Confrontation entre évaluation non destructive et évaluation destructive du phénomène de colmatage dans des milieux granulaires à simple et double porosité

Introduction

Dans cette étude, nous adopterons donc les équations linéaires phénoménologiques de Berryman et Wang (1995) dérivées du modèle à simple porosité de Biot (1955, 1962a) et établies pour le comportement d’un milieu à double porosité. Une conséquence de ce modèle, dans lequel l’isotropie est implicite, est l’augmentation du nombre de coefficients indépendants décrivant le milieu (inertiel, traînée et contrainte-déformation) par rapport à la théorie initiale de Biot. De plus, l’étude de la propagation des ondes montre que les milieux à double porosité saturés par le même fluide admettent trois ondes de dilatation ou de compression (ondes P) et une onde de cisaillement ou transversale (onde SV) (Berryman et Wang, 2000). Dans la simple porosité de Biot, il n’existe que deux ondes de dilatation en plus de l’onde de cisaillement.
Un milieu à porosité simple est un matériau constitué de deux phases de nature différente : un squelette solide élastique et un réseau de pores de même rayon moyen. Comme exemples, on peut citer les milieux granulaires non consolidés (sable, empilement de billes…, c’est le cas du Robu et de la Tobermorite utilisés pour les expériences de cette thèse), et les milieux poreux consolidés (roches, grès, bois…, c’est le cas du grès de Berea), les vides formés par l’arrangement des grains (soudés ou non) entre eux constituant alors la macroporosité.

Description brève du modèle à simple porosité de Biot

Lois de comportement

Soit un milieu contenant un seul réseau de pores (porosité simple) saturés d’eau et répartis dans une matrice élastique appelée le squelette. On désigne par U et u les déplacements moyens, respectivement de la phase fluide et de la phase solide. Chaque particule de ce milieu considéré comme continu contient à la fois du solide et du fluide. La loi de comportement reliant le tenseur des contraintes ij  et la pression P dans le fluide saturant au tenseur des déformations ij  est donnée par.

Propagation acoustique dans un milieu non borné à double porosité saturé par un fluide

Dans cette section, on s’intéresse à la propagation d’ondes acoustiques dans les milieux à double porosité d’extension infinie (dans toutes les directions). Les travaux de Berryman et Wang (Berryman et Wang, 2000) dont une partie est détaillée ci-dessus ont montré que dans les milieux à double porosité saturés par un liquide, trois ondes longitudinales et une onde transversale, toutes dispersives sont susceptibles de se propager. Après avoir rappelé brièvement les principaux développements menant aux équations de dispersion qui montrent l’existence de ces quatre ondes, on présente une étude numérique de leurs vitesses de phase et de leurs atténuations pour les deux matériaux, ROBU® et Tobermorite 11Å, dont les descriptions et les propriétés physiques ont été données dans la section précédente.

Caractéristiques acoustiques du Robu et de la Tobermorite

Vitesses de phase

Sur la Figure 1. 3, on présente les évolutions, en fonction de la fréquence, des vitesses de phase des trois ondes longitudinales et de l’onde transversale dans le milieu poreux à double porosité formé de ROBU. Sur la Figure 1. 4 on présente ces quatre vitesses pour la Tobermorite. Les valeurs numériques nécessaires au calcul sont fournies dans le chapitre 1 (cf. Tableau 1. 2). On peut observer sur les figures que les vitesses de phase sont dispersives pour les deux matériaux. La variation fréquentielle des vitesses pour le Robu est telle que celle-ci croît brusquement jusqu’à environ 5 kHz et reste quasi-constante le long du domaine fréquentiel étudié. En revanche, les vitesses de phase des ondes de la Tobermorite varient exponentiellement et continuent à augmenter avec la fréquence. La propagation des quatre ondes à travers le Robu est plus rapide qu’à travers la Tobermorite. Notons que, la troisième onde de compression P3 a un comportement différent pour les deux matériaux. Son augmentation est très accentuée par rapport aux autres ondes (une variation de 200 m/s pour le Robu, et de 400 m/s pour la Tobermorite, en allant de 1 à 100 kHz. En effet, la croissance des vitesses avec la fréquence, pour les quatre types d’ondes, est due à l’augmentation des forces d’inertie avec la fréquence. En effet, l’onde P3 est due au couplage entre la phase solide et la deuxième phase fluide, et en sachant que ce couplage affecte les forces d’inertie. C’est pourquoi, une croissance très marquée de l’onde P3 a été observée.

