Construction de modèles réduits pour le calcul des performances des avions

Modèle de performances des avions

Dans le département dédié au calcul des performances des avions, l’avion est vu comme un point matériel soumis à des forces extérieures. Ce modèle est le plus simple que l’on puisse envisager pour un système mécanique. En effet, toute la masse est supposée concentrée en un point. Ce modèle est adapté dans le cas où l’on ne s’intéresse qu’au mouvement du centre de gravité, représenté par trois degrés de liberté. Dans un calcul de performances, la position de l’avion autour de son centre de gravité n’est qu’un paramètre permettant de piloter le module et la direction des forces auxquelles il est soumis (aérodynamique, propulsion, etc…). Les modèles Perfo sont utilisés dans toutes les phases de développement d’un avion. En phase dite avant projet, ils permettent de concevoir un avion (dimension des moteurs, des surfaces des ailes…). Une fois la conception de l’avion terminée, les modèles Perfo sont utilisés dans le bureau d’étude pour calculer des trajectoires (décollage, montée, croisière, descente, atterrissage) et en déduire les performances des avions en fixant des scénarios de vol a priori pour établir notamment le manuel de vol, qui a pour but de déterminer des données pour le pilote, comme les distances d’atterrissage ou les vitesses de décollage selon les conditions du jour (masse, conditions atmosphériques,…). Connaître plus précisément les performances des avions permet aussi de se placer convenablement sur le marché concurrentiel des constructeurs aéronautiques. En effet, les compagnies aériennes orientent leurs choix d’achat selon les caractéristiques de performances de l’avion et leurs besoins. Des fonctions utilisant des modèles Perfo simplifiés sont également intégrées dans le cockpit de l’avion. Elles permettent d’améliorer en temps réel les performances, en prenant en compte les conditions réelles du vol. Certaines performances calculées sont règlementaires parce qu’elles sont critiques pour la sécurité du vol. Les distances de décollage et d’atterrissage ainsi que les pentes de montée citées plus haut en font partie. D’autres performances sont dites opérationnelles, comme la distance parcourue par unité de carburant consommé ou encore la trajectoire permettant de réduire les nuisances sonores à proximité des aéroports.

Random Sampling – High Dimensionel Model Representation

Nous avons finalement retenu comme méthode de réduction automatique le RS-HDMR qui permet de décomposer automatiquement le modèle de référence en une somme de fonctions dépendant d’un nombre réduit de variables. On retrouve naturellement la structure actuelle de nos modèles. On peut alors choisir de tabuler les fonctions de la décomposition RS-HDMR et ainsi utiliser les méthodes d’interpolation multi-linéaire, comme cela est fait actuellement, pour calculer la sortie d’une fonction en un point non tabulé. Cette méthode a été retenue même si le calcul de chacune de ces valeurs tabulées nécessite d’intégrer numériquement une intégrale multi-dimensionnelle : ceci peut vite devenir très coûteux en temps de calcul, comme nous le verrons par la suite.

Estimation a posteriori

L’erreur globale d’un modèle réduit peut être estimée à partir de l’erreur commise sur les échantillons d’apprentissage ou de validation comme nous venons de le voir dans la section 2.5.1. Mais cette estimation de l’erreur reste biaisée car tous ces échantillons ont participé à l’établissement du modèle. Pour estimer a posteriori l’erreur de généralisation, il est intéressant de disposer d’un échantillon de test ([¯xtest],Ytest) indépendant des deux échantillons précédents. Plus le nombre Nt d’échantillons test est grand, plus cette estimation est précise. À iso-nombre de points, le problème est alors de savoir s’il est plus judicieux d’utiliser les points pour améliorer la construction du modèle en les affectant à l’échantillon d’apprentissage ou pour améliorer la précision de l’estimation de l’erreur en les affectant à l’échantillon de validation. De plus, l’utilisation d’un échantillon de test permet de déterminer l’erreur globale d’un modèle, mais pas son erreur locale de prédiction en un point donné (en dehors des points de test). Pour cela, la méthode de bootstrap, détaillée dans la section précédente, peut être utilisée.

Caractéristiques des sous-modèles de référence et de leurs modèles réduits associés

Les modèles réduits RS-HDMR et RN sont construits en utilisant les valeurs tabulées du sous-modèle original et sont eux mêmes tabulés. Du fait de l’interpolation multilinéaire, l’erreur maximum pour chaque modèle réduit RS-HDMR et RN est atteinte aux points des tables numériques. Les caractéristiques des huit sous-modèles et de leurs modèles réduits associés (RS-HDMR 0ème, 1er et 2nd-ordre et RN) sont données dans les tables 4.3 (taille mémoire), 4.4 (temps de calcul) et 4.5 (précision). Quand il n’y a pas de valeurs dans cette table, cela signifie que le modèle réduit associé n’était pas disponible ou écarté a priori.

