Comportement d’un fluide autour d’un cylindre oscillant : enjeux et problématique

Applications industrielles : ordres de grandeur de KC et Re

Dans ce paragraphe, nous examinons quelques exemples de systèmes industriels pour lesquels le problème d’un cylindre oscillant dans un fluide initialement au repos constitue un premier pas vers une analyse et une modélisation du comportement physique. Nous précisons dans chaque cas les ordres de grandeur des paramètres KC et Re mis en jeu.

Exemples dans l’industrie nucléaire

On rencontre fréquemment dans l’industrie nucléaire des faisceaux de tubes immergés dans un fluide , que ce soit dans les cœurs des réacteurs (de types réacteur à eau pressurisée REP, réacteur à neutrons rapides et à caloporteur sodium RNR-Na, ou réacteur embarqué), les générateurs de vapeur, ou même les réseaux de tuyauteries [12, 13]. Les calculs de dimensionnement de ces structures doivent alors prendre en compte les sollicitations dynamiques qu’elles peuvent subir, par exemple sous l’action de vibrations sous écoulement, d’excitations sismiques ou d’impacts.

Un cœur de réacteur à eau pressurisée (REP) ,  est constitué de 157 assemblages combustibles se présentant sous la forme de poutres carrées composées de 17 × 17= 289 tubes cylindriques.  Il s’agit de 264 crayons combustibles et 25 tubes guides d’environ 1 cm de diamètre d et 4 m de longueur [16, page 11]. Ils sont immergés dans le fluide caloporteur du circuit primaire – ici de l’eau liquide – qui circule le long des assemblages. Sa température est de 300°C et sa pression de 155 bar. La viscosité cinématique ν de l’eau est alors d’environ 1, 2.10⁻⁷m² .s⁻¹ . Pour modéliser correctement le comportement dynamique de ces cœurs, il s’avère nécessaire de prendre en compte la présence du fluide, car il modifie les fréquences propres de vibrations de la structure par rapport au cas où elle serait plongée dans de l’air. La baisse de fréquences due au fluide est de 10 à 15% suivant les cas [14]et les taux d’amortissement en partie induits par l’écoulement axial peuvent atteindre l’ordre de 30% [17, 18].

Les générateurs de vapeur (GV) associés aux réacteurs à eau pressurisée sont composés de 3500 à 5600 tubes de 2 cm de diamètre en forme de U, contenant le liquide caloporteur issu du circuit primaire  . L’ordre de grandeur de leur première fréquence propre, calculé par Axisa [21], est de 35 Hz. Les tubes sont plongés dans l’eau du circuit secondaire. Traversant le générateur de vapeur, cette eau est chauffée et produit de la  vapeur fournie aux turbines pour générer de l’électricité. La température de l’eau en entrée du circuit secondaire est de 220°C et sa pression de 60 bar, donnant une viscosité cinématique de 1, 4.10⁻⁷m².s⁻¹ . La sollicitation sismique précédente conduit alors à des valeurs de KC ∼ 0, 01 à 0, 1 et Re ∼ 600 à 6000.

Exemples dans l’industrie offshore 

Les plates-formes pétrolières déployées dans l’industrie offshore se composent d’une multitude de structures immergées . Leurs sections caractéristiques sont de l’ordre du centimètre pour certains câbles, de la trentaine de mètres pour les pontons et colonnes des plates-formes à câbles tendus (TLP, pour Tension Leg Platforms en anglais) [22], ou de la centaine de mètres pour les caissons des plates-formes gravitaires en béton [23].

A cette diversité des structures s’ajoute celle des sollicitations auxquelles elles sont soumises. Les parties des composants situées à proximité de la surface peuvent subir une houle dont la période est comprise entre 3 et 20 s et la longueur d’onde, généralement de l’ordre de 10 m, peut cependant atteindre les 300 m dans les cas extrêmes [23, page 10]. En profondeur, les gradients de température induisent des variations de la masse volumique de l’eau de mer, engendrant des ondes internes dont la vitesse de phase est de l’ordre de 1 ou 2 m.s⁻¹ [24, page 56]. Enfin, les risers sont également excités par les mouvements des supports flottants de production, imposés à leur extrémité supérieure [25, chapitre 7]. Ainsi, dans le cas du mouvement de dérive lente de plates-formes semi-submersibles, les valeurs de KC rapportées au diamètre des colonnes sont comprises entre 0,005 et 5 pour des paramètres β de l’ordre de 10⁶ ou 10⁷ [24, 26]. A l’inverse, les caissons des platesformes gravitaires voient des nombres de KC pouvant atteindre un maximum de 20 [23]. Pour les lignes d’ancrages, KC est de l’ordre de 10 et β de 10⁵ [22].

