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Comportement électromécanique des résonateurs MEMS: prérequis
Avant de pouvoir étudier le comportement des capteurs MEMS résonants, ainsi que les outils mathématiques utiles tout au long de la thèse. On présente tout d’abord le comportement d’un résonateur linéaire à une dimension. Les notions de théorie spectrale et de décomposition modale permettant de décrire le comportement d’un résonateur à élément déformable sont ensuite exposées. La décomposition sur base des modes propres permet de faire le lien entre la mécanique des milieux continus régie par des équations aux dérivées partielles et les modèles d’ordre réduit (régis par des équations différentielles temporelles) utiles par la suite. Enfin, on présente des méthodes de résolution des modèles d’ordre réduit obtenus dans le cas d’un résonateur à un seul degré de liberté et à amortissement faible. Afin de faciliter la lecture et la compréhension, chacune des méthodes présentées sera illustrée sur une étude de cas simple.
Dynamique des résonateurs linéaires
Le modèle le plus simple de résonateur MEMS consiste en une masse m, fixée à un bâti par un ressort de raideur k et soumise à des forces de frottements linéaires équivalentes à un amortissement linéaire ?. correspond à la force appliquée sur le résonateur, et x̃ correspond au déplacement de la masse m. Dans toute la suite, les notations ?̃ et ?̃ feront référence à des grandeurs dimensionnées, tandis que les notations ? et ? feront référence à des grandeurs adimensionnées.
Etude de cas : dynamique des poutres vibrantes rectangulaires en flexion pure
On s’intéresse ici à des poutres vibrantes rectangulaires (structures dans lesquelles une dimension spatiale est très grande devant les autres). La modélisation des résonateurs à diaphragme ou à membrane sort du cadre de cette thèse, bien que des raisonnements similaires (mais plus complexes) puissent être menés. Les modèles développés au cours de ce doctorat se limitent à l’étude de poutres résonantes dans la théorie des petites déformations d’Euler-Bernoulli, qui néglige l’influence du cisaillement au sein de la poutre. Sous ces hypothèses, on peut résumer le mouvement de la poutre au mouvement de sa fibre moyenne.
Méthodes analytiques de résolution approchée
De façon générale, il est complexe d’obtenir une expression analytique exacte de ??(?(?),?). Afin de pallier cette difficulté, plusieurs solutions existent et ont été développées dans la littérature. Parmi elles, on peut citer principalement trois approches :
– une approche par développement en séries de Taylor de la force électrostatique [16] [19].
– une approche consistant à se ramener à des termes polynomiaux en multipliant chacun des termes de l’équation (37) par le dénominateur de la force non-linéaire ? avant de projeter l’équation sur le mode propre ?1. Cette méthode est développée par Younis et al. [10]. Elle sera référencée par la suite sous l’abréviation MBP (« Multiplication Before Projection ») comme c’est le cas dans [20].
– une approche par approximation du mode résonant. Cette méthode consiste à se ramener à une expression approchée de ?1 qui permet ensuite d’obtenir un résultat analytique exact de la projection de la force électrostatique sur ce mode.
Etant donné qu’elle repose sur un développement en séries de Taylor, la première de ces trois approches est essentiellement limitée à mesure que l’amplitude du déplacement du résonateur augmente. Le moyen le plus direct pour étendre son domaine de validité est d’augmenter l’ordre du développement en séries de Taylor. Cependant, la question de l’ordre le plus pertinent à considérer se pose alors, car l’amélioration de la précision se fait au prix d’une complexité accrue des expressions obtenues. Il a été montré [20] que la méthode MBP peut, sous certaines réserves, mener à des résultats plus précis que la première. Ceci nécessite, dans certains cas comme le nôtre, de multiplier les termes de l’équation (37) par un terme polynomial en ? adéquat, et non plus simplement par (1−?(?)?1)².
Spécificité des résonateurs à haut facteur de qualité
Le nombre ? d’harmoniques à considérer dépend de la précision voulue et de la sélectivité du résonateur. Dans le cadre des MEMS, les résonateurs présentent couramment des facteurs de qualité de plusieurs milliers, pouvant même aller parfois jusqu’à plus d’un million [24]. Dans ces cas, on pourra supposer, avec une bonne précision les résultats suivants :
– dans la méthode de la balance harmonique :
?(?) ≃ ?0 + ? sin(?? + ?)
– dans la méthode des perturbations lentes :
?(?) ≃ ?0(?) + ?(?) sin(?(?))
De plus, lorsque l’amplitude ? du mouvement sera suffisamment grande par rapport au déplacement statique ?0, on écrira, pour simplifier les expressions :
?(?) ≃ ? sin(?? + ?)
ou, pour la méthode des variations lentes :
?(?) ≃ ?(?) sin(?(?))
Afin d’illustrer la validité de cette hypothèse, on reporte, un résultat de simulation transitoire pour un résonateur capacitif à pont vibrant avec ? = 10⁻² , ? = 1000, ? = 10⁻³ actionné à partir de ? = 0 par une force adimensionnée ? carrée et de pulsation 0.998?0 et d’amplitude 0.5. On constate sur cette simulation :
– que le régime permanent peut être raisonnablement approximé, même à grande amplitude d’oscillation (i.e. ? proche de 1), par la somme d’une sinusoïde et d’une composante statique très faible par rapport à l’amplitude de la sinusoïde.
