Comparaison entre la dérivée fractionnaire au sens de Caputo et celle de Riemann-liouville

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Dérivées fractionnaires au sens de Caputo

La définition de la dérivation fractionnaire de type Riemann-Liouville a joué un rôle important dans le développement de la théorie des dérivées et intégrales fractionnaires à cause de leurs applications dans les mathématiques pures (solutions des équations dif-férentielles d’ordre entier, définition de nouvelles classes de fonction, sommation des sé-ries, …). Cependant, la technologie moderne demande une certaine révision de l’approche mathématique pure bien connue, De nombreux travaux sont apparus, spécialement sur la théorie de viscoélasticité et des mécaniques du solide, où les dérivées fractionnaires sont utilisées pour une bonne description des propriétés des matériaux. Une modélisation ma-thématique est basée sur les modèles rhéologiques mène naturellement à des équations différentielles d’ordre fractionnaire, et à la nécessité de la formulation des conditions ini-tiales de telles équations. Les problèmes appliqués demandent des définitions de dérivées fractionnaires autorisant l’utilisation des conditions initiales interprétables physiquement, lesquelles contiennent , etc… Malgré le fait que les problèmes aux valeurs initiales f(a); f(a) avec de telles conditions initiales peuvent être résolus mathématiquement (voir par exemple solutions données dans [35]), la solution de ce problème a été proposée par M.Caputo (dans les années soixante) dans sa définition qu’il a adapté avec Mainardi dans la structure de la théorie de viscoélastiques [39]: Donc on introduit une dérivée fractionnaire qui est plus restrictive que celle de Riemann-Liouville.

Comparaison entre la dérivée fractionnaire au sens de Caputo et celle de Riemann-liouville

L’avantage principal de l’approche Caputo est que les conditions initiales des équa-tions différentielles fractionnaires avec dérivées de Caputo acceptent la même forme comme pour les équations différentielles d’ordre entier, c’est à dire, contient les valeurs limites des dérivées d’ordre entier des fonctions inconnues en borne inférieur x = a:
Une autre différence entre la définition de Riemann et celle de Caputo est que la dérivée d’une constante est nulle par Caputo (2.42) par contre par Riemann-Lioville elle est C (1 ) (x a) :
Graphiquement, on peut dire que le chemin suit pour arriver à la dérivée fractionnaire au sens de Caputo est également l’inverse quand on suit l’autre sens (Riemann Liouville) comme le montre la figure, c’est à dire pour trouver la dérivée fractionnaire d’ordre où m 1 m par l’approche de Riemann-Liouville, on commence d’abord par l’intégration fractionnaire d’ordre (m ) pour la fonction f(x) et puis on dérive le résultat obtenu à l’ordre entier m; mais pour trouver la dérivée fractionnaire d’ordre où m 1 m par l’approche de Caputo on commence par la dérivée d’ordre entier m de la fonction f(x) et puis on l’intègre d’ordre fractionnaire (m ):

Propriétés générales des dérivées fractionnaires

Linéarité

La dérivation fractionnaire est une opération linéaire D ( f (t) + g (t)) = D f (t) + D g (t) : (2.45)

Applications des dérivées fractionnaires

Champs d’application

Les applications de la dérivation fractionnaire dans les sciences physiques et les sciences de l’ingénieur relèvent des contributions scientifiques de ces dernières décennies, elle est utilisée comme outil de modélisation dans plusieurs domaines [47], en mécanique et en rhéologie. L’application des dérivées fractionnaires modélisant le comportement des maté-riaux, trouve une base théorique dans la théorie microstructurale de Rouse [36] qui s’appuie sur les lois de la thermodynamique Bagley et Torvik [5]. Dans ce mémoire on présente un type d’application en rhéologie.

