Comportement mécanique d’un acier C-Mn lors du laminage intercritique

Modèles autocohérents

Principe Dans les modèles autocohérents, on suppose que l’état mécanique du milieu homogène équivalent est la moyenne des états de chacune des phases incluses dans le MHE. Le module de rigidité du milieu homogène équivalent devient une inconnue du problème. Ce modèle connaît un grand succès dans le domaine de la prédiction de texture [LT93]. Dans sa forme classique (« 1site »), on peut démontrer que ce modèle correspond au désordre parfait [K71].
Formulation A partir de l’équation de Lippman-Schwinger, il nous reste maintenant à introduire l’approximation autocohérente. Le but de tels modèles est de donner une valeur moyenne de la déformation et de la contrainte dans chaque phase. Une première simplification est de supposer que la déformation est constante à l’intérieur d’une phase. Cette affirmation n’est en général pas exacte et constitue une approximation comme on le verra par la suite.

Modèle autocohérent généralisé

   Il est possible d’utiliser un modèle autocohérent où les inclusions ne sont plus monophasées comme dans le cas classique, mais où les inclusions sont monophasées et biphasées, comme dans un modèle trois phases, voire encore d’inclusions contenant N phases [B96]. Nous avons décidé de ne considérer que des inclusions contenant au plus deux phases, ceci pour garder une compréhension plus intuitive du modèle. A partir du modèle trois phases, nous pouvons décrire, pour les mêmes fractions volumiques, deux situations topologiques opposées. La première est celle où la phase 1 enrobe la phase 2 tandis que dans la seconde, la phase 2 enrobe la phase 1. Il apparaît intuitivement que la première situation est adéquate lorsque la fraction volumique de phase 1 est très importante, et que les différents domaines de la phase 2 sont isolés. Lorsque la fraction volumique de phase 2 devient prépondérante, le deuxième modèle trois phases paraît le plus indiqué. La situation intermédiaire, où les deux phases sont continues, correspond plutôt à la situation du modèle autocohérent classique, situation de désordre parfait (Fig. 4).

Patch Test linéaire multimatériaux

   Nous cherchons une situation où le champ de vitesse est linéaire, et donc où la vitesse de déformation est constante. Nous savons que si nous imposons les conditions aux limites v E : x = & sur ∂V à un matériau homogène, le champ de vitesse sera linéaire, et le tenseur des vitesses de déformation dans V sera égal à E& . Si on prend un champ E& dépourvu de termes de cisaillement, il n’y aura donc pas de cisaillement ni en volume, ni en surface. Pour simplifier, supposons que ce matériau ait la forme d’une brique, de dimension selon z [0 :h1]. Dans le plan z=0, les vitesses verticales seront nulles. La situation est évidemment identique pour un matériau placé selon [-h2,0]. Si on réunit les deux briques, l’équilibre de l’interface impose l’égalité des termes de cisaillement dans le plan z=0, ainsi que l’égalité des contraintes σ zz . L’égalité des termes de cisaillement est triviale, puisqu’ils sont nuls de part et d’autre de l’interface. L’égalité des contraintes axiales selon z est assurée grâce à un saut en pression comme il a été montré dans le paragraphe précédent. La solution analytique du problème est donc un champ de déformation constant ( E& ) dans les deux matériaux, et un champ de pression constant dans chaque matériau, connu à une constante près, présentant une discontinuité à l’interface entre les deux matériaux (Fig. 9).

