Connexion linéaire et géométrie riemannienne

Connexion linéaire et géométrie riemannienne

Groupes d’holonomies et structure riemannienne

Dans cette section, nous allons voir que sous la condition de relative compacité des groupes d’holonomies, on construit une structure riemannienne à partir d’une connexion sur une variété différentiable. Définition 3.1.1. [7] Soit ? une variété différentiable, ? ? un fibré tangent sur ? et ∇ la connexion de Levi-Civita sur ? ?. Soit ? : r0, 1s Ñ ?, ?p0q “ ?, ?p1q “ ? avec ?, ? P ? une courbe lisse par morceaux sur ?. On dit qu’un champ ?p?q est parallèle le long de la courbe ? lorsque ?? ?? p?q “ 0, où ?? ?? p?q désigne la dérivée covariante du champ ?p?q le long de la courbe ?, il est défini par ?? ?? p?q “ ∇?9 p?q?p?q. On appelle alors transport parallèle toute application linéaire

Les variétés riemanniennes

Présentons les notions de variétés riemanniennes, en commençant avec les variétés différentiables, puis les champs des vecteurs.

Rappels

Soit ? un espace topologique séparé. On dit que ? est une variété topologique de dimension ? si tout point ? de ? a un voisinage ouvert ?? homéomorphe par ?? à un ouvert ??p??q de R ? Formellement, on a @? P ?, D?? Ă ?, et ?? : ?? Ñ ??p??q Ă R ? un homéomorphisme.Dans la définition, p??, ??q est appelé carte locale de ?.

Définition

Soit l’homéomorphisme ?? : ?? Ñ ??p??q. Pour tout point ? de ??, ??p?q est un point de R ? et d’autre part on a les coordonnées euclidiennes usuelles p?1p??p?qq, ¨ ¨ ¨ , ??p??p?qqq pour ??p?q Le théorème suivant nous permet d’avoir un lien étroit entre une variété différentiable et une variété analytique réelle. En effet, toute variété analytique réelle estune variété différentiable. La réciproque est le théorème suivant :

Théorème .

(Théorème de Whitney) Toute variété différentiable de dimension n, admet une structure analytique réelle.

Définition

Soit ? une variété différentiable. On dit que ? est paracompacte si pour tout recouvrement ouvert p??q?P? de ?, il existe un recouvrement ouvert p?? q?P? de ? qui est plus fin que p??q?P? et localement fini, c’est-à-dire, @? P ?, D? P ?; ?? Ă ?? et puis tout ? de ? possède un voisinage ?? qui ne rencontre qu’un nombre fini des ??
.
Exemple

(Variété analytique réelle) L’espace projectif réel ?? pRq. Définissons la relation d’équivalence de colinéarité ℛ sur R ?`1 zt0u. Soient ? et ? deux point de R ?`1 zt0u, ? est dit en relation avec ? (?ℛ?) s’il existe ? P R ˚ tel que ? “ ??. Soit ? P R ?`1 zt0u, alors .

Table des matières

Remerciements 
Notations 
Introduction 
Les variétés riemanniennes 
Rappels
Les structures riemanniennes 
Connexion linéaire et géométrie riemannienne 
Connexion linéaire 
Connexion de Levi-Civita
Construction d’une structure riemannienne 
Groupes d’holonomies et structure riemannienne 
Variétés analytiques réelles et structure riemannienne
Enveloppe linéaire de la courbure et structure riemannienne
Reconnaissance d’une connexion riemannienne par un algorithme et
applications
Table des matières 
Algorithme pour une structure riemannienne .
Applications
Conclusion 
Bibliographie

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