Conception robuste en vibration et aéroélasticité des roues aubagées de turbomachines

Description du comportement des structures à symétrie cyclique

Une roue aubagée accordée correspond au cas idéal d’une structure ayant une symétrie cyclique. Dans ce cas de figure, la théorie de la dynamique des structures à symétrie cyclique (voir par exemple Henry, Ohayon et Soize ) peut être utilisée afin d’effectuer l’analyse dynamique du système mécanique. Ainsi, la modélisation d’un seul secteur générateur de la structure suffit pour reconstituer la dynamique de la structure complète. De par la symétrie de ce type de systèmes, les modes de vibration sont cycliques. Cette cyclicité est caractérisée par l’apparition lors des réponses vibratoires à une excitation cyclique qui approprie un mode donné, des lignes et cercles nodaux sur la roue. Les lignes et cercles nodaux sont les lieux des points du système qui ne se déplacent pas lors des vibrations, d’où la dénomination de modes à diamètres nodaux et modes à cercles nodaux. Les modes à diamètres nodaux sont généralement des modes doubles car composés de deux modes de même fréquences propres mais déphasés spatialement. Seuls les modes à 0 ou N/2 diamètres (lorsque le nombre N d’aubes de la roue est pair) sont des modes simples. Les techniques actuelles de calcul assurent d’ailleurs la connaissance très satisfaisante des fréquences de résonance et des modes associés pour les structures à symétrie cyclique (donc considérées sans défauts de fabrication) (voir par exemple Thomas , Henry , Williams et al. ). Lorsque ces structures à symétrie cyclique sont soumises à une excitation cyclique, deux conditions sont nécessaires pour provoquer la résonance d’un mode de vibration : une condition de coïncidence de la fréquence du mode avec la fréquence d’excitation, et une condition d’appropriation modale, établie selon la formule : hq ± n = kN, où N représente le nombre d’aubes de la roue, n représente le nombre de diamètre du mode, q représente l’ordre d’excitation cyclique, h et k étant des entiers relatifs.
Les prévisions de la réponse forcée des structures à symétrie cyclique (parfaitement accordées) soumises à une excitation cyclique montrent que l’énergie vibratoire est uniformément distribuée sur toute la structure. Autrement dit, toutes les aubes de la roue aubagée accordée ont la même amplitude de vibration et ne diffèrent que par un déphasage constant d’une aube à une autre.

Types d’approches pour la modélisation du désaccordage involontaire

Au niveau des roues aubagées, les tolérances d’usinage et les dispersions sur les matériaux métalliques ou composites rendent les aubes légèrement différentes les unes des autres. Ces différences, bien que légères, induisent des modifications importantes du comportement dynamique de la structure cyclique (accordée) devenue non cyclique (désaccordée).
Sur le plan des modélisations, le processus de fabrication et les dispersions sur les propriétés des matériaux induisent des incertitudes qui doivent être prises en compte dans un cadre probabiliste et qui sont statistiquement indépendantes d’une aube à une autre. Dans le cadre du problème dit direct, qui consiste à étudier le comportement de la réponse forcée des roues aubagées sous l’effet du désaccordage, l’approche probabiliste paramétrique est utilisée. Elle permet de prendre en compte les incertitudes sur les paramètres du modèle. Par exemple, le module d’Young de chaque aube sera modélisé par une variable aléatoire de loi donnée. Les équations avec opérateur aléatoire sont alors résolues soit par la méthode de simulation de Monte-Carlo (Griffin et Hoosac , Basu et Griffin ), soit par des techniques analytiques de perturbations (voir par exemple Sinha, Mignolet et Lin , Sinha et Chen , Lin et Mignolet, Mignolet et al. ). Lorsque seul le module d’Young de l’aube est pris comme paramètre incertain, cela revient à considérer un désaccordage en fréquence uniquement, les formes modales restant inchangées. C’est la raison pour laquelle, des modèles probabilistes paramétriques plus complets, permettant de prendre aussi bien en compte le désaccordage en fréquence qu’en forme modale ont été introduits. Il s’agit notamment des recherches menées par Mignolet et al. Plus récemment, a été introduite une approche probabiliste non paramétrique qui permet de prendre en compte non seulement les incertitudes sur les paramètres du modèle, mais aussi et surtout les incertitudes de modélisation. Dans une telle approche, ce ne sont plus les paramètres du modèle qui sont modélisés par des variables aléatoires, mais plutôt les opérateurs du modèle qui sont directement modélisés par des opérateurs aléatoires. La construction des lois de probabilité de ces opérateurs aléatoires est faite en utilisant le principe du maximum d’entropie.

Paramètres influant le comportement dynamique des roues désaccordées

Des analyses de sensibilité sur la réponse libre ou sur la réponse forcée ont permis de conclure que les principaux paramètres pilotant les effets du désaccordage sont la raideur de couplage entre les aubes induite par la raideur du disque, le taux de désaccordage présent au niveau de la structure, et le taux d’amortissement (structural et visqueux). D’autres part, le processus de fabrication et les dispersions sur les propriétés des matériaux sont les principaux facteurs pilotant le taux de désaccordage, en particulier sur les roues aubagées monoblocs.

