)|| 6 M||f||, f ∈ E
(M = sup{||U(f)||,||f|| 6 1} = ||U||)
Un opérateur vérifiant cette dernière relation est dit borné.
L’ensemble des opérateurs linéaires bornés de E dans F sera noté L(E,F).
Notation :
On écrit souvent Uf au lieu de U(f) (f ∈ E, Uf ∈ F) si cette écriture ne cause pas d’ambiguité.
Si E = F, on dira que U est un opérateur linéaire dans E.
L(E,E) ≃ L(E). Ainsi, si U ∈ L(E), on dira que U est un opérateur borné (ou continu).
Définition 1.1.2. Si U ∈ L(E), on définit un opérateur continu U ∗ (appelé l’opé-rateur adjoint de U) par la formule suivante :
pour f,g ∈ E, hUf,gi = hf,U ∗ gi
U est dit autoadjoint (ou hermitien) si U ∗ = U ;
U est dit normal si U ∗ U = UU ∗ ;
U est dit unitaire si U ∗ U = UU ∗ = id E .
Ainsi un opérateur autoadjoint ou unitaire est normal.
Exemple 1.1.3. Soit E = C([a,b]) l’espace vectoriel formé des fonctions continues
f : [a,b] −→ C muni de l’addition et de multiplication par les éléments de C.
On munit E de son produit scalaire défini par hf,gi = Z b a
f(x)g(x)dx, f,g ∈ E.
Une classe importante d’exemples de U ∈ L(E) est fournie par la formule suivante : pour f ∈ E,a 6 x 6 b
(Uf)(x) = Z b  a
K(x,y)f(y)dy
où K : [a,b] × [a,b] −→ C est une fonction continue (appelée souvent la fonction noyau de U).
On a bien U ∈ L(E) avec
|Uf(x)| =?Zba
K(x,y)f(y)dy
?6Zba
|K(x,y)| |f(y)|dy
6 sup
a6x6b
|K(x,y)|
Zba
|f(y)|dy 6 M(b − a)||f|| (M = sup
a6x6b
|K(x,y)|)
et
||f|| =?Zba
|f(x)| 2 dx
? 126
d’où
||Uf|| =?Zba
|Uf(x)| 2 dx
? 12
6 M(b − a)||f||
Ce qui montre que ||U|| 6 M(b − a).
Définition 1.1.4. Soit E un espace préhilbertien. Un opérateur U dans E est ditcompact si pour toute suite bornée {f n } dans E, la suite {Uf n } possède une sous-suite convergente dans E.
Notons qu’un opérateur compact U est continu.
En effet, en supposant que U n’est pas continu c’est-à-dire que sup
||f||<1
||U(f)|| n’est
pas fini,on aurait une suite {f n } avec ||f n || 6 1, n ∈ N, telle que ||Uf n || −→n→∞  ∞, ce
qui exclut l’existence d’une sous-suite convergente de {Uf n } n∈N
Donc U n’est pas un opérateur compact.
Exemple 1.1.5. Soit X = [a,b] (a < b réels) muni de la mesure de Lebesgue µ; si
K : X × X −→ C est de carré intégrable, alors l’opérateur U donné par
Uf(x) =Z b a
K(x,y)f(y)dy
est un opérateur compact dans l’espace hilbertien L 2 (X) = L 2 (X,P ,µ).
Définition 1.1.6. Soit E = L 2 (X), l’opérateur U défini dans l’exemple précédent est appelé opérateur intégral défini par la fonction noyau K par rapport à la mesure µ.
Théorème 1.1.7. Si T n est une suite d’opérateurs compacts sur H et ||T n −T|| → 0
quand n → ∞. Alors T est un opérateur compact.
Preuve. référence[2]