Concepts de géométrie, topologie et co-topologie

Le vélo a beaucoup évolué au cours des deux dernières décennies. Au départ un simple moyen de transport ou de divertissement, le cyclisme est aujourd’hui une discipline pratiquée par de plus en plus d’ adeptes de haut niveau, toujours en quête d’ amélioration de leurs performances. Le vélo utilisé influençant directement ces performances, l’industrie se doit de le perfectionner afin de répondre à la demande. Le cadre étant la composante principale d’ un vélo, beaucoup d’ efforts lui sont consacrés dans le but de le rendre plus léger, plus rigide, plus aérodynamique, bref plus performant. Ainsi, plusieurs concepteurs de vélo parviennent à augmenter le ratio résistance/masse d’un cadre à la fois en se basant sur leur expérience, mais également par essais et erreurs sous forme de modifications et de validations successives. Cette démarche est typique au processus d’optimisation. En effet, d’ un point de vue purement mécanique, l’optimisation d’ un cadre de vélo, ou de n’ importe quel autre composant mécanique, consiste à répartir la matière idéalement en fonction de l’intensité des contraintes développées. La première étape du processus d’optimisation de forme consiste à modéliser un cadre de géométrie initiale dans un logiciel dédié à la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). Les conditions de calcul sont ensuite définies et l’ état de contrainte initial est calculé. Plusieurs modifications de la géométrie et plusieurs analyses par éléments finis sont ensuite effectuées pour parvenir à améliorer graduellement la géométrie du cadre, afin qu’ elle convienne mieux aux efforts appliqués. Il en résulte un cadre globalement mieux adapté et donc plus optimal sur le plan de la résistance mécanique.

Modélisation géométrique

La modélisation géométrique est à la base de la CAO. Elle vise à représenter le plus fidèlement possible un objet géométrique dans le but de le visualiser, de simuler et d’analyser son comportement face à un phénomène physique, et éventuellement de le modifier en fonction de l’ application recherchée. Cette représentation, rendue possible par l’usage de différents concepts mathématiques et informatiques, est généralement plus pratique à étudier que l’ objet lui-même. Par contre, pour être le plus complet et le plus fidèle possible à l’ objet réel, un modèle géométrique doit posséder certaines propriétés. À titre d’ exemple, l’ adressabilité spatiale est une propriété selon laquelle chaque point de l’ espace doit pouvoir être identifié comme étant à l’intérieur, à l’extérieur ou sur la frontière de l’objet. De plus, un bon modèle ne doit pas être ambigu, c’est-à-dire qu’un seul objet doit correspondre à une représentation donnée. Il existe trois types de modèles géométriques, soient les modèles de type fil de fer, les modèles surfaciques et les modèles solides.

Concepts de géométrie, topologie et co-topologie 

Les concepts de géométrie, topologie et co-topologie présentés dans cette section sont ceux sous-jacents à l’environnement de développement présenté au chapitre trois. Ces concepts sont expliqués en détails dans Integration of CA D, FEA and topology optimization through a unified topological model (Cuillière et François 2014).

Géométrie
La géométrie d’un modèle continu désigne l’ensemble des éléments géométriques qui le constituent. Ces éléments peuvent être de dimension zéro (points), de dimension un (droites et courbes) ou de dimension deux (surfaces). Pour un modèle discret telle une triangulation, l’information géométrique correspond à l’ensemble des nœuds du maillage.

Topologie
La topologie, quant à elle, désigne la façon dont les éléments géométriques sont reliés entre eux. Pour un modèle continu, l’information topologique peut consister en une liste d’arêtes définissant le contour d’une face ou encore en une liste de faces définissant la peau ou la frontière d’un objet solide . Pour un modèle discret, l’information topologique peut consister, par exemple, en une liste de triangles définissant une face de façon discrète. Les éléments topologiques sont appelés sommets, arêtes, contours, faces, poutres, coquilles et solides.

Co-topologie
Finalement, la co-topologie désigne l’ ensemble des conneXIOns orientées entre les éléments géométriques définissant un objet. Il s’agit en fait de la topologie orientée, c’est-à-dire attribuée d’un signe positif ou négatif. Cette notion d’orientation est indispensable lors de l’ application d’efforts normaux ou pour le déplacement d’un nœud dans la direction normale à une surface, à titre d’ exemples. Pour un modèle continu, l’information co-topologique peut consister en une liste d’ arêtes orientées (co-arêtes) définissant le contour et l’orientation d’une face. Les éléments co-topologiques sont appelés co-sommet, co-arête, co-face et coque.