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Table des matières

Introduction générale
1 Contexte industriel
1.1 Introduction
1.2 Modèles actuels de qualités de vol et de performances des avions
1.2.1 Descriptions générales
1.2.1.1 Modèle de performances des avions
1.2.1.2 Modèle de qualités de vol
1.2.1.3 Caractéristiques générales de ces deux modélisations
1.2.2 Équations de la mécanique du vol
1.2.2.1 Présentation des différents repères
1.2.2.2 Changements de repères
1.2.2.3 Modélisation des forces et des moments
1.2.2.4 Variables dont dépendent les forces et les moments aérodynamiques
1.2.3 Équations générales du modèle de qualités de vol
1.2.4 Simplifications utilisées pour le modèle actuel de performances des avions
1.2.4.1 Hypothèses physiques
1.2.4.2 Simplification 1 : pré-équilibrage
1.2.4.3 Simplification 2 : équilibrage moyen
1.2.5 Description du modèle actuel de performances des avions
1.2.5.1 Modèle aérodynamique actuel
1.2.5.2 Analyse critique de la modélisation des performances des avions actuelle
1.3 Vers un nouveau modèle de performance des avions
1.3.1 Simplifications en vue de l’obtention du futur modèle aérodynamique de performances des avions
1.3.2 Futur modèle de performances des avions
1.4 Besoins et enjeux industriels de la réduction du modèle de performances des avions
1.4.1 Structure et composition des modèles de qualités de vol et de performances des avions
1.4.2 Construction actuelle des modèles de qualités de vol et de performances des avions
1.4.3 Améliorations potentielles
2 État de l’art critique : modèles réduits, méthodes d’échantillonnage et de validation
2.1 Introduction
2.2 Principales étapes de construction d’un modèle réduit
2.3 Différents types de modèles réduits
2.3.1 Surfaces de réponses
2.3.2 Réseaux de neurones
2.3.3 Krigeage
2.3.4 High Dimensional Model Representation
2.4 Méthodes d’échantillonnage
2.4.1 Grilles régulières
2.4.2 Méthode de Monte Carlo directe
2.4.3 Amélioration de la méthode de Monte Carlo directe par réduction de la variance
2.4.3.1 Variables antithétiques
2.4.3.2 Variables de contrôle
2.4.3.3 Échantillonnage stratifié
2.4.3.4 Méthode Latin Hypercube Sampling
2.4.4 Méthode de quasi-Monte Carlo
2.4.4.1 Notions de discrépance d’une suite
2.4.4.2 Suites à faible discrépance
2.4.5 Critères géométriques pour l’amélioration du remplissage de l’espace
2.5 Méthodes de validation
2.5.1 Validation croisée
2.5.2 Bootstrap
2.5.3 Estimation a posteriori
2.6 Choix des méthodes pour cette étude
2.6.1 Choix des modèles réduits
2.6.2 Choix des méthodes d’échantillonnage
2.6.3 Choix des méthodes de validation
3 Adaptation des méthodes de réduction aux modèles de qualités de vol et de performances des avions
3.1 Introduction
3.2 Réduction des fonctions tabulées
3.2.1 Random Sampling – High Dimensional Model Representation, cas d’un domaine de définition hypercubique
3.2.1.1 Calcul analytique
3.2.1.2 Application sur un exemple
3.2.2 Interprétation probabiliste du Random Sampling – High Dimensional Model Representation
3.2.2.1 Variables d’entrée indépendantes
3.2.2.2 Variables d’entrée dépendantes
3.2.2.3 Proposition d’une solution dans le cas non hypercubique
3.2.3 Utilisation particulière des réseaux de neurones
3.3 Réduction globale des modèles de qualité de vol et de performances des avions
3.3.1 Fléau de la dimension
3.3.2 Construction du Random Sampling – High Dimensional Model Representation par génération quasi-aléatoire d’un unique échantillon
3.4 Conclusion
4 Méthodologie générale de réduction d’un modèle de qualités de vol et de performances des avions
4.1 Introduction
4.2 Formulation mathématique
4.2.1 Architecture multi-niveaux hiérarchique
4.2.2 Programmation Linéaire en Nombres Entiers
4.2.3 Borne supérieure pour l’erreur globale
4.3 Expériences numériques
4.3.1 Application à un cas réel
4.3.2 Caractéristiques des sous-modèles de référence et de leurs modèles réduits associés
4.3.3 Résultats de l’optimisation
4.3.3.1 Variation de la taille mémoire en fonction de l’erreur
4.3.3.2 Variation de la taille mémoire en fonction du temps de calcul
4.3.3.3 Bilan des expériences numériques
4.4 Conclusion
Conclusion générale