Construction d'un fibré holomorphe muni d'une structure complexe

Depuis l’article de Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz et Sternheimer sur la quantification par déformation, de nombreuses applications de cette notion à l’étude des représentations unitaires irréductibles (R.U.I) des groupes de Lie sont appa,rues. Plus précisément, il a été alors proposé un programme de construction et de description du dual unitaire ê (ensemble des classes de représentations unitaires irr&uctibles) d’un groupe de Lie G, que nous supposerons connexe et simplement connexe, à partir de l’étude des déformations de I’algèbre des fonctions C∞ sur le dual g* de I’algèbre de Lie g de G (voir [31]).

La méthode usuelle des orbites fit son apparition dans un travail de A. Kirillov paru en 1962 consacré aux groupes de Lie nilpotents. Elle consiste à associer aux orbites coadjointes entières de g* des classes de representations induites et, réciproquement, à une représentation unitaire irréductible de G est associee une orbite coadjointe par une formule dite formule du caractère de Kirillov. Depuis, la possibilité de généraliser cette theorie à d’autres classes de groupes à été signalé. Le développement ultérieur fut obtenu dans les trarraux de P. Bernat [14], B. Kostant, L. Auslander et B. Kostant [11], L. Pukanszky et M. Duflo.

B. Kostant a remarqué I’existence d’un lien entre cette méthode et le problème de la quantification d’un systéme mécanique classique. On peut en effet représenter ce systéme par une variété symplectique .Â1. Supposons le système est élémentaire pour I’action d’un groupe de symétrie G, la rzariété est alors un espace homogène et la classification de ces espaces homogènes symplectiques avait été obtenue bien avant et indépendamment par B. Kostant [a8] et J.M. Souriau [73]. La quantification du système revient à associer à ,Àl un espace de Hilbert 7t de fonctions ou des sections d’un fibré. Le groupe G est alors représenté unitairement et irréductiblement dans 11.

Il est connu que Ia mécanique classique a pour cadre une variété symplectique (l’espace des phases ou plus précisement I’espace des mouvements), et la mécanique quantique a pour cadre un espace de Hilbert I les observables sont des opérateurs auto-adjoints sur cet espace. Cette difiérence rend malaisé la discussion de la limite quantique (h → 0) de la mécanique classique .

En étudiant les propriétes et les applications de la déformation des algèbres de Lie de Poisson et des algèbres associatives, F. Bayen, M. Flato , C. Fronsdal, A. Lichnerowicz et D. Sternheimer (c/ [13]), ont proposé une formulation de la mécanique quantique dans le cadre de I’espace des phases classique c’est à dire dans le cadre de Ia rrariété symplectique.

Les observables quantiques restent, comme les observables classiques, des fonctions sur la variété. Quantifier Ie système classique revient à choisir une déformation, appelée produit *, du produit usuel des fonctions. Le spectre d’un observable f se définit en termes de la déformation, comme le support de la transformée de Fourier de t → exp* (itf).

Le problème de I’existence et de la construction du produit * sur différentes variétes symplectiques a été étudié par plusieurs auteurs notamment :

A. Lichnerowicz [58], M. De Wilde et P. Lecomte [23], S. Gutt [33], J. Wildberger [79]. De Wilde et Lecompte qui ont établi le théorème d’existence général du produit * sur une rrariété symplectique quelconque.

Depuis, plusieurs applications du produit * sont apparues pour la quantification de problèmes physiques. Citons par exemple les travaux de : A. Lichnerowicz [57], application à un système dynamique ayant un nombre fini de degré de liberté, M. Cahen et S. Gutt [18], sur le spectre de I’atome d’hydrogène, J.B. Kammerer et Valton [42], application à la representation d’une particule quantique de spin 1/2 . Ainsi que d’autres cf .

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Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE 1. – GÉNÉRALITÉS
I.1.-Legroupehyperbolique
I.2. – Le groupe des automorphismes du disque unité
I.3. – Le revêtement universel du groupe hyperbolique
I.4. – Les représentations unitaires irréductibles
I.5. – Formule de Plancherel
I.6. – Description des orbites coadjointes
CHAPITRE 2. – STUNE DE LA PARTIE PRINCIPALE
II.1. – Paramétrisation des orbites coadjointes
11.2. – Produit étoile sur les orbites
II.3. – Représentations étoile
II.4. – Prolongement des produits * et *’
II.5. – Enoncé du theorème principal
II.6. – Exponentielle étoile et transformee de Fourier adaptee
CHAPITRE 3. – ETUDE DE LA PARTIE DISCRÈTE
III.1. – Quantification d’une variété kâhlerienne
III.2. – Etats cohérents et symboles de Berezin
III.3. – Application aux orbites de la série discrète de G
III.4. – Construction d’un fibré holomorphe muni d’une structure complexe
III.5. – Calcul d’un état cohérent
CONCLUSION