Atténuations

L’atténuation dans les milieux poreux est introduite par les frictions visqueuses, les échanges thermiques et les mouvements différentiels entre le fluide et le solide. On présente l’atténuation de chacune des ondes en fonction de la fréquence, pour le Robu (Figure 1. 5) et pour la Tobermorite (Figure 1. 6). Deux comportements différents ont été observés. Pour le Robu, le mouvement différentiel engendre une dissipation décroissante avec la fréquence. A environ 100 kHz, les valeurs tendent vers zéro. Pour la Tobermorite, sauf pour l’onde P3, le comportement est inversé. En effet, l’atténuation suit la variation des vitesses pour ce cas. La seule explication possible est liée aux paramètres caractérisant ce milieu à savoir la porosité et les modules d’incompressibilité.
La forte atténuation de l’onde P3 pour les deux matériaux, est constatée. Celle-ci limite, par ailleurs, la croissance de la vitesse. Les valeurs des atténuations sont plus grandes pour la Tobermorite que pour le ROBU.

Conclusion

Nous avons présenté un bref aperçu des théories de Biot (porosité simple) et de Berryman et Wang (porosité double). Les milieux sont saturés par un fluide. Les lois de comportement, les contraintes et les pressions en fonction de la déformation, les expressions des coefficients d’inertie et de frottement sont fournies. Cela permet d’obtenir les équations du mouvement d’une particule du milieu à double porosité conduisant aux équations de dispersion. La résolution des équations de dispersion montre que quatre ondes sont susceptibles de se propager dans le milieu à double porosité : trois longitudinales et une transversale, toutes dispersives et atténuées. Les valeurs numériques présentées ici pour le ROBU et la Tobermorite permettront, au chapitre 3, d’effectuer un travail de comparaison avec les mesures expérimentales.
Par ailleurs, certaines des équations présentées ici vont être utilisées dans le chapitre 2 qui traite de la réflexion et de la transmission par une couche plane en Grès de Berea considéré comme un milieu à double porosité. Bien que très succincte, cette présentation permet de se rendre compte de la complexité croissante des analyses et des équations avec le nombre de porosité pris en compte.

Discussion

On note que les indices S et A correspondent aux deux types de modes, symétrique et antisymétrique, qui se propagent dans une couche isotropique d’épaisseur constante, quel que soit le matériau constituant, fluide, élastique, simple ou double porosité. Les modes symétriques (antisymétriques) sont des modes, pour lesquels les déplacements des faces opposées de la couche sont en phase opposée (en phase). Les formes données dans les équations (80) et (81) aux coefficients de réflexion et de transmission permettent d’avoir une décomposition en parties symétrique et antisymétrique et de généraliser les expressions introduites initialement pour l’étude de la diffusion par résonance de couches submergées (Fiorito et Überall. 1979) et (Fiorito et al. 1979).
La signification physique de chaque terme décrivant les coefficients de réflexion et de transmission est.

Résultats numériques

Vitesses de phase

Les vitesses de phase des ondes se propageant dans le BereaSandstone sont données par l’équation (cf. 2.22) et calculée suite aux données représentées sur le tableau 3.1.
La Figure 2. 2 permettent de suivre l’évolution fréquentielle des quatre ondes se propageant dans le milieu. Les vitesses de phase de la première, deuxième et troisième onde decompression sont approximativement 3193 ms -1 , 525 ms -1 and 34 ms -1 pour f = 100 kHz. La vitesse de phase de l’onde de cisaillement est égale à 1696 ms -1 . On constate que pour les quatre types d’ondes, la vitesse de phase croit avec la fréquence. Ceci est dû à l’augmentation des forces d’inertie avec la fréquence. La différence des forces d’inertie entre le fluide et la partie solide engendre un mouvement différentiel entre le fluide et le solide, ce qui entraine moins de fluide dans le déplacement de l’ensemble. Par conséquent, la masse dans le déplacement de l’ensemble devient de moins en moins importante lorsque la fréquence croit, la vitesse augmente donc avec cette dernière.