Interprétation physique de l’intégrale fractionnaire de Riemann- Liouville

Pour donner l’interprétation physique de l’intégration non entière, nous considérons l’exemple d’un conducteur d’une voiture. Supposons que la voiture est équipée de deux ap-pareils de mesure, le compteur de vitesse qui enregistre la vitesse du conducteur et l’horloge qui affiche le temps . Cependant le temps affiché par l’horloge est incorrect.
Nous supposons que la relation entre le temps incorrect (affiché par l’horloge et dont le conducteur considère comme le temps exact) et le temps exact T est donnée par la fonction connue gt( ) telle que : T = gt( ) et gt( ) = 1 [t(t) ] ::::::::::: ( ) (t)
Ceci signifie que si le conducteur mesure l’intervalle de temps d , le vrai intervalle de temps est dT = dgt( ):
Le conducteur A représente le conducteur de la voiture, ignorant l’erreur de l’horloge, calcule la distance parcourue au moyen d’une intégrale classique : Z t SA (t) = v ( ) d :::: (c)
Un observateur O, lui en connaissance de la mauvaise mesure de l’horloge et de la fonction gt( ) reliant le temps incorrect au temps exact, calcule la distance réellement parcourue par la voiture :
Zt SO (t) = v ( ) dgt( ) = I v (t) ::: (d)
avec Z0 1 t I v (t) = (t) 1 v ( ) d : (t)
L’intégrale donnée par l’équation (c) peut être interprétée comme la distance parcourue par un mobile pour lequel nous avons effectué deux mesures :
Une mesure correcte de la vitesse et une mesure incorrecte du temps. L’intégrale fac-tionnaire de Riemann-Liouville donnée par l’équation (d) peut être interprétée comme la véritable distance parcourue par l’objet mobile, pour lequel nous avons enregistré ses va-leurs locales de la vitesse v ( ) (c’est sa vitesse individuelle) et la valeur local du temps (temps individuel), sachant que la relation entre le temps enregistré localement et le temps cosmique est donné par la fonction gt( ): La fonction gt( ) décrit le temps échelle non homogène, qui dépend non seulement de ; mais aussi du paramètre t qui représente la dernière valeur mesuré du temps individuel de l’objet mobile. Quand t change, l’intervalle de temps cosmique change également.
La notion du temps cosmique est reliée au changement de la gravité dans l’espace temps d’un corps en déplacement. En effet un corps mobile change sa position dans l’espace-temps, le champ de la gravité dans l’espace-temps tout entier change également en raison de mouvement. Par conséquent, l’intervalle de temps cosmique, qui correspond à l’histoire du mouvement de l’objet mobile, change. Ceci affecte le calcul de la vraie distance SO (t) parcourue par cet objet mobile.
En résumé, l’intégrale fractionnaire de Riemann Liouville de la vitesse individuelle v ( ), d’un objet mobile, pour lequel la relation entre son temps individuel , et le temps cosmique T à chaque instant t est donnée par la fonction connue T = gt( ); décrite par l’équation ( ) représente la véritable distance SO (t) parcourue par cet objet.

Théorème du point fixe du type Banach

Le théorème du point fixe de Banach (connu aussi sous le nom le théorème de l’appli-cation contractante) est un théorème simple à prouver, qui garantit l’existence d’un unique point fixe pour toute application contractante, s’applique aux espaces complets et qui pos-sède de nombreuses applications. Ces applications incluent les théorèmes d’existence de solution pour les équations différentielles ou les équations intégrales et l’étude de la conver-gence de certaines méthodes numériques.

Théorème de l’application contractante

Définition 3.1 Soit (M; d) un espace métrique complet et l’application T : M ! M, On dit que T est une application Lipschitzienne s’il existe une constante positive k 0 telle que l’on ait, pour tout couple d’éléments x; y de M, l’inégalité d (T (x) ; T (y)) k (d (x; y)) : (3.1)
Si k 1, l’application T est appelée non expansive.
Si k < 1, l’application T est appelée contraction.
Théorème 3.1 (Théorème du point fixe de Banach(1922)) [59]
Soit (M; d) un espace métrique complet et soit T : M ! M une application contractante avec la constante de contraction k; alors T a un unique point fixe x 2 M . De plus on a Si x0 2 M et xn = T (xn 1) ; (3.2) nlim xn = x et d (xn; x) kn (1 k) 1 d (x1; x0) n 1; !1 x étant le point fixe de T .
Remarque 3.1 ? Si T est une application Lipschitzienne (pas nécessairement une contraction) mais l’une de ces itérées T p est une contraction, alors T a un seul point fixe.
En effet, soit x l’unique point fixe de T p on a T p (T (x)) = T (T p (x)) = T (x) ce qui convient à dire que T (x) est aussi un point fixe de T p et grâce à l’unicité T (x) = x
Ce résultat est valable pour tous les types de contraction qui assurent l’unicité du point fixe.
Remarque 3.2 ? Il se peut que T ne soit pas une contraction sur tout l’espace M mais juste dans le voisinage d’un point donné. Dans ce cas on a le résultat suivant :
Soit (M; d) un espace métrique complet et T : B ! M telle que d (T (x) ; T (y)) kd (x; y) 8x; y 2 B et k < 1; (3.3)