Comportement asymptotique pour KC >> 1

Intéressons-nous maintenant au cas inverse où KC devient infiniment grand. Les oscillations du cylindre deviennent alors de plus en plus amples. Le comportement du système à chaque course du cylindre peut alors être envisagé à partir du cas asymptotique où le cylindre progresse à vitesse constante U0 dans un fluide au repos. Par changement de référentiel, ce problème est équivalent à celui d’un écoulement uniforme autour d’un cylindre fixe. Ce problème doit à la simplicité de sa géométrie et à l’étendue de son champ d’applications, de nombreux travaux, de d’Alembert en 1768 sur le paradoxe qui porte son nom, à nos jours [39]. Ces études ont notamment permis de décrire la structure de l’écoulement et les forces de traînée Fx et de portance Fy exercées par le fluide sur le cylindre en fonction de Re. Une première bifurcation brisant la stabilité de l’écoulement  intervient pour Re ∼ 48, avec l’apparition d’une allée de Bénard-Von Kármán composée de tourbillons contra rotatifs (voir l’exemple de la figure 2.7 du chapitre 2). Écrite sous forme adimensionnelle, la fréquence fK du lâcher tourbillonnaire est appelée nombre de Strouhal Sr = fKd/U0. Sa valeur, initialement de 0,125, augmente jusqu’à 0,2 pour Re∼ 200 puis reste constante [40]. Une première relation décrivant cette évolution sous la forme Sr = a(1 − b/Re) s’est répandue grâce à Roshko [41]. Parmi d’autres relations  introduites par la suite, mentionnons notamment le développement en 1√Re proposé par Williamson [42].

Table des matières

Introduction
1 Comportement d’un fluide autour d’un cylindre oscillant : enjeux et problématique
1.1 Formulation du problème général de Navier-Stokes
1.2 Applications industrielles : ordres de grandeur de KC et Re
1.2.1 Exemples dans l’industrie nucléaire
1.2.2 Exemples dans l’industrie offshore
1.3 Caractérisation de la force de traînée dans le plan (KC, Re)
1.3.1 Solution du problème de Stokes pour KC 1
1.3.2 Comportement asymptotique pour KC 1
1.3.3 Caractérisation de la force de traînée dans le cas général
1.4 Régimes d’écoulement dans le plan (KC, Re)
1.4.1 Régimes d’écoulement pour les grands Re
1.4.2 Régimes d’écoulement pour les Re modérés
1.4.3 Comparaison des régimes à haut et bas Re : discussion
1.5 Conclusion
2 Résolution numérique
2.1 Mise en équations du problème
2.1.1 Problématique et démarche
2.1.2 Problème implémenté
2.1.3 Visualisation a posteriori
2.2 Construction d’un programme de résolution numérique du problème
2.2.1 Formulation variationnelle
2.2.2 Écriture matricielle en éléments finis
2.2.4 Traitement du terme convectif non-linéaire
2.2.5 Discrétisation temporelle
2.2.6 Choix d’une méthode de résolution
2.3 Choix des valeurs des paramètres numériques
2.3.1 Taille du domaine de calcul
2.3.2 Pas d’espace
2.3.3 Pas de temps
2.3.4 Nombre d’itérations internes
2.3.5 Rupture de la symétrie
2.3.6 Synthèse du programme, validation et limitations
2.4 Obtention des forces et des puissances
2.4.1 Méthode classique de calcul de la force du cylindre
2.4.2 Calcul de la force du cylindre à partir de la formulation variationnelle
2.4.3 Calcul des puissances à partir de la formulation variationnelle
2.5 Conclusion
3 Comportement du système sur une période d’oscillation du cylindre
3.1 Démarche et outils d’analyse
3.1.1 Définitions et problématique
3.1.2 Outils d’analyse de l’écoulement
3.2 Analyse de l’écoulement à partir de la vorticité locale et globale
3.2.1 Mode symétrique
3.2.2 Mode en V
3.2.3 Mode transverse
3.2.4 Mode oblique
3.2.5 Mode diagonal
3.2.6 Mode chaotique
3.3 Mécanismes régissant la dynamique des tourbillons
3.3.1 Deux mécanismes pour deux étapes
3.3.2 Dynamique de la vorticité lors du retournement du cylindre
3.3.3 Application aux différents modes observés
3.4 De l’histoire de l’écoulement à celle des forces
3.4.1 Analyse à partir des différents modes
3.4.2 Synthèse des liens entre vorticité et forces
3.5 Transferts d’énergie du cylindre au fluide
3.5.1 Calcul local des puissances dans le fluide
3.5.2 Localisation des transferts d’énergie cinétique et dissipée
3.6 Conclusion
4 Comportement du système sur les temps longs
4.1 Identification de régimes dans le plan (KC, Re)
4.1.1 Analyse temporelle des forces de traînée et de portance
4.1.2 Analyse spectrale des forces de traînée et de portance
4.1.3 Problématique des temps longs
4.2 Transitions au-delà du régime A
4.2.1 Identification de trois régimes de transition
4.2.2 Transitions le long de la courbe de stabilité marginale
4.3 Au cœur des régimes C, D et E
4.3.1 Transitions internes
4.3.2 Fluctuations dans les régimes D et E
4.3.3 Origine des fluctuations dans l’écoulement
4.3.4 Propriétés du spectre des forces : élargissement spectral
4.4 Stabilité du mode diagonal dans le régime F
4.4.1 Origine des fluctuations dans l’écoulement
4.4.2 Analyse quantitative des fluctuations de la force de traînée
4.4.3 Analyse synthétique du régime F
4.5 Étude du régime G
Conclusion

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