Soutenance mémoire
La méthodologie
J’ai choisi de m’intéresser à ce qui est fait dans les classes afin de sélectionner les activités qui pourraient m’être utiles dans le projet de séances. Les manuels scolaires proposent des exercices de reproduction à partir du cycle CP et sont présents jusqu’au CM2. J’ai recensé plusieurs types de reproduction. L’utilisation du quadrillage est récurrent notamment au cycle 2. Ce type d’exercice relève plus d’un procédé algorithmique, j’ai donc choisi de ne pas le prendre en compte. Il en est de même pour la symétrie en effet représenter une figure sur quadrillage n’impose pas l’analyse du modèle et donc n’aide pas au prolongement de lignes. On trouve également des exercices de reproduction simple (triangle, carré, rectangle) mais ici l’objectif est davantage centré sur les propriétés et ne vise pas le prolongement. Au cycle 3, on propose la reproduction de figures réalisables uniquement au compas, j’ai également exclu ce type d’exercice étant donné que la théorie de Duval et Godin (2005) repose en partie sur le prolongement de lignes même si un raisonnement identique pouvait être fait dans ce type de reproduction. Je n’ai pu recenser que très peu d’activités de reproduction axées sur le prolongement de droites.
Il semblerait que l’apprentissage actuel de la géométrie fait en classe se fait tout d’abord sur des figures simples et usuelles (carré, rectangle…) pour ensuite travailler sur des figures plus complexes (abstraites). Or la démarche présentée par les chercheurs valorise le procédé inverse et travaille à partir de véritables situations problèmes. En effet, le fait d’avoir en face de soi, non pas un carré ou tout autre forme connue, mais plutôt une figure complexe permettra plus facilement de la voir comme un assemblage de droites.
Constater l’évolution des regards
Je me suis orientée tout d’abord vers l’évolution des regards sur les figures géométriques. Afin de mettre en place une méthode qui me permettrait de constater cette évolution, je me suis appuyée sur la lecture suivante : Reproduction de figures à l’école élémentaire de Duval, Godin, Perrin-Glorian (2004). L’objectif était de proposer la même activité de reproduction aux classes de cycle 2 et de cycle 3. L’objectif de cette exercice était de constater l’évolution des regards. Cette analyse me permettra également de voir comment se déroule cette évolution ; « Y a-t-il une année de transition pour passer d’une vision 2D à une vision 1D ? Cette transformation se construit-elle au fil des années scolaires ? ». Cette équipe de chercheurs avaient proposé une activité de reproduction à partir de la figure suivante qu’ils ont appelée « la figure Picasso ».
Illustration 2
J’ai choisi volontairement le modèle Picasso pour son côté abstrait. Le choix d’une image plus classique comme par exemple une maison pousserait les élèves à reproduire le toit, la porte, les fenêtres… Ce qui selon moi, ne les aiderait pas à la voir comme un assemblage de droites. Les chercheurs ont réalisé différentes ébauches de difficultés croissantes. Dans leur activité, ils proposaient aux élèves une ébauche de difficulté moyenne, puis suivant la production des élèves, ils distribuaient ensuite l’ébauche plus ou moins difficile à réaliser. J’aurai l’occasion d’expliciter cette activité dans une prochaine partie.
Pour mon expérimentation, j’ai opté pour la réalisation de l’ébauche moyenne.
L’exercice proposé à chaque niveau de classe est en annexe 1. Après un bref rappel du matériel usuel de géométrie, la consigne donnée aux élèves sera de compléter la figure de droite à l’identique de la figure initiale qui se situe à gauche.
Lors de la réalisation en classe, mon observation se centrera sur plusieurs points particuliers :
–L’ordre dans lequel les élèves reproduisent la figure. Nous pourrons ainsi constater que certains prolongements sont plus faciles à repérer que d’autres. Avant de traiter la figure Picasso dans sa globalité, il est intéressant de se pencher sur les différentes « zones » de reproduction.