Modélisation par arbre de construction (CSG) 

La modélisation par arbre de construction ou Constructive Solid Geometry (CSG) consiste à modéliser un objet solide complexe à partir de combinaisons d’opérations booléennes (union, intersection ou soustraction) de solides simples appelés primitives (parallélépipède, cylindre, sphère, tore, etc.). Le processus de construction du solide peut être schématisé sous forme arborescente où les feuilles représentent les primitives et où les nœuds représentent les opérations. Le solide ainsi créé a l’avantage d’avoir des frontières définies de façon exactes. De plus, des modifications à sa géométrie et à sa topologie peuvent être apportées facilement.

Modélisation basée sur les frontières de l’objet (BREP) 

Le principe de la modélisation basée sur les frontières de l’objet ou boundary representation (BREP) consiste à modéliser un objet à partir de la frontière séparant les points de l’espace situés à l’intérieur du solide de ceux situés à l’extérieur du solide. Cette dernière est de nature surfacique mais contient, contrairement aux modèles surfaciques, de l’information topologique. En effet, la frontière de l’ objet est modélisée comme un ensemble de faces orientées de manière à pouvoir différencier l’intérieur et l’extérieur du solide. Chaque face est bornée par un ou plusieurs contours fermés et orientés et est définie géométriquement par une surface. Chaque contour est formé d’un ensemble d’arêtes représentées de façon mathématique par des courbes. Finalement, chaque arête est bornée par des sommets définis mathématiquement par des points. Ce principe de modélisation très répandu est utilisé dans la majorité des logiciels de CAO.