Raideur de couplage

Les assemblages faiblement couplés (les aubes faiblement couplées par le disque) sont très sensibles à un faible niveau de désaccordage, contrairement aux assemblages fortement couplés (les aubes fortement couplées par le disque) pour lesquels un faible niveau de désaccordage n’a que de faibles effets. Cependant, lorsque le niveau de couplage devient élevé, le système devient sensible aux forts niveaux de désaccordage.
Il est également connu que le phénomène de localisation des réponses qui se traduit par un confinement des vibrations maximales au niveau de quelques aubes a tendance à s’accentuer lorsque les niveaux de couplage inter-aubes diminuent (Wei et Pierre , Rivas-Guerras et Mignolet ). Ainsi, l’effet du désaccordage sur les structures faiblement couplées se traduit souvent par une localisation spatiale des aubes présentant les amplitudes de vibration les plus fortes. Ce phénomène a d’ailleurs été expliqué par un mécanisme d’augmentation de l’énergie selon lequel, l’aube ayant la plus forte amplitude de vibration récupère à travers le couplage une partie de l’énergie fournie aux aubes adjacentes (voir par exemple Whitehead , Wei et Pierre, Ottarson et Pierre ). Par conséquent, l’apparition de fortes amplifications de la réponse forcée est à la fois conditionnée par un niveau de couplage assez faible pour engendrer le phénomène de localisation, et assez fort pour que les aubes de la zone de vibration localisée puissent récupérer de l’énergie vibratoire de leurs voisines.

Niveau de désaccordage

Plusieurs publications font état de la sensibilité des roues aubagées vis-à-vis du niveau de désaccordage. Parmi celles-ci, nous pouvons citer les travaux expérimentaux dans (Kruse et Pierre, Pierre et al. ) qui, en utilisant des techniques expérimentales non-intrusives, ont montré la forte sensibilité des roues aubagées monobloc aux faibles niveaux de désaccordage, et ont également confirmé la présence du phénomène de localisation des réponses vibratoires. Pour comprendre les mécanismes physiques cachés derrière cette sensibilité, une étude détaillée du phénomène est mise en place dans (Kenyon et Griffin ) et montre que la quasi-totalité des courbes de sensibilité présente un maximum pour les faibles niveaux de désaccordage. Le niveau de désaccordage et celui du couplage inter-aubes sont les paramètres essentiels caractérisant la sensibilité des roues aubagées. C’est l’effet combiné de ces deux paramètres qui entraîne et pilote le phénomène de localisation. D’ailleurs, il est indiqué dans (Whitehead ) que c’est le ratio entre le niveau de désaccordage et celui de couplage qui gouverne le phénomène de localisation des réponses.

Taux d’amortissement

Le niveau d’amortissement est une grandeur difficile à estimer au niveau des roues aubagées, car de nombreux mécanismes responsables de la dissipation d’énergie sont incertains et incontrôlables (Griffin ). Ainsi, d’une aube à l’autre, dans le cas des structures à aubes rapportées avec amortisseurs, de grandes différences peuvent apparaître au niveau de l’amortissement, et ces différences peuvent avoir des effets conséquents sur le comportement des roues aubagées désaccordées.
Plusieurs publications font état de l’influence de l’amortissement sur le comportement de ces roues. Ainsi, il est montré dans (Griffin et Sinha ), en utilisant un dispositif à frotteurs, que la variation d’amortissement peut piloter la réponse forcée dynamique de leur système, même en présence de désaccordage en raideur. Plus récemment, dans (Lin et Mignolet ), il est montré que les variations aube-à-aube de l’amortissement (structural et visqueux) peuvent conduire à des dispersions au niveau de la réponse forcée, similaires en amplitude à celles obtenues par désaccordage en raideur.

Conséquences de la sensibilité de la réponse forcée

L’analyse faite du phénomène de sensibilité de la réponse forcée par rapport au niveau de désaccordage nous amène sur le plan industriel, à tirer deux conclusions :
Tout d’abord, réduire les tolérances de fabrication pour réduire le désaccordage involontaire pourrait entraîner une hausse des niveaux de réponse des roues aubagées, dans le sens où réduire le niveau de désaccordage involontaire n’est pas forcément synonyme de réduire le niveau de la réponse forcée. En effet, si les tolérances de fabrication engendrent un niveau d’amplification se situant sur la partie descendante de la courbe d’amplification de la réponse, leur réduction pourrait rapprocher le niveau d’amplification de son pic, et donc amplifier les vibrations de la roue aubagée.
Ensuite, nous avons vu que pour les faibles valeurs de désaccordage, la réponse varie fortement pour de très faibles variations du niveau de désaccordage et que cela confirme la forte sensibilité des structures accordées par rapport au désaccordage involontaire. Il serait donc préférable pour une conception robuste, d’avoir une configuration qui soit la moins sensible possible aux effets néfastes du désaccordage involontaire, et dont le niveau d’amplification de la réponse se situe en aval du pic d’amplification. Ainsi, plutôt que de mettre en place des structures dont toutes les aubes sont identiques, on pourrait envisager des configurations pour lesquelles les aubes seraient différentes à des niveaux fixés par le concepteur qui choisirait alors le type de répartition de ces aubes sur le disque, afin de se positionner en aval du pic d’amplification de la réponse : on parle alors de désaccordage intentionnel.
De nombreuses recherches ont d’ailleurs été faites sur l’utilisation du désaccordage intentionnel, avec pour objectif de trouver les configurations les plus robustes minimisant la réponse des aubages.