J’ai choisi d’effacer une zone supplémentaire à celles proposées par les chercheurs : la zone D. Ainsi, je m’attacherai à voir si les élèves tracent la zone C puis la zone D ou s’ils tracent les deux en même temps. La zone E paraît plus difficile puisque l’on passe à une liaison entre un trait et un point ; point difficilement repérable étant donné qu’il appartient au segment vertical.
Il en est de même pour la zone F, c’est-à-dire la grande oblique. Son orientation peut également rendre plus difficile sa réalisation. J’imagine que les zones G et H seront les zones les plus difficiles. En effet, la réalisation se fait en prolongeant deux droites ; il s’agit donc de trouver l’intersection de deux droites. La réalisation de ces zones constituera une observation importante. « Comment les élèves vont-ils gérer le problème ? Vont-ils tracer le sommet afin de s’arrêter approximativement « à la pointe », ce qui serait plutôt révélateur d’une vision globale ou vont-ils tracer clairement les deux droites (même s’ils viennent à gommer par la suite les traits « qui dépasseraient ») au delà de l’intersection, ce qui serait beaucoup plus révélateur d’une vision par assemblage de droites. »
–De manière plus générale, je serai attentive au matériel utilisé par les élèves. « Utilisent ils la règle ? (il est légitime de se poser la question notamment au CP). Certains vont-ils utiliser l’équerre comme gabarit de la zone G ? Le compas sera-t-il utilisé pour le report de longueurs ? »
Une manipulation aisée ou maladroite pourra également apporter des indices.
Lorsque j’aurai recueilli mes fiches élèves, je m’attacherai tout d’abord à analyser les difficultés pour chaque classe puis je les comparerai entre elles. Cette comparaison devrait m’amener à constater une évolution dans leurs regards sur les figures. Par exemple, on devrait voir disparaître les sommets qui ne seraient pas tracés par prolongement mais par approximation.
Séquence d’apprentissage
Suite au constat d’une une évolution dans le regard des élèves sur les figures à l’école élémentaire, j’ai souhaité mener une séquence d’apprentissage en classe.
Le but était ici de constater si le fait de travailler sur le prolongement de droites aidait les élèves à passer d’une vision 2D à une vision 1D.
Je vais dans la suite développer la séquence menée en classe.
Évaluation diagnostique
Je me suis tout d’abord interrogée sur le type d’évaluation qui allait me permettre de répondre à mes attentes. En effet, il me paraissait difficile de pouvoir constater, sur feuille, l’impact que pourrait avoir une séquence sur leurs regards. De plus, après un retour à mes lectures, il en est ressorti que le changement de regard ne peut se faire qu’à long terme, or l’échéance de la rédaction de mon mémoire ne me permettrait sans doute pas de constater une évolution très nette de la part des élèves.
Consciente de ce fait, j’ai choisi d’utiliser la figure Picasso comme évaluation diagnostique. De plus, cela me permettait par la même occasion de créer une situation de familiarisation puisque l’activité de reproduction n’est que très peu abordée. La première séance se déroule de la manière suivante. Après avoir rappeler les différents outils de géométrie, l’enseignante demandera aux élèves de compléter la figure de droite en s’aidant de la figure initiale (avant qu’elle ne soit effacée). Les élèves reçoivent la figure n°3 (annexe 1).