Atténuations

L’atténuation dans les milieux poreux est introduite par les frictions visqueuses et les échanges thermiques entre le fluide et le solide. Le comportement fréquentiel de la première onde de compression et de l’onde de cisaillement est le même avec une légère différence dans les valeurs (l’onde de cisaillement est plus atténuée). En effet, le mouvement différentiel engendre une dissipation croissante avec la fréquence jusqu’à environ 3 kHz. A partir de cette valeur, l’atténuation diminue. Pour la deuxième et troisième ondes de compression, leurs atténuations diminuent avec l’augmentation de la fréquence. Ces ondes sont plus atténuées par rapport aux autres (Figure 2. 3).

Coefficients de réflexion et de transmission

La Figure 2. 4 montre la variation des modules de réflexion (R) et de transmission (T) à travers la couche du Berea Sandstone en fonction de la fréquence pour deux angles d’incidence (0° et 20°). La position des creux (pour R) et des pics (pour T) dépend de la valeur de l’angle d’incidence. La Figure 2. 5 présente les modules R et T en fonction de l’angle d’incidence pour deux fréquences (50 kHz and 75 kHz). En s’approchant de l’angle 30°, des variations rapides sont observées en réflexion et en transmission. Les amplitudes de R et T diminuent avec l’augmentation de l’angle d’incidence. A environ 90°, on remarque une absence quasi-totale de la transmission quel que soit la fréquence. Cela s’explique par lapropagation d’une onde rasante provoquant la réflexion totale des ondes.
La couche du milieu poreux étant absorbante (nombre d’ondes m kettk sont des valeurs complexes), l’inégalité 22 1 RT  est vérifiée quel que soit la variable, fréquence ou angle.
Les informations obtenues à partir des courbes présentées dans les Figures 2. 4 et 2. 5 sont différentes. Dans la Figure 2. 4, des oscillations sont observées autour des valeurs maximum (minimum) de R (de T). Tandis que, sur la Figure 2. 5, ces oscillations ne sont pas présentes.
Les raisons de ces différences seront expliquées clairement dans la représentation 3D de R et T (paragraphe 2.11).

Etude des modes de vibration

Rappels sur les modes de Lamb dans une plaque élastique

Les ondes de Lamb (nommées également modes normaux) se définissent comme étant des perturbations élastiques se propageant le long d’une plaque d’épaisseur finie, dues à la mise en vibration de cette plaque.
Dans une plaque élastique, seul un nombre fini d’ondes de Lamb symétriques ou antisymétriques peut se propager. Elles se différencient par leurs vitesses de phase et de groupe, et la distribution des déplacements et contraintes le long de l’épaisseur de la plaque.
Les équations régissant la propagation des ondes de Lamb dans une plaque élastique ont été établies par Lamb (1917) et étudiées par de nombreux auteurs dont Viktorov (1967), Royer (1996) et Auld (1973). Il existe deux méthodes d’excitation des ondes de Lamb : la création de perturbations sur la surface de la plaque ou bien la création de perturbations à l’intérieur de la plaque ou sur la face d’une des extrémités. La première est la plus utilisée, et elle se réalise de différentes manières, toutes détaillées par Viktorov (1967).

