CONNEXIONS LINÉAIRES AVEC MÉTRIQUES RELATIVES A UNE COURBURE DONNÉE

INTRODUCTION

Entre 1830 et 1930 ou « un siècle de Géométrie » qui s’est élaboré la notion de connexion avec l’alliance étroite de Physique et Mathématiques. Nombreux géomètres de cette période ont collaboré à cette transformation tels que Carl Friedrich Gauss, Bernard Riemann et Élie Cartan. Gauss met notamment en évidence l’influence de la courbure d’une surface avec l’expression des métriques dans ces coordonnées géodésiques et Riemann la généralise en dimension supérieure. Dans ce programme, Riemann donne des formules fondamentales pour le développement de la Géométrie qui est appelée aujourd’hui géométrie riemannienne et, qui a été généralisé par P. Finsler en 1918 en géométrie finslérienne. Après une année de la publication du texte de Riemann, Edwin Bruno Christoffel introduit la notion de connexion et les fameux symboles Γi jk. Ces symboles doivent vérifier les expressions différentielles de degré 2 pour pouvoir se transformer l’ une dans l’autre par un changement de variable. Compte tenu des formules introduites par Christoffel, Grégorio Ricci-Curbastro créait un outil de grande importance théorique en 1888 pour les opérations de dérivation partielle effectuées dans des systèmes de coordonnées locales et du calcul tensoriel, avec la collaboration de son élève Tulio Levi-Civita (qui en 1917 introduit la notion de transport parallèle pour l’automatisation de la connexion). Actuellement, on étudie les environnements d’une connexion linéaire dans une variété riemannienne, plus précisément de sa courbure. C’est pourquoi on se pose la question suivante : étant donné une courbure d’une variété riemannienne quelconque existe t-elle et comment se comporte t-elle une connexion linéaire avec métrique qui lui corresponde ? Pour répondre à cette question, nous choisissons comme travail de mémoire le thème sur les connexions linéaires avec métriques correspondantes à une courbure donnée. Ce travail comprend trois chapitres :
— d’abord, dans le chapitre I, on introduit quelques définitions, propriétés, théorèmes et même des propositions afin de les utiliser dans les chapitres qui le suivent,
— ensuite, le second chapitre comprend la notion de connexion linéaire, sa torsion, ainsi que ses courbures seront explicitées d’une manière algébrique et analytiques sans oublier la connexion de Levi-Civita qui est le fondement de ce travail et est escorté par quelques exemples concrètes,
— enfin, dans le troisième et dernier chapitre, on présentera la connexion linéaire avec métrique correspondante à une courbure de Ricci donnée, qui est sous-tiré à partir de l’article de Jacques Gasqui [Gas79]. On donnera l’existence et le comportement de la connexion à chercher et en même temps on essaie de poser les conditions nécessaires pour avoir cette connexion. Nous proposons quelques exemples d’illustration de nos résultats. Des problèmes ouverts seraient évoqués dans la conclusion.

Connexion de Levi-Civita

Dans cette section nous introduisons la connexion de Levi-Civita ∇ d’une variété riemannienne pM,gq. Elle est une exemple important de la notion générale d’une connexion sur un fibré vectoriel lisse. Nous explicitons cette connexion pour des groupes de Lie associée à des métriques. Nous prenons des exemples concrets d’une connexion de Levi Civita d’une variété riemannienne ainsi que leur propriétés.

Quelques types de connexions linéaires à courbure donnée

Connexion linéaire diagonale Dans cette section , on étudie cas par cas que la forme de la connexion linéaire d’une manière algébrique à partir de sa courbure de Ricci. Une question se pose : pourquoi s’intéresse t-on qu’à la connexion linéaire diagonale ? La réponse est simple, afin de restreindre les coefficients de la connexion, on peut prouver l’existence de cette connexion et voir sa morphologie en respectant le comportement de la courbure de Ricci donnée.

CONCLUSION

En somme, l’étude théorique de la variété riemannienne nous permet d’évaluer que d’innombrable façons peuvent donner une connexion riemannienne, soit d’une manière géométrique telle que le transport parallèle ou la géodésique le long d’un chemin donnée en résolvant un système d’équations différentielles linéaires de premier et second ordre de type (2.9) et (2.10) respectivement. Directement, on peut avoir la structure d’une variété à partir de la courbure sectionnelle ( dans le cas constante) d’en déduire son expression analytique qui donne la métrique de la connexion de Levi-Civita qui lui correspond. Pour pouvoir répondre à la question soulevée, la méthode de Newton nous aide à prouver l’existence d’une connexion linéaire à partir de la courbure de Ricci localement grâce au lemme de Poincaré pour une 1-forme vectorielle ω , dω “ Fpω, xq. Analytiquement, quand on adopte une courbure quelconque on peut relever, de cette courbure une connexion avec la structure riemannienne qui lui convient en vérifiant le théorème fondamental de la géométrie riemannienne ∇g “ 0 et dgij “ ωij ` ωji en respectant la morphologie du point de vue classe de la courbure et ainsi que sa convergence dans une boule donnée. Particulièrement, on a essayé de faire une approximation par une connexion linéaire polynômiale et, diagonale. Cette méthode a une limite pour la forme de la connexion, c’est pourquoi dans la suite de notre recherche, on pourrait généraliser le problème afin de la concrétiser, c’est-à-dire on fera une approche algébrique pour la courbure dans une variété finslérienne pour savoir sa connexion linéaire en se basant de la relation R “ ´12rh, hs où h est le projecteur horizontal de la connexion Γ et r , s est le crochet de Frölicher-Nijenhuis.

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Table des matières

Introduction
1 PRÉLIMINAIRES
1.1 Définitions et Théorèmes
1.1.1 Variété différentiable
1.1.2 K-famille
1.1.3 Germes de fonctions différentiables
1.1.4 Applications différentiables d’une variété différentiable
1.1.5 Champs de vecteurs
1.1.6 Opérateurs différentiels sous-déterminés
1.1.7 Algèbre de Lie
1.2 Tenseur de type (p,q)
1.3 Variétés riemanniennes
2 CONNEXION LINÉAIRE AVEC MÉTRIQUE
2.1 Connexion linéaire
2.1.1 Définition
2.1.2 Expressions en coordonnées locales
2.1.3 Transport parallèle le long d’une courbe
2.1.4 Géodésique
2.2 Torsion et courbure d’une connexion
2.2.1 Torsion
2.2.2 Courbure d’une connexion linéaire
2.3 Connexion de Levi-Civita
2.4 Exemples
3 CONNEXIONS LINÉAIRES AVEC MÉTRIQUES RELATIVES A UNE COURBURE DONNÉE
3.1 Connexions linéaires avec métriques relatives à une courbure donnée
3.2 Quelques types de connexions linéaires à courbure donnée
3.2.1 Connexion linéaire diagonale
3.2.2 Connexion linéaire polynômiale
3.3 Exemples
CONCLUSION
APPENDICE
Bibliographie