Soutenance mémoire
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Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis
Dans ce paragraphe, nous allons voir les éléments mathématiques qui vont essentiellement avec la méthode des éléments finis. Ce sont des outils mathématiques qui complètent la théorie.
Systèmes de référence :
Nous avons à utiliser trois types de systèmes de référence :
– Le système de référence global :
C’est le repère le plus courant. Il est constitué par un système d’axes fixes. L’unité de mesure est l’unité de longueur. Tout point du système a ses coordonnées par rapport à ce repère ( les coordonnées globales).
– Le système de référence local :
C’est le repère attaché au système, l’orientation des axes dépend du mouvement du système. L’unité de mesure est encore l’unité de longueur.
– Le système de référence naturel ou intrinsèque
C’est une manière de repérer les points indépendamment de la taille ni de la forme du système considéré.
Un point A d’un triangle sera repéré à partir des trois côtés ( côté 1, 2 et 3) de celui-ci. Le point A aura trois coordonnées L1, L2, L3. Les coordonnées naturelles peuvent être considérées comme le quotient des surfaces intérieures issues du point A et la surface totale du triangle.
Une autre manière de concevoir le système de coordonnées naturel, pour un triangle, c’est de raisonner en distance. Prenons, par exemple le côté n°1, il sera l’origine des L1, (tous les points appartenant à ce côté auront comme L1 égale à zéro). Ensuite, le sommet opposé à elle aura pour coordonnée L1 égale à l’unité.
Les points intermédiaires sont donc à une fraction de l’unité, à partir du côté 1 (Figure 6). Ainsi de suite pour les deux autres coordonnées (L2, et L3).
Nous constatons alors qu’en système de référence naturel, les coordonnées d’un point ne dépassent jamais l’unité . Et, la somme des coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à l’unité. Autrement dit, les coordonnées appartiennent toujours dans l’intervalle [-1 , 1]. Ceci rend ce mode repérage très intéressant pour la méthode des éléments finis. Plus tard, nous allons voir que les calculs des matrices de rigidité impliqueront des intégrations dans une certaine région. Les calculs sont nettement faciles lorsque les intégrations se font de –1 à +1. Des méthodes d’approximations numériques existent pour calculer ces genres d’intégrales. .
Transformation de coordonnées
Dans les calculs en éléments finis, il est préférable d’exprimer la matrice de rigidité dans le système de coordonnées locales (X,Y). Dans le cas d’éléments linéaires (poutres) les expressions de [Ke] (la matrice de rigidité) se font à partir des transformations de coordonnées.
Formules d’intégrations numériques :
Pour calculer les matrices de rigidité des éléments, nous sommes conduits à évaluer des intégrales le long d’une ligne ou à travers une surface ou encore dans un volume. Dans le cas d’une ligne, les fonctions sont facilement intégrables, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres. Nous allons donc évaluer les intégrales numériquement. Pour ce faire, nous allons utiliser des formules d’intégration de Gauss.
NOTES
– Pour les polynômes du deuxième degré, les résultats sont identiques à ceux obtenus pour les polynômes du troisième degré .
– Le principe reste le même pour les polynômes de degré supérieur.
– Cette formule de Gauss ne marche plus lorsque les bornes d’intégration ne sont plus –1 et +1.
Matrices creuses, matrices bandes et matrices symétriques :
Lors des manipulations des matrices de rigidité par la méthode des éléments finis, nous allons remarquer que :
Ces matrices de rigidité sont des matrices creuses c’est-à-dire qu’elles contiennent plusieurs éléments nuls.
Les matrices de rigidité sont des matrices bandes : les éléments qui se trouvent loin de la diagonale sont nuls.
Enfin les matrices sont symétriques.
Nous allons tirer avantage de ces trois caractéristiques pour optimiser notre programme. Plus la taille d’une matrice est grande, plus il va occuper de l’espace mémoire et, plus le temps de traitement sera long. Pour rendre les matrices de rigidité moins encombrantes;
1. Nous n’allons enregistrer que leur moitié, l’autre moitié s’obtiendra par symétrie. Les matrices ne seront remplies que lorsqu’elles sont utiles pour un calcul.
2. Nous n’allons stocker que les éléments non nuls des matrices.
Les effets de ces techniques peuvent paraître minimes pour les matrices de petite taille. Mais les différences commenceront à se sentir lorsque nous sommes en train de manipuler des matrices de grande taille, qui sont fréquentes dans la méthode des éléments finis.
Enfin, notons aussi que plus la somme des numéros des nœuds pour un élément est grande, plus les éléments de la matricede rigidité sont dispersés. Une matrice est dispersée lorsque des éléments non nuls apparaissent loin du diagonal. Ceci augmente aussi le temps de traitement des matrices. Les deux solutions sus-citées vont nous éviter ce genre de problème. Plus tard nous allons aussi voir qu’il est possible de réorganiser ces types de matrices en rendant les éléments plus proches du diagonal.
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Table des matières
INTRODUCTION.
Partie I : Théorie de la méthode des éléments finis
Présentation
Historique
Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis
Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis.
Partie II : Applications aux calculs des structures élastiques
Elément barre à une dimension
Elément poutre dans le plan
Elément poutre dans l’espace
Elément triangulaire
Elément quadrilatéral
Etude des plaques
Elément hexaédrique à huit noeuds
Partie III : Présentation de Matlab
Introduction
Matlab comme outil pour la simulation
Pourquoi Matlab ?
Présentation du programme
Partie IV : Applications
Introduction
Portique spatial
Etude des consoles courtes
Plaque avec ouverture
Hypothèse de la bielle comprimée
Conclusion
Bibliographies
Annexe
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