Théorème du point fixe du type Brouwer-Schauder

Le théorème du point fixe de type Brouwer

Le théorème du point fixe de Brouwer est un résultat de topologie algébrique. Il fait partie de la grande famille des théorèmes du point fixe. Il existe plusieurs formes de ce théorème selon le contexte d’utilisation. La plus simple est parfois donnée sous la forme suivante :
Dans le plan : Toute application T continue du disque fermé dans lui-même admet au moins un point fixe. Il est possible de généraliser à toute dimension finie.
Dans un espace euclidien : Toute application T continue d’une boule fermée d’un espace euclidien dans elle-même admet un point fixe.
Il peut encore être un peu plus général :
Convexe compact : Toute application T continue d’un convexe compact K d’un espace euclidien à valeur dans K admet un point fixe.
a) Théorème de Brouwer en dimension un : On note [a; b] le domaine de définition de T . L’application T est continue et à valeurs dans le même segment. Dire que cette appli-cation admet un point fixe, revient à dire que son graphe croise celui de l’application définie sur [a; b], qui a x associe x:
Une démonstration n’est pas difficile à établir. Considérons l’application continue F x = T x x; (3.9) elle est positive en a, négative en b. Le théorème de Bolzano, qui est un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’application F possède un zéro dans [a; b] ; ce zéro de F est un point fixe de T .
En dimension deux, un raisonnement intuitif permet de montrer que le résultat est probablement vrai. La démonstration est néanmoins plus délicate.
b) Théorème de Brouwer en dimension deux Si K le domaine de définition de T est d’intérieur vide, c’est un segment. Sinon, K est semblable à une boule unité fermée. Le terme semblable signifie qu’il existe un homéomorphisme de la boule unité vers K. L’équation définissant le point fixe peut encore s’écrire si h = T ; h (x) = x: Autrement dit, on peut supposer que K est la boule unité fermée. On peut de plus choisir la norme de manière quelconque. Si on choisit celle qui associe la valeur absolue de la plus grande coordonnée, cela revient à dire que l’on peut choisir pour compact K; l’ensemble [ 1; 1] [ 1; 1], sans perte de généralité.
Si l’on définit la fonction F comme suit : F : [ 1;1] [ 1;1]! [ 1;1] [ 1;1] : (3.10) x 7!F (x) = h (x) x
Cela revient à montrer que la fonction atteint le vecteur nul sur [ 1; 1] [ 1; 1].
Si Fk, pour k = 1; 2, sont les deux fonctions cordonnées de F , cela revient à montrer l’existence d’un point x0, telles que F1et F2 admettent toutes deux pour zéro la valeur x0:
La fonction F1 est une fonction de [ 1; 1] [ 1; 1] dans [ 1; 1] Sur f 1g [ 1; 1], elle est positive, en revanche sur f1g [ 1; 1], elle est négative. Ceci laisse penser que la courbe de niveau 0 est une ligne qui part d’un point [ 1; 1] f1g pour finir sur un point de [ 1; 1] f 1g.
Le même raisonnement appliqué à F2 laisse penser que la courbe de niveauu 0 est cette fois-ci une ligne qui part d’un point f 1g [ 1; ; 1] pour terminer sur un point de f1g [ 1; 1] :
Intuitivement, il semble évident que ces deux lignes de niveaux doivent nécessaire-ment se croiser et ce point de croisement est un point fixe de T .
Remarque 3.4 – Il est important de voir que l’unicité n’est pas assurée par le théorème de Brouwer du fait que chaque point de K est un point fixe de l’application identité.
– Nous allons donner un résultat de Brouwer qu’on aura besoin dans la démonstration du théorème de Schauder.

Table des matières

Chapitre 1 Introduction générale
Chapitre 2 Introduction à la dérivation fractionnaire
2.1 La dérivation fractionnaire
2.2 Outils de base
2.2.1 Fonctions utiles
2.2.2 L’intégrale fractionnaire sur un intervalle [a,b]
2.3 Dérivées fractionnaire
2.3.1 Approche de Grünwald-Letnikov
2.3.2 Approche de Riemann-Liouville
2.3.3 Dérivées fractionnaires au sens de Caputo
2.4 Comparaison entre la dérivée fractionnaire au sens de Caputo et celle de Riemann-liouville
2.5 Propriétés générales des dérivées fractionnaires
2.5.1 1. Linéarité
2.5.2 2. La règle de Leibniz
2.6 Applications des dérivées fractionnaires
2.6.1 Champs d’application
2.6.2 Modèle viscoélastique à dérivées fractionnaires
2.6.3 Interprétation physique de l’intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville
2.6.4 Interprétation physique de la dérivation fractionnaire au sens de RiemannLiouville
Chapitre 3 Quelques résultats de la théorie du point fixe
3.1 Théorème du point fixe du type Banach
3.1.1 Théorème de l’application contractante
3.1.2 Extension du principe de l’application contractante
3.2 Théorème du point fixe du type Brouwer-Schauder
3.2.1 Le théorème du point fixe de type Brouwer
3.2.2 Théorème du point fixe de type Schauder
3.3 Théorème du point fixe de Krasnoselskii
Chapitre 4 Etude de l’existence et la positivité de la solution d’un problème fractionnaire.
4.1 Présentation du problème
4.2 Résultat d’existence et d’unicité
4.3 Existence de la solution positive

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