Utilisation d’un élément à pression constante

   Si on utilise un élément à pression constante, on ne fait plus d’hypothèses sur la continuité de la pression d’un élément à l’autre (pour peu que le maillage respecte le contour des différents matériaux). On peut penser à utiliser la brique présente dans Lam3 (Q8P0). Celle-ci pose deux problèmes : le mode de stockage des inconnues et la difficulté de mailler en brique. La première difficultépourrait sans doute être levée moyennant un travail assez conséquent sur le logiciel. Le deuxième problème est intrinsèque à l’élément. Pour résoudre notre problème en utilisant un tétraèdre, nous avons essayé d’utiliser un élément P1P0 (linéaire en vitesse, pression constante), où la pression était pénalisée. Cet élément a satisfait au patch test, mais pose des problèmes dans la gestion de l’incompressibilité. On sait que la résolution d’un problème incompressible nécessite l’utilisation d’éléments satisfaisant des conditions entre l’ordre d’intégration sur la pression et sur les vitesses. Un critère général, établi par Brezzi et Babuska, permet de s’assurer que l’élément utilisé est adéquat pour la résolution d’un problème incompressible. Or l’élément P1P0 ne satisfait pas les conditions de Brezzi-Babuska [BGT92]. Il est ainsi apparu que pour un autre test, avec le même type de conditions aux limites, mais où les phases avaient une géométrie différente, la solution donnée par le solveur éléments finis était homogène en vitesse de déformation, alors que ce n’est pas du tout réaliste : il s’agit donc de « locking ». Comme les conditions aux limites utilisées étaient nécessaires pour d’autres simulations, nous n’avons pas retenu l’élément P1P0.

Procédure de simulation

   Pour des raisons de simplicité d’adaptation et pour une reprise plus facile de ce travail par l’IRSID, le code qui a été adapté est LAM3. Pour pouvoir utiliser lesolveur itératif avec stockage Morse, l’élément choisi est le tétraèdre. Ceci permet d’utiliser des maillages contenant sensiblement plus d’inconnues. Dans la version actuelle, l’exécutable utilise un espace mémoire de 800 Mo (un peu plus en version à pression discontinue). En utilisant des briques, il faudrait près de 2 Go pour réaliser des calculs semblables. Dans le cas d’un matériau ayant un comportement linéaire, un incrément de calcul pour un maillage à 120000 éléments et 27000 nœuds (calcul pour une déformation uniaxiale avec des conditions aux limites homogènes en déformation ou périodiques) dure de 20 minutes à une heure sur un processeur d’un SUN Entreprise 4000 (selon le conditionnement de la matrice de raideur car on utilise un solveur itératif). Un calcul avec des CL en contraintes homogènes prend à peu près le double de temps. Le maillage de base est régulier, et est généré par des cubes découpés en cinq tétraèdres. L’interface entre la microstructure (donnée par la position des germes des polyèdres de Voronoï) et le code de calcul se limite à choisir la rhéologie d’un élément à partir de son numéro de phase. L’opération de déplacement des nœuds du maillage pour mieux lisser le contour des polyèdres est réalisée sur le maillage en preprocessing. Au cours de cette même opération, un numéro de phase est attribué à chaque élément.

Effet du maillage

  Etudier l’effet du maillage revient à mesurer l’effet d’une variation du nombre de mailles par grain, et à déterminer le nombre d’éléments par grain suffisant pour avoir une erreur numérique faible. Pour cela, on génère une structure contenant peu de germes, ce qui permet d’avoir une grande plage pour le nombre de mailles par grain. La structure générée pour le test compte 24 grains de tailles assez proches (tirage avec distance d’exclusion). La géométrie du VER est toujours un cube. On génère des maillages réguliers contenant de plus en plus de nœuds. Lorsque le maillage est non adapté pour coller aux interfaces entre grains, on garde la géométrie du maillage régulier. Dans le cas des maillages adaptés, ceux-ci ont vu leurs nœuds déplacés pour mieux coller aux polyèdres. Les conditions aux limites utilisées sont de type périodique.