Lorsqu’un élève pense avoir terminé, l’enseignante vérifie le résultat en superposant sa réalisation à la figure initiale qui aura été imprimée sur un transparent. Si la réalisation est bonne, l’élève passe au niveau suivant, sinon il descend au niveau inférieur. Dans l’article
(Duval, Godin, Perrin-Glorian, 2004, Reproduction de figures à l’école élémentaire , actes du séminaire national de didactique des mathématiques, ADIREM et IREM de Paris 7. p. 5-89), l’activité n’était présentée que partiellement. Sur les six niveaux de figures, deux niveaux manquaient ( niveau 2 et 5). J’ai répertorié pour chaque niveau le nombre de traits nécessaires à reproduire la figure, le nombre de segments n’ayant pas été ou que partiellement effacés et les différents types de zones à reproduire. Ici, lorsque je parle des types de zones à reproduire, je parle des différentes liaisons ; entre deux segments, entre un segment et un point, entre deux points, s’il s’agit d’un segment, d’un nœud… En analysant la manière dont évoluait la difficulté dans cette activité, j’ai réalisé les deux figures manquantes. Les six niveaux utilisés pour ma séquence sont en annexe 2. Cette activité permet en fin de séance de réaliser un tableau où figure le plus haut niveau atteint pour chaque élève. Ce tableau sera réutilisé dans la suite de la séquence afin d’effectuer un retour éventuel sur les progrès des élèves.
Après mes différentes interventions en classe, j’ai pu obtenir les six niveaux qui ont été réalisés par l’auteur de l’article. Je propose ici une comparaison entre ses réalisations et les miennes.
L’entraînement
Le but de cette phase est d’entraîner les élèves à la recherche des différents prolongements. Quatre figures de difficultés croissantes seront proposées aux élèves. Les fiches élèves sont en annexe 4 et 5.
J’ai alors proposé aux élèves de corriger leurs propres productions. Pour cela, j’ai donné aux élèves les fiches qui sont en annexe 6 et 7. Il s’agit des mêmes fiches élèves (annexe 4 et 5) où ont été ajoutés les prolongements qui devaient être repérés. Les élèves devaient donc vérifier leur travail en traçant les mêmes prolongements que ceux de la correction. Si leur production était correcte, ils corrigeaient la suivante sinon ils avaient la possibilité de refaire la reproduction.
Une correction au tableau a ensuite été proposée pour la dernière figure qui était plus difficile.
Évaluation sommative
Enfin, la classe réalise à nouveau l’activité Picasso proposée en première séance. L’analysedes résultats permettent de mettre en parallèle l’évaluation diagnostique et l’évaluation sommative. Je pourrai créer un bilan de séance et revenir sur le tableau établissant le niveau atteint par les élèves lors l’évaluation diagnostique et ainsi pouvoir peut être constater une évolution.
Les résultats
Première expérimentation : l’évaluation du CP au CM2
J’ai eu l’opportunité de réaliser mon expérience au sein d’une même école. Cela donne plus de valeur à mon activité. En effet, si mon évaluation avait été proposée à des classes issues d’écoles différentes, les résultats auraient peut être été faussés. Les écoles n’ont pas toutes la même manière de travailler la géométrie et n’utilisent pas la même pédagogie. J’ai réalisé cette expérimentation à l’école privée Saint Charles de Saint Martin-les-Boulogne. Dans le tableau suivant sont répertoriés les différents effectifs par classe.
La gestion de la zone C-D
Je me suis tout d’abord concentrée sur le tracé de la grande verticale à droite de la figure. « Est-ce que les élèves allaient réaliser la zone C et la zone D en traçant en une seule fois ou s’ils allaient reproduire une zone puis aller prendre un recul avant de venir replacer la règle afin de tracer la deuxième zone? ». La première configuration serait davantage révélatrice d’une vision 1D par rapport à la deuxième. En effet, cela montre que l’élève voit à travers l’amorce de figure une droite et non plusieurs segments accolés les uns aux autres.
Mais les élèves ont besoin de fermer la figure, on peut donc raisonnablement penser qu’ils vont réaliser la figure zone par zone (C puis D). Pour cela, il leur est donc nécessaire de « boucher les trous ». En analysant les fiches élèves, j’ai pu classer en deux catégories les tracés de élèves. Pour la majorité des élèves, le tracé était très clair et m’aidait à imaginer la procédure utilisée par les élèves. Voici un exemple de réalisations d’élèves.
Dans le premier cas (élève A) on voit que l’élève a bien cherché à « boucher les trous ». Malgré cela, il n’a peut-être pas relevé sa règle. Dans le deuxième cas (élève B), le trait est bien continu d’une zone à une autre.