Table des matières

Introduction 
Contexte de la recherche
Positionnement de la recherche
Objectifs de la recherche
Stratégie de la recherche
Organisation du mémoire
1 Positionnement scientifique du désaccordage involontaire et intentionnel en aéro-mécanique des roues aubagées 
1.1 Introduction
1.2 Présentation du problème de désaccordage involontaire 
1.2.1 Description du comportement des structures à symétrie cyclique
1.2.2 Aperçu historique du problème de désaccordage involontaire
1.2.3 Types d’approches pour la modélisation du désaccordage involontaire
1.2.4 Paramètres influant le comportement dynamique des roues désaccordées
1.3 Conséquences du désaccordage involontaire sur l’aéromécanique des roues 
1.3.1 Effets sur la réponse forcée
1.3.2 Effets sur la stabilité aéroélastique
1.4 Sensibilité de la réponse forcée vis-à-vis du désaccordage involontaire
1.4.1 Interprétation du phénomène de sensibilité de la réponse forcée
1.4.2 Conséquences de la sensibilité de la réponse forcée
1.5 Désaccordage intentionnel pour améliorer l’aéromécanique des roues
1.5.1 Utilisation pour la réduction de la réponse forcée
1.5.2 Utilisation pour l’amélioration de la stabilité aéroélastique
1.6 Conclusion 
2 Formulation du problème aéromécanique 
2.1 Introduction 
2.2 Description des systèmes mécaniques étudiés 
2.2.1 Système mécanique à symétrie cyclique
2.2.2 Système mécanique avec structure désaccordée intentionnellement
2.3 Modèle dynamique du système avec structure accordée 
2.3.1 Équation de la dynamique du système accordé
2.3.2 Structure matricielle dans les repères locaux associés aux secteurs
2.3.3 Transformée de Fourier discrète et passage au repère global
2.3.4 Problème aux valeurs propres de la structure accordée
2.4 Modèle dynamique du système avec structure désaccordée intentionnellement 
2.5 Formulation d’une nouvelle méthode de réduction de modèles
2.5.1 Base de projection formée des modes élastiques des différents types de secteurs de la roue aubagée
2.5.2 Réduction du modèle dynamique du système désaccordé
2.5.3 Cas particulier d’un amortissement structural par taux de dissipation modale
2.6 Validation de la nouvelle méthode de réduction de modèles sur un cas réel 
2.7 Conclusion
3 Formulation du problème aéromécanique avec incertitudes 
3.1 Introduction 
3.2 Choix de l’approche probabiliste pour la modélisation des incertitudes 
3.3 Construction du modèle probabiliste non paramétrique 
3.3.1 Modèle stochastique réduit du système aéromécanique avec incertitudes
3.3.2 Construction du modèle probabiliste des matrices aléatoires
3.4 Méthodologie de résolution du problème probabiliste aéromécanique 
3.4.1 Méthode de résolution des équations stochastiques
3.4.2 Analyse de convergence du système stochastique
3.4.3 Traitements statistiques
3.5 Conclusion
4 Optimisation du désaccordage intentionnel des roues aubagées
4.1 Introduction
4.2 Choix du désaccordage intentionnel 
4.2.1 Désaccordage intentionnel par modification géométrique des aubes
4.2.2 Influence des modifications géométriques des aubes sur l’aérodynamique
4.3 Méthode d’optimisation de la répartition des aubes géométriquement modifiées dans le cadre du désaccordage intentionnel 
4.3.1 Principe de réduction des possibilités de répartition
4.3.2 Validation de la méthode de réduction des possibilités de répartition
4.4 Conclusion 
5 Application à la conception robuste d’un prototype de roue aubagée aéronautique
5.1 Introduction 
5.2 Présentation du modèle du prototype de roue aubagée 
5.3 Problématique de conception robuste du prototype de roue aubagée 
5.4 Comportement dynamique de la roue aubagée nominale désaccordée involontairement
5.4.1 Etude de la stabilité aéroélastique
5.4.2 Etude de la réponse forcée
5.5 Construction de la fonction coût associée à l’optimisation du niveau de désaccordage intentionnel 
5.6 Comportement dynamique de la roue aubagée optimisée par désaccordage intentionnel en présence de désaccordage involontaire
5.6.1 Configuration optimale de répartition des aubes modifiées géométriquement : roue aubagée optimale
5.6.2 Étude de la stabilité aéroélastique
5.6.3 Etude de la réponse forcée
5.7 Conclusion
Conclusions et perspectives

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