Etude des modes de Lamb d’une plaque poreuse libre

Il a été montré que deux familles d’ondes guidées peuvent se propager dans une couche poreuse : les modes portés par le squelette et les modes portés par le fluide saturant.
Les modes de structure ont pour vitesses limites à haute fréquence la vitesse du mode de Rayleigh et la vitesse de l’onde transversale alors que les modes dans le fluide ont pour vitesse limite l’onde de Biot de seconde espèce. La perte d’énergie des ondes guidées se propageant dans un milieu poreux provient de deux phénomènes : la réémission vers l’extérieur et l’absorption due à la viscosité du fluide saturant. Cette dernière a des effets importants sur le comportement du milieu poreux dans le domaine des basses fréquences.
Nous définissons les ondes guidées pouvant se propager dans un milieu à double porosité consolidé, selon la direction x (Figure 2. 1). Il existe deux types d’ondes guidées : les ondes de Scholte-Stoneley (leur amplitude diminue en s’éloignant des interfaces la plaque), et les ondes de Lamb généralisées (leur amplitude croît en s’éloignant des interfaces de la plaque).
Les ondes guidées se propagent dans le milieu suite à un couplage d’ondes hétérogènes rapide, lente et transverse. La représentation 3D de R et T permet d’avoir une meilleure compréhension des ondes se propageant dans le milieu à double porosité. Elle est donnée sur la Figure 2. 6.
La Figure 2. 6 est une vue de dessus (dans le plan   , f  ) d’une représentation 3D, avec les modules R et T comme troisième axe. Sur la Figure 2. 6 (a), la position des creux des coefficients de réflexion pour les deux variables f etdonnent des courbes continues qui sont en lien avec celles observées sur les Figures 2. 4 et 2. 5. Nous pouvons constater une absence totale de la réflexion autour de 75° et 90° pour des fréquences allant de 15 à 100 kHz.
En examinant la Figure 2. 6 (b), nous remarquons tout d’abord, que la couleur de fond dans les deux figures est inversée puisque la réflexion (la transmission) se manifeste par des creux (pics). La position des pics pour les coefficients de transmission donne des courbes continues à partir desquelles on en distingue deux familles. La première ayant une grande similitude avec les modes de Lamb (cf paragraphe 3.8.1) rencontrés dans l’étude des couches élastiques (du jaune au rouge indiquant les grandes valeurs du coefficient de transmission). Avec l’augmentation de la fréquence, ces modes deviennent des branches horizontales parallèles à l’axe de fréquence. La deuxième famille des courbes occupant le plan   , f  entier, se comporte différemment des modes de Lamb. Ce sont des branches verticales parallèles à l’axe des angles et qui correspondent aux pics secondaires ayant une faible amplitude observés sur la Figure 2. 4 (b) pour des angles précis. Ces branches verticales sont observées notamment dans la Figure 2. 6 (a) de la réflexion, qui sont plus faciles à voir seulement dans la gamme angulaire 40°-80°, mais beaucoup plus étroites, et produites par les petites oscillations près dumaximum du coefficient de réflexion sur la Figure 2. 4 (a).