Le matériel
En CP, le matériel a été imposé par l’enseignante au moment où un élève allait réaliser l’exercice à main levée. Chaque élève a donc travaillé avec la règle graduée et le crayon de bois.
En CE1et en CM1, tous les élèves ont spontanément utilisé la règle et le crayon de bois.
En CE2, le même matériel a été utilisé, je note cependant quelques exceptions. Seul un élève a réalisé l’exercice à main levé, un autre a utilisé un crayon bic. J’ai également pu observer un élève reproduire la zone H à l’aide de l’équerre (utilisée en tant que gabarit).
L’utilisation de l’équerre prouve la vision 2D de cet élève.
En CM2, j’ai observé une tout autre utilisation des instruments. Seule cette classe a utilisé la règle de manière informelle. En effet, les élèves ont pris des mesures sur la figure originale. Seul un élève a utilisé le compas afin d’effectuer des reports de longueurs.
Conclusion
Le point le plus frappant dans cette analyse est la réussite des CM2 par rapport aux autres classes. En effet, ce niveau se démarque particulièrement par sa faculté d’analyse sur la figure initiale. Le fait d’aller prendre des indices sur la figure modèle montre la volonté des élèves à reproduire une figure à l’identique alors que dans les autres classes, les élèves cherchaient à réaliser une figure ressemblante. Pour les élèves de CP au CM1, la ressemblance s’arrêtait à la vision perceptive, mais en CM2, les élèves ressentent le besoin de passer par les propriétés, les instruments géométriques afin de contrôler que les deux figures soient rigoureusement identiques.
Au vu des différents résultats, j’ai trouvé judicieux de proposer une séquence d’enseignement dans une classe de CM1.
Deuxième expérimentation: La séquence d’apprentissage
L’évaluation diagnostique
Suite aux résultats issus de la première expérimentation le CM1 semble être une « classe clé » dans l’évolution des regards. Étant donné la facilité de réalisation en CM2, il était plus judicieux de proposer mon apprentissage en classe de CM1 afin de pouvoir en mesurer son apport.
J’ai donc effectué ma séquence détaillée plus haut à l’école Valois à Le Portel dans la classe de CM1 de Mme Frey et Mme Lurot. Il s’agit d’une classe de 25 élèves.
Dans un premier temps, j’ai proposé l’évaluation diagnostique( cf 2.2 a) ).
Lors de la validation des réalisations des élèves, j’ai considéré comme incorrectes, les réalisations possédant une mauvaise direction de l’oblique (ou d’autres droites), une gestion des « coins » approximative comme cela a été illustrée plus haut dans le chapitre 2.1. Par contre je n’ai pas pris en compte les approximations qui relèveraient du soin ( crayon mal taillé).
Si l’élève a réussi, il réalise ensuite la fiche 4. Au contraire, si l’élève ne réussit pas correctement la reproduction, on lui distribue la fiche 2 et ainsi de suite. Je propose ici deux exemples parmi les différentes réalisations d’élève. Je propose tout d’abord, ci-dessous, le travail de l’élève A. Suite à la réalisation du niveau 3, nous avons tout d’abord vérifié que tous les tracés étaient présents (notamment au niveau du tracé de l’oblique) puis nous avons superposé son travail au calque de la figure initiale. Les deux figures se confondaient. Nous pouvions donc émettre l’hypothèse selon laquelle l’élève avait analysé la figure pour reproduire l’oblique puisqu’elle avait une parfaite orientation. Un autre hypothèse serait que cet élève ait placé minutieusement sa règle le long segment existant. En tout état de cause, la reproduction coïncidait avec la figure d’origine. Nous avons donc distribué à l’élève la reproduction numéro 4. Ce niveau n’a pas été atteint par l’élève. En effet, on peut constater que l’élève a du prendre ce que j’ai appelé ci-dessous le « faux sommet » comme étant le vrai. Le sommet n’existait pas sur l’amorce.