Représentativité mécanique

   Comme nous l’avons déjà indiqué, la représentativité mécanique du problème revient à supposer une égalité des valeurs moyennes de la contrainte et des vitesses de déformation selon que l’on impose au bord du volume élémentaire représentatif des conditions aux limites homogènes en contrainte ou en déformation. Un troisième type de conditions aux limites, de type périodique avec des plans de symétries sur toutes les faces du cube a également été étudié. Dans un premier temps, nous avons généré différentes microstructures contenant de 41 à 1440 grains, pour des maillages contenant le même nombre de nœud (27000). On simule un essai de déformation uniaxiale, avec les différents types de conditions aux limites. Les moyennes sont réalisées sur tout le maillage, la formulation utilisée est celle en pression continue. Les valeurs auxquelles on s’intéresse sont les viscosités obtenues pour les différents calculs (calculées par ( 61 )), celles-ci étant divisées par les viscosités obtenues par un modèle de Taylor. On réalise cette dernière adimensionalisation pour diminuer l’effet des différences de fractions volumiques entre les différentes microstructures générées. Si on augmente le nombre de grains dans la microstructure, les résultats se resserrent, mais très lentement : les écarts sont encore de 3 % pour une microstructure contenant 1440 grains. Il faut souligner que pour une telle microstructure, les erreurs numériques sont certainement non négligeables (le nombre d’éléments par grains est plus faible), rendant délicates l’utilisation de ces résultats de calcul. On remarque que l’évolution des viscosités avec le nombre de grains dans le VER est fonction du type de conditions aux limites utilisé. On voit ainsi que les valeurs de viscosité ont plutôt tendance à augmenter pour des conditions aux limites statiques, lorsque le nombre de grains augmente ; pour des conditions aux limites cinématiques, la relation obtenue est inversée. Par contre, pour des conditions aux limites périodiques, on voit que les valeurs de viscosité obtenues sont pratiquement indépendantes du nombre de grains.

Effet d’une taille de grain relative – comportement linéaire

   On s’intéresse ici à l’effet d’une taille de grain différente entre les phases sur les rhéologies. Dans un premier temps, on a généré des structures avec un tirage aléatoire de la position et de la phase de chaque germe de polyèdre de Voronoï, la différence sur les tailles de grains n’apparaissant que sur les facteurs d’homothéties de chacune des phases. On supposait que les interstices entre gros grains allaient être remplis par les grains de diamètres plus petits. Cette technique a malheureusement été rapidement mise en défaut pour générer le type de structure désirée. Elle conduit à regrouper tous les germes des grains les plus petits dans quelques zones (Fig. 37).

Effet du frottement sur un essai de compression

   Nous avons entrepris de simuler à l’aide du code Forge2 des essais de compression en utilisant différentes rhéologies, deux géométries d’éprouvettes, et différentes conditions de frottement. Le but est de déterminer à partir de quel taux de déformation il n’est plus possible de négliger le frottement dans un essai de compression. Nous n’avons pas cherché à déterminer des corrections de l’effort en fonction du coefficient de frottement et de l’élancement de l’éprouvette. En effet, le coefficient de frottement est un paramètre très difficile à maîtriser, peu reproductible, et qui peut évoluer avec la déformation, la contrainte normale, etc… Pour analyser ces effets, on étudie le ratio entre la force obtenue dans une simulation sans frottement et la force obtenue dans une simulation avec frottement. Une valeur de 1 correspond donc à un effet nul du frottement sur la force de compression. La marge d’erreur tolérée est de 5%, ce qui correspond à la marge de reproductibilité d’un essai de compression.

IRSID

   L’IRSID dispose d’un plasto-dilatomètre de marque Bähr. Cet appareil est prévu pour imposer une déformation, puis pour suivre l’évolution de la longueur d’un échantillon au cours du refroidissement. La capacité de l’appareil est d’à peu près 1 t. Cette charge maximale est limitée par les pions entre lesquels est placée l’éprouvette. Ces pions sont en silice et sont assez fragiles. Les vitesses de déformation qui peuvent être atteintes vont de 10-2 s-1 à 1 s-1. Le chauffage est assuré par induction. Ce type de chauffage est très rapide, et permet de réaliser des cycles thermiques complexes. Son principal défaut provient d’un éventuel gradient de température le long de l’éprouvette, dû à la conduction par les tas qui ne sont pas chauffés par l’inducteur. Quelques éprouvettes instrumentées de plusieurs thermocouples ont indiqué des différences de température le long de l’éprouvette de moins de 10°C. La régulation en température est assurée à partir d’un thermocouple soudé en surface de l’éprouvette. Un des intérêts du plasto-dilatomètre est d’être équipé d’un système de mesure de déplacement très précis, puisqu’il doit capter les dilatations du matériau. On obtient donc une mesure de déplacement qui est de l’ordre du micron, et qui ne mesure pas le déplacement du pion mobile par rapport à une référence, mais bien les variations de distance entre les extrémités de l’éprouvette. Ceci dispense de faire une correction de rigidité de la machine.