Table des matières

1 CHAPITRE 1 – INTRODUCTION 
1.1 Mise en contexte
1.2 Définition de la problématique
1.3 Objectif principal
1.4 Organisation du mémoire
2 CHAPITRE 2 – REVUE DE LA LITTÉRATURE ET OBJECTIFS 
2.1 Introduction
2.2 Étapes d’un calcul par éléments finis
2.3 Modélisation géométrique
2.3.1 Concepts de géométrie, topologie et co-topologie
2.3.2 Modèles de type fil de fer
2 3 2 1 Équations intrinséques d’une courbe
2.3.2.2 Équations explicites et implicites d’une courbe
2.3.2.3 Équations paramétriques d’une courbe
2.3.2.3.1 Courbes splines ou composites
2.3.3 Modèles surfaciques
2.3.3.1 Équations paramétriques d’une surface
2.3 .3.1.1 Surfaces composites
2.3.4 Modèles solides
2.3.4.1Équations paramétriques d’un solide
2.3.4.2Modélisation par balayage
2.3.4.3Modélisation par arbre de construction (CSG)
2.3.4.4Modélisation basée sur les frontières de l’objet (BREP)
2.4Méthodes de maillage automatique
2.4.1Méthodes de Delaunay-Voronoï
2.4.2Méthode frontale
2.5 Optimisation de structures
2.5.1 Formulation générale d’un problème d’optimisation de structures
2.5.1.1 Processus général d’optimisation de structures
2.5.2 Type de méthodes d’optimisation de structures
2.5.3 Optimisation paramétrique
2.5.4 Optimisation géométrique ou de forme
2.5.5 Optimisation topologique
2.5.6 Méthode du mouvement normal (MMN)
2.5.6.1 Principe général
2.5.6.2 Étapes de la méthode du mouvement normal
2.5.6.2.1 Forme initiale
2.5.6.2.2 Conditions aux limites, matériau et zones de non-design
2.5.6.2.3 Choix des points de design
2.5.6.2.4 Calcul des contraintes aux points de design
2.5.6.2.5 Déplacement des points de design
2.5.6.2.6 Itération et convergence
2.5.6.3 Type de modélisation utilisée
2.5.6.4 Concept de restriction spatiale
2.5.6.5 Exemples de problèmes d’optimisation
2.5.6.6 Avantages et inconvénients de la méthode du mouvement normal
2.5.6.7 Lacunes de la littérature
2.6 Objectifs spécifiques
2.7 Hypothèses et limites
2.8 Méthodologie
3 CHAPITRE 3 – INTÉGRATION D’ÉLÉMENTS FINIS DE PLAQUES DANS
L’ENVIRONNEMENT DE DÉVELOPPEMENT 
3.1 Introduction
3.2 Présentation de l’environnement de développement
3.2.1 Modélisation de l’objet dans un logiciel de CAO et importation dans
MAGIC
3.2.2 Définition des conditions aux limites et du matériau
3.2.3 Génération de la carte de taille
3.2.4 Génération du maillage géométrique
3.2.5 Génération du maillage éléments finis
3.2.6 Calcul par éléments finis
3.2.7 Visualisation et interprétation des résultats
3.3 Étude par éléments finis d’un cadre de vélo
3.3.1 Forme classique d’un cadre de vélo
3.3.2 Choix de la modélisation et du type d’éléments finis
3.3.2.1 Modélisation surfacique en coque
3.3.2.1.1 Théorie des coques minces
3.3.2.2 Éléments de plaques triangulaires
3.4 Adaptation de l’environnement de développement pour l’étude par éléments finis en modélisation surfacique
3.4.1 Problème d’orientation d’une coque
3.4.2 Problème d’orientation du repère local d’un élément de plaque
3.4.3 Vérification de la validité des résultats de calcul
3.4.3.1 Modélisation dans SolidWorks Simulation
3.4.3.2 Modélisation dans l’environnement MAGIC
3.4.3.3 Formulation mathématique du problème
3.4.3.4 Comparaison des résultats
3.5 Conclusion
4 CHAPITRE 4 – IMPLANTATION, APPLICATION ET CONTRÔLE DE LA MÉTHODE DU MOUVEMENT NORMAL 
4.1 Introduction
4.2 Algorithme de la MMN non contrôlée
4.3 Application de la MMN non contrôlée à un tube en porte-à-faux
4.3 .1 Forme initiale
4.3.2 Valeurs des paramètres d’optimisation
4.3.3 Forme optimisée par la MMN non contrôlée
4.3.4 Conclusion
4.4 Contrôle basé sur la courbure
4.5 Contrôle par angle minimal entre deux triangles voisins
4.5.1 Angle minimal entre deux triangles voisins dont l’un possède 3 nœuds
fixes
4.6 Lissage de la surface par barycentrage des nœuds
4.7 Contrôle par écart maximal de déplacement entre deux nœuds voisins
4.8 Contrôle par gradient de déplacement d’un triangle – approche locale basée
sur la proximité
4.8.1 Calcul du gradient de déplacement d’un triangle
4.8.2 Principe général du contrôle local par gradient de déplacement
4.8.3 Algorithme de la MMN contrôlée localement par le gradient de
déplacement
4.8.4 Problèmes rencontrés
4.9 Contrôle par gradient de déplacement d’un triangle – approche globale basée
sur la résolution d’un système d’ équations
4.10 Contrôle par gradient de déplacement d’un triangle – approche globale basée
sur un problème de minimisation
4.10.1 Principe général du contrôle global par gradient de déplacement
4.10.2 Algorithme de la MMN contrôlée globalement par le gradient de
déplacement
4.10.3 Algorithme du gradient
4.10.4 Exemple: plaque maillée par quatre triangles rectangles égaux
4.10.5 Paramètres de la MMN avec contrôle basé sur le gradient de déplacement
d’un triangle
4.11 Application de la MMN avec contrôle basé sur le gradient de déplacement
d’un triangle à un tube en porte-à-faux
4.11.1 Valeurs des paramètres d’optimisation
4.11.2 Forme optimisée
4.11.2.1 Critère de convergence inadéquat
4.11.2.2 Critères d’évaluation de la forme optimisée
4.11.2.3 Étude de l’influence de la norme maximale du gradient de déplacement
sur la forme optimisée
4.12 Application de la MMN contrôlée au triangle avant d’un cadre de vélo
4.12.1 Forme initiale et conditions aux limites
4.12.2 Forme optimisée par la MMN contrôlée globalement par le gradient de
déplacement
4.13 Conclusion
5 CHAPITRE 5 – RÉSULTATS 
5.1 Exemples de problèmes convenant à la MMN contrôlée
5.1.1 Tube en porte-à-faux avec normales actualisées
5.1.2 Cadre de vélo avec normales actualisées
5.1.3 Cadre de vélo en flexion latérale
5.1.4 Cadre de vélo avec force appliquée sous le tube de direction
5.1.5 Support en U en flexion
5.1.6 Tube encastré aux deux extrémités avec chargement central
5.2 Exemples de problèmes ne convenant pas à la MMN contrôlée
5.2.1 Tube soumis à des efforts de flexion et de tension
5.2.2 Demi-cylindre en flexion
5.2.3 Joint en T en flexion
6 CHAPITRE 6 – CONCLUSION

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