Il était nécessaire de prolonger à la fois la droite verticale et l’oblique pour obtenir le sommet. Il s’agissait là de la plus grande difficulté de la reproduction numéro 4.
La séance d’apprentissage
Dans un deuxième temps, j’ai proposé la séance présentée dans la partie 2.2 b). Malgré le fait d’avoir insisté sur l’importance de regarder et analyser la figure, je constate rapidement que beaucoup d’élèves se lancent dans une reproduction qui relèvent de la perception. De plus, les élèves oubliaient de comptabiliser leurs points ainsi que de changer de couleurs.
En effet la consigne était lourde, surtout amenée ainsi dans la classe. Il est certain qu’il aurait été préférable de construire des séances au préalable afin de les habituer aux changements de couleurs, à la comptabilisation de points, aux reports de longueurs… mais l’échéance du mémoire et le nombre de séances dont je disposais en classe m’en ont empêché. Durant la séance, je me suis alors centrée sur un groupe d’élèves auxquels je rappelais bien les consignes.
Gestion de l’oblique
Afin de réaliser correctement la figure, il était nécessaire de repérer différents alignements.
L’entraînement
Après avoir rappelé l’importance de l’analyse de la figure initiale avant de la reproduire, les élèves ont cherché les différents prolongements.
Pour les trois premières figures, les élèves n’ont pas eu trop de difficultés. On constate que les élèves ont travaillé sur les figures initiales et ont recherché les différents alignements.
La dernière figure ne fut pas réussie.
Pour quelques élèves, il était difficile de repérer tous les alignements. J’ai donc proposé une séance de correction. J’ai distribué aux élèves les fiches en annexe 6 et7. Elles présentent les différents prolongements nécessaires à la reproduction des figures. J’ai ensuite demandé aux élèves de tracer ces mêmes prolongements d’une autre couleur sur leur reproduction.
Ainsi les élèves pouvaient vérifier si leurs tracés coïncidaient avec les prolongements. Si on prend l’exemple en annexe11, l’élève a pu constater dans la première figure que deux des prolongement n’ont pas la bonne direction. Dans la deuxième figure, l’élève a pu valider son travail en constatant la bonne direction des traits produits.
Dans un dernier temps, la classe a réalisé sous la direction de l’enseignante la dernière figure.
L’évaluation sommative
Dans la dernière séance, nous avons à nouveau réalisé l’évaluation « Picasso ». Nous pouvons faire la comparaison entre les deux évaluations pour la gestion de l’oblique ainsi que celle de la zone C-D.
Le diagramme suivant présente une comparaison de la gestion de l’oblique entre les deux évaluations.
Conclusion
Aujourd’hui, l’enseignement de la géométrie est souvent négligée. Le domaine de la géométrie est bien vaste et pourtant ne représente qu’une partie de la matière mathématiques. Il serait profitable d’y consacrer plus d’heures afin que l’élève acquiert les connaissances nécessaires et soit au mieux préparé à la géométrie déductive du collège. Le problème n’est évidemment pas spécifique à la géométrie. La complexité du domaine rend son enseignement délicat. Il est certain que préparer et choisir sa méthode d’enseignement sont des points clés.
Le travail que j’ai mené ici est bien sûr incomplet et demande une recherche plus approfondie. Mais il est un bon point de départ sur la réflexion de l’enseignement de la géométrie. Tout d’abord, il est important d’avoir conscience de l’évolution des regards qui doit se produire chez les élèves. Il est primordiale de passer d’une géométrie perceptive à une géométrie s’appuyant sur l’analyse de figures. À l’école maternelle, les élèves perçoivent les formes ( le rond, le carré, le triangle…). Progressivement, à l’école élémentaire, les élèves vont analyser les figures et commencer à voir en une figure un réseau de droites. Ce passage est nécessaire pour se préparer à la géométrie du collège.