Rigidité de la machine

   On suppose dans un dépouillement idéal que le déplacement du tas correspond à la diminution de hauteur de l’échantillon. Or, les outils se déforment de manière élastique. La déformation élastique des pièces de la machine situées entre l’échantillon et les points de mesure de déplacement des outils introduit donc un biais sur le déplacement imposé aux extrémités de l’échantillon. Cette déformation étant élastique, on peut relier de manière linéaire la variation de longueur des outils avec la force de compression. Deux techniques peuvent être utilisées. Dans la première, utilisée au Cemef, on impose un déplacement sans échantillon, les deux tas étant l’un contre l’autre. On peut lire directement la relation entre le déplacement imposé et la force mesurée. A l’IBF, cette relation est mesurée au déchargement de l’éprouvette, celle-ci étant supposée se comporter de manière rigide plastique (on néglige la déformation élastique de l’éprouvette). Le déplacement des extrémités de l’échantillon est ensuite calculé comme étant le déplacement mesuré de la traverse diminué du rapport entre la force mesurée et la rigidité de la machine.

Table des matières

CHAPITRE I : INTRODUCTION
1 PROBLEME INDUSTRIEL
2 SCHEMA THERMOMECANIQUE TYPE
3 PRESENTATION DU MATERIAU
4 PLAN DE LA THESE
CHAPITRE II HOMOGENEISATION
1 GENERALITES SUR LA MICROMECANIQUE DES MATERIAUX
1.1. Introduction
1.2. Notations en mécanique
1.3. Calculs sur le VER
1.4. Hypothèses et limites de la présente étude
1.5. Principe du calcul : Contrainte d’écoulement et module tangent
2 MODELES ANALYTIQUES OU SEMI-ANALYTIQUES DE TRANSITION D’ECHELLES
2.1. Introduction
2.2. Modèles de Voigt et Reuss
2.3. Modèles utilisant un champ de polarisation
2.3.1 Equation de Lippman-Schwinger
2.3.2 Modèle de Mori-Tanaka
2.3.3 Modèles autocohérents
2.3.4 Modèle trois-phases
2.3.5 Modèle autocohérent généralisé
2.4. Autres modèles linéaires
2.4.1 Introduction
2.4.2 Modèle de Taylor « Relâché »
2.4.3 Utilisation d’un motif périodique
2.5. Les extensions non-linéaires
2.5.1 Extensions classiques
2.5.2 Extensions variationelles
3 SIMULATIONS MESOSCOPIQUES
3.1. Introduction
3.2. Formulation éléments finis
3.2.1 Généralités
3.2.2 Le problème de la pression
3.2.3 Patch Test linéaire multimatériaux
3.2.4 Formulations respectant les discontinuités en pression
3.3. Conditions aux limites sur le VER
3.4. Modélisation de la microstructure
3.5. Adaptation du maillage sur les polyèdres de Voronoï
3.5.1 Objectif
3.5.2 Méthode
3.6. Procédure de simulation
3.7. Qualités de la description d’un élément de volume
3.7.1 Effet du maillage
3.7.2 Représentativité mécanique
3.7.3 Représentativité statistique
3.8. Bilan sur la représentativité
4 COMPARAISON DES DIFFERENTS MODELES D’HOMOGENEISATION
4.1. Introduction
4.2. Structures statistiquement isotropes
4.2.1 Structure homogène – Comportement linéaire
4.2.2 Effet d’une taille de grain relative – comportement linéaire
4.2.3 Modèles isotropes en Comportement non linéaire
4.2.4 Conclusion sur les modèles isotropes
4.3. Structures anisotropes
4.3.1 Introduction
4.3.2 Morphologie « spaghetti »
4.3.3 Morphologie « crêpe »
4.3.4 Morphologie de laminage
4.3.5 Sollicitation en cisaillement
4.3.6 Structures en couches
4.3.7 Conclusion sur les modèles anisotropes
CHAPITRE III RHEOLOGIE DE CHAQUE PHASE
1 METHODOLOGIE
1.1. Essais de compression
1.1.1 Présentation générale
1.1.2 Effet du frottement sur un essai de compression
1.1.3 Machines de compression utilisées
1.1.4 Problèmes de dépouillement des essais en compression : calcul de la surface effective et de la déformation