– que le régime transitoire présente des variations lentes d’amplitude (par rapport à la période du signal).
A fortiori, pour des facteurs de qualité encore plus élevés comme ceux étudiés dans ce manuscrit, la validité de l’hypothèse de première harmonique se vérifiera.
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Table des matières
Introduction
Comportement électromécanique des résonateurs MEMS: prérequis
II.A. Introduction
II.B. Dynamique des résonateurs linéaires
II.B.a. Réponse fréquentielle d’un résonateur linéaire du second ordre
II.B.b. Réponse temporelle d’un résonateur linéaire du second ordre
II.C. Description des vibrations en mécanique des milieux continus
II.C.a. Problème général
II.C.b. Définition et caractéristiques des modes propres d’un système
II.C.c. Réduction d’ordre de modèle
II.C.d. Etude de cas : dynamique des poutres vibrantes rectangulaires en flexion pure
II.C.e. Conditions aux limites d’un pont vibrant en flexion pure
II.C.f. Comportement d’une poutre sous différentes sollicitations
II.C.g. Modèle d’ordre réduit d’un résonateur capacitif à pont vibrant
II.D. Dynamique des résonateurs non-linéaires
II.D.a. Hypothèses
II.D.b. Spécificité des résonateurs à haut facteur de qualité
II.D.c. Signification physique de la balance harmonique et de la méthode des variations lentes
II.D.d. Régime permanent
II.D.e. Etude de cas : Réponse fréquentielle d’un résonateur soumis à une non-linéarité cubique
II.D.f. Régime transitoire
II.D.g. Critère de Routh-Hurwitz
II.D.h. Etude de cas : Stabilité en boucle ouverte d’un résonateur soumis à une nonlinéarité cubique
II.E. Présentation du dispositif expérimental
II.F. Construction d’un banc automatisé de mesures et de caractérisation
II.F.a. Présentation du banc automatisé de mesures et de caractérisation
II.F.b. Limitations dues au fonctionnement du banc de caractérisation
II.G. Conclusion
Amélioration de la fiabilité des capteurs MEMS capacitifs résonants
III.A. Introduction
III.B. Modes de défaillances des capteurs MEMS résonants capacitifs
III.B.a. Accumulation de charge au sein des diélectriques
III.B.b. Défaillances mécaniques
III.B.c. Détérioration du vide interne de la cellule
III.B.d. Défaillance électromécanique : Phénomène de pull-in
III.B.e. Bilan de l’impact des principaux modes de défaillance
III.C. Caractérisation de MEMS capacitifs résonants en régime linéaire
III.C.a. Etat de l’art : Caractérisation par mesures électriques
III.C.b. Développement d’une nouvelle méthode de caractérisation : mesure harmonique à impulsions
III.C.c. Limites de la méthode harmonique à impulsions et construction de la méthode à impulsions sous-harmonique (SPMA)
III.C.d. Identification de la réponse fréquentielle
III.C.e. Résultats expérimentaux de caractérisation linéaire
III.D. Limitations liées à la caractérisation des MEMS en régime linéaire
III.E. Réponse fréquentielle des MEMS capacitifs résonants en régime non-linéaire
III.E.a. Introduction
III.E.b. Etat de l’art des méthodes de caractérisation non-linéaire de MEMS
III.E.c. Modélisation du comportement dynamique non-linéaire des MEMS capacitifs sous différentes ondes d’actionnement
III.E.d. Validation expérimentale
III.F. Caractérisation non-linéaire des MEMS capacitifs résonants
III.F.a. Construction de la fonction objectif
III.F.b. Procédure de minimisation de la fonction objectif
III.F.c. Etude de cas : Caractérisation non-linéaire d’un résonateur à non-linéarité cubique
III.F.d. Résultats expérimentaux de caractérisation non-linéaire
III.G. Conclusion
Amélioration des performances des capteurs MEMS capacitifs oscillants
IV.A. Introduction
IV.B. Fonctionnement en boucle fermée des capteurs résonants
IV.B.a. Principe et intérêt de la mesure résonante
IV.B.b. Structure générale d’une boucle auto-oscillante à MEMS
IV.C. Etude du pull-in résonant dans les oscillateurs à résonateur MEMS capacitif
IV.C.a. Introduction
IV.C.b. Limites de stabilité en boucle fermée : condition de pull-in résonant
IV.C.c. Illustration des limites de stabilités pour les différents actionnements
IV.C.d. Impact de la non-linéarité de détection capacitive sur le comportement d’un oscillateur auto-entretenu
IV.D. Etude du comportement d’un oscillateur en présence de bruit
IV.D.a. Sources de bruit
IV.D.b. Outils de description des performances d’un oscillateur
IV.D.c. Conversion du bruit injecté dans le système en bruit de fréquence
IV.D.d. Stabilité fréquentielle d’un oscillateur soumis à un bruit additif
IV.D.e. Stabilité fréquentielle d’un oscillateur soumis à des fluctuations lentes
IV.D.f. Validation du modèle sur résonateur de Duffing soumis à un bruit blanc additif
IV.D.g. Stabilité fréquentielle d’un oscillateur MEMS capacitif soumis à différentes sources de bruit et de fluctuations
IV.E. Conclusion
Conclusion générale