Dans l’enseignement secondaire, les élèves vont aborder les démonstrations qui se basent souvent sur les relations entre les droites. C’est pourquoi la vision perceptive ne suffira plus ici à la résolution de problèmes.
Dans un premier temps, mon travail m’a amenée à constater que cette évolution se faisait bien durant l’école élémentaire. En proposant une même activité sur les cinq niveaux du CP au CM2 j’ai pu observer que les élèves n’analysaient pas les figures de la même manière. Une autre conclusion de cette première expérimentation fut qu’un écart important existait entre le CM1 et le CM2. On peut donc imaginer que même si le passage d’une vision à une autre se fait sur le long terme et se prépare, un « déclic » s’est produit, dans cette école, au niveau du CM1. Cela m’a permis, dans un deuxième temps, d’envisager une séquence d’apprentissage à ce niveau.
J’ai choisi ici d’axer mes recherches sur un enseignement centré sur les activités d’alignement et de prolongement proposées notamment par deux chercheurs Marc GODIN et Raymond DUVAL (2005). La séquence menée en classe se présentait en six séances avec une évaluation diagnostique, deux séances centrées sur l’apprentissage, deux séances d’entraînement et d’automatisation et une séance d’évaluation. L’évaluation diagnostique et l’évaluation finale étaient identiques. En classant les élèves par niveau, une comparaison entre les deux évaluations a permis de constater les progrès effectués par les élèves. Les résultats obtenus sont prometteurs et m’amènent à conclure que le fait de travailler en géométrie à partir d’activités de recherches d’alignement et de prolongement aide les élèves à analyser la figure. Ils commencent donc à percevoir les figures différemment. Le passage d’une vision à une autre est un long processus et se prépare bien avant le CM1. Je pense notamment à la manière dont la droite est amenée aux élèves. Comment faire percevoir aux élèves qu’il y a une infinité de points sur une droite alors que la notion d’infini reste à bâtir chez la majorité des enseignants? Moi-même malgré les démonstrations de mathématiciens, j’ai des difficultés à concevoir qu’il y a autant de nombres entre 1 et 2 que entre 1 et 1000. J’imagine qu’une réflexion sur la manière d’amener la droite aux élèves serait fortement intéressante.
Les activités suggérées par Godin et Duval sont donc une aide dans le passage d’une vision 2D à une vision 1D.
Il serait maintenant intéressant de se demander si d’autres activités complémentaires pourraient également enclencher ce changement de regard. « Serait-il possible de comparer leur impact et de valoriser l’efficacité des différents enseignements de la géométrie? »
Toutes ces réflexions nous seront fortement utiles afin de nous préparer à notre futur métier. Il nous sera nécessaire dans n’importe quelle matière de connaître les différents enseignements et être capable d’en choisir une en fonction des besoins des élèves. Prenons l’exemple des méthodes de lecture; méthode globale, syllabique semi globale, laquelle choisir? Quel avantage chacune d’entre elles nous apportent-elles?
Lors de mes périodes de stage, je me suis davantage attachée à l’observation des enseignements de cette matière
Les connaissances que j’ai acquises et les réflexions que j’ai menées dans la rédaction de ce mémoire me préparent au mieux à l’enseignement de la géométrie.
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Table des matières
Introduction
1. 1.La construction de la problématique
1.1.Apports théoriques
1.2.De la théorie à la pratique
2. 2.La méthodologie
2.1.Constater l’évolution des regards
2.2.Séquence d’apprentissage
a) Évaluation diagnostique
b) L’apprentissage
c) L’entraînement
d) Évaluation sommative
3. 3.Les résultats
3.1.Première expérimentation : l’évaluation du CP au CM2
a) La gestion de la zone C-D
b) La gestion de l’oblique
c) L’ordre
d) Le matériel
e) Conclusion
3.2.Deuxième expérimentation: La séquence d’apprentissage
a) L’évaluation diagnostique
b) La séance d’apprentissage
c) L’entraînement
d) L’évaluation sommative
Conclusion