1.2. Essai de compression / relaxation – double compression
1.2.1 Essai de compression / relaxation
1.2.2 Dépouillement d’un essai de double déformation
2 RHEOLOGIE DES METAUX
2.1. Introduction
2.2. Bibliographie : Observations expérimentales
2.2.1 Evolution de la structure intragranulaire avec la déformation
2.2.2 Effet de la température et de la vitesse de déformation sur la structure intragranulaire
2.2.3 Evolution de la microstructure à chaud
2.2.4 Relation entre la microstructure et la contrainte d’écoulement
2.2.5 Relations entre variables internes
2.2.6 Evolution de la contrainte avec la déformation
2.3. Bibliographie : Modèles physiques de la contrainte d’écoulement seuil
2.3.1 Modèles à une variable interne
2.3.2 Modèles à plusieurs variables internes
2.4. Prise en compte de la viscoplasticité « instantanée »
2.5. Facteur de Taylor
2.6. Conclusions
3 RHEOLOGIE DE LA FERRITE
3.1. Introduction
3.2. Effet de l’austénitisation sur le comportement de la ferrite
3.3. Caractérisation en intercritique
3.4. Résultats : différentes vitesses de déformation et températures
3.5. Effets de traitements thermiques en ferritique
3.6. Modélisation de la contrainte d’écoulement en ferritique
3.7. Conclusion
4 RHEOLOGIE DE L’AUSTENITE
4.1. Introduction : Evolution microstructurale de l’austénite lors du traitement thermomécanique
4.1.1 Transformation au chauffage
4.1.2 Recristallisation
4.2. Effet de la température d’austénitisation sur la rhéologie
4.3. Effet de la recristallisation sur la rhéologie
4.4. Courbes contrainte / déformation
4.5. Essais de double compression
4.6. Mise en évidence d’un effet vitesse instantané
4.7. Caractéristiques de l’écrouissage
4.8. Ajustement / choix d’une rhéologie
4.8.1 Lois à deux variables internes
4.8.2 Lois à une variable interne
4.8.3 Comparaison avec d’autres conditions de sollicitations
4.9. Conclusion
CHAPITRE IV CINETIQUES DE TRANSFORMATIONS DE PHASE
1 INTRODUCTION
1.1. Phases présentes dans les aciers
1.1.1 Transformation en quasi équilibre d’un acier au carbone non allié
1.1.2 Introduction de la cinétique : transformation loin de l’équilibre
1.2. Mécanisme de la transformation ferritique
2 METHODES EXPERIMENTALES
2.1. Instrument de mesure
2.2. Diagramme Temps / Transformation / Température (TTT)
2.3. Diagramme Transformation en Refroidissement Continu (TRC)
2.4. Dépouillement d’un essai TRC sur dilatomètre
2.4.1 Essai idéal
2.4.2 Essai réel : « anomalie » du signal
3 OBSERVATIONS EXPERIMENTALES
3.1. Température d’austénitisation et transformation ferritique
3.2. Effet de la vitesse de refroidissement
3.3. Effet de la quantité de déformation
3.3.1 Introduction
3.3.2 Effet d’une hétérogénéité de déformation sur le dépouillement d’un essai TRC
3.3.3 Expériences
3.4. Effet des conditions de déformation
4 MODELISATION
4.1. Transformations de phase isotherme : Equation d’Avrami
4.2. Modélisation utilisée
4.2.1 Ferrite
4.2.2 bainite
4.3. Extension de l’expression d’Avrami au cas anisotherme
4.4. Méthode de calcul
5 CONCLUSIONS
CHAPITRE V COMPORTEMENT EN BIPHASE
1 ESSAIS DE COMPRESSION EN INTERCRITIQUE
1.1. Introduction
1.2. Procédure expérimentale
1.3. Rhéologie extrapolée de chaque phase
1.4. Comparaison chemin essai monophasé / essai intercritique
1.5. Courbes expérimentales / comparaison avec les rhéologies extrapolées
1.6. Conclusions
2 LAMINAGE : SIMULATION ET EXPERIENCES
2.1. Introduction
2.2. Expériences
2.3. Simulations numériques
2.4. Comparaison simulations éléments finis / expérience
2.5. Conclusions
CHAPITRE VI : CONCLUSIONS
BIBLIOGRAPHIE

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