Table des matières

Introduction générale
Partie A : Caractérisation acoustique des milieux à double porosité
Introduction à la partie A
Chapitre 1 : Rappels sur la propagation acoustique dans un milieu non borné à double porosité saturé par un fluide
1.1 Introduction
1.2 Description brève du modèle à simple porosité de Biot
1.2.1 Lois de comportement
1.2.2 Equations du mouvement
1.3 De la porosité simple à la double porosité
1.3.1 Equations constitutives de la théorie de la double porosité
1.3.2 Equations du mouvement d’une particule de milieu à porosité double
1.3.3 Expressions des coefficients d’inertie, de tortuosité et de frottement
1.3.3.1 Coefficients d’inertie
1.3.3.2 Coefficients de tortuosité
1.3.3.3 Coefficients de frottement
1.3.4 Données numériques
1.4 Propagation acoustique dans un milieu non borné à double porosité saturé par un fluide
1.4.1 Propagation et atténuation des ondes acoustiques
1.4.2 Etude des ondes longitudinales
1.4.3 Etude des ondes transversales
1.5 Caractéristiques acoustiques du Robu et de la Tobermorite
1.5.1 Vitesses de phase
1.5.2 Atténuations
1.6 Conclusion
Chapitre 2 : Caractérisation acoustique d’une couche de grès de Berea
2.1 Introduction
2.2 Description du modèle
2.3 Potentiels dans le fluide extérieur
2.4 Potentiels dans la couche à double porosité
2.5 Conditions de passage
2.5.1 Interface supérieure
2.5.2 Interface inférieure
2.6 Ecriture des contraintes, pressions et déplacements
2.7 Développement des conditions de passage
2.7.1 Etude de la condition de passage
2.7.2 Etude des conditions de passage à l’interface inférieure
2.7.3 Résumé pour l’interface inférieure
2.7.4 Etude des conditions de passage à l’interface supérieure
2.7.5 Résumé pour l’interface supérieure
2.8 Calcul des coefficients de réflexion et de transmission
2.9 Discussion
2.10 Résultats numériques
2.10.1 Vitesses de phase
2.10.2 Atténuations
2.10.3 Coefficients de réflexion et de transmission
2.11 Etude des modes de vibration
2.11.1 Rappels sur les modes de Lamb dans une plaque élastique
2.11.2 Etude des modes de Lamb d’une plaque poreuse libre
2.11.3 Passage de la double porosité au modèle élastique
2.11.4 Fréquences de coupure
2.11.5 Développement basse fréquence pour des mouvements symétriques ou dilatatoires
2.12 Sensibilité des propriétés acoustiques aux paramètres mécanique du milieu à double porosité
2.12.1 Effet de la porosité intragranulaire (microporosité)
2.12.2 Effet de la porosité intergranulaire (macroporosité)
2.12.3 Effet du module d’incompressibilité du squelette sec de la phase 1 (K1)
2.12.4 Effet de la perméabilité de la phase 1 (k11)
2.13 Conclusion
Partie B : Méthode non destructive et évaluation destructive de la filtration
Introduction à la partie B
Chapitre 3 : Mesures ultrasonores en transmission et en réflexion sur des matériaux poreux granulaires
3.1 Introduction
3.2 Dispositif expérimental
3.3 Acquisition des signaux
3.3.1 Réponse impulsionnelle (bande passante des transducteurs)
3.3.2 Signal transmis
3.3.3 Signal réfléchi
3.4 Transmission des ondes acoustiques
3.4.1 Incidence normale
3.4.2 Incidence oblique
3.4.3 Vitesses et atténuations des ondes longitudinales rapides
3.5 Réflexion en quasi-harmonique
3.5.1 Signaux temporels en incidence oblique
3.5.2 Vitesses de phase expérimentales et théoriques
3.6 Comparaison théorie / expériences
3.6.1 Incidence normale
3.6.2 Incidence oblique à 10°
3.6.3 Incidence oblique à 25°
3.7 Conclusion
Chapitre 4 : Confrontation entre évaluation non destructive et évaluation destructive du phénomène de colmatage dans des milieux granulaires à simple et double porosité
4.1 Introduction
4.2 Rappels sur les procédés de filtration et du colmatage
4.2.1 Filtration
4.2.2 Filtration en profondeur
4.2.3 Transport et rétention de particules
4.2.4 Colmatage des milieux poreux
4.2.5 Modèle mathématique du transport
4.2.6 Modèle mathématique de la filtration des particules
4.3 Application des mesures ultrasonores au colmatage
4.3.1 Matériaux poreux
4.3.2 Particules en suspension injectées
4.3.3 Dispositif expérimental
4.3.4 Essais de filtration et techniques d’évaluation du dépôt
4.3.4.1 Courbes de restitution
4.3.4.2 Variation des perméabilités relatives
4.3.4.3 Variation des porosités totales
4.3.5 Détection ultrasonore du dépôt de particules
4.3.5.1 Signaux acoustiques temporels
4.3.5.2 Vitesses de phase
4.3.5.3 Energie acoustique
4.3.5.4 Atténuation des ondes ultrasonores
4.3.6 Discussion
4.3.6.1 Profil de dépôt et profil d’énergie acoustique
4.3.6.2 Vitesse de phase et porosité
4.3.6.3 Effets des conditions d’essais sur le comportement mécanique et acoustique du milieu
4.4 Conclusion
Conclusion générale
Annexe A 
Références 

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