Comment différencier les tâches en calcul réfléchi en utilisant des outils adaptés ?

Additionner une ou plusieurs dizaine-s à un nombre

« Notre système de numération repose sur le principe suivant : chaque fois qu’on arrive à 10 unités, on change de dizaine. » (Helayel et Causse-Mergui, 2011, p.94). Les élèves apprennent à dénombrer des collections composées de plus de 10 éléments et donc à constituer des groupements par 10. Ce travail leur permet d’écrire les nombres plus grands que 10 et de comprendre le système de notation, soit la (dé)composition d’un nombre en dizaine et unité.
Helayel et Causse-Mergui (ibid.) conseillent de prendre du matériel connu par les élèves pour constituer des collections. C’est pourquoi nous avons choisi de travailler avec des multicubes, afin que les élèves construisent eux-mêmes les tours comportant 10 éléments. Nous avons choisi des couleurs différentes pour les unités et les dizaines afin de favoriser la visualisation.
L’addition d’une, deux ou trois dizaine-s à un nombre donné a suivi le travail du système de numération. En effet, les élèves ont appris à faire des groupements de 10. Ceci leur a permis de comprendre que dix unités font une dizaine. Ils ont été amenés à compter les groupes de 10 et à calculer le reste, soit les unités. Cette première phase s’est faite de manière visuelle, car les groupements de 10 étaient composés d’images. Il s’agissait par exemple de regrouper des étoiles ou des punaises. Suite à ceci, les élèves ont abordé la notion d’additionner des dizaines à un nombre donné sans images.

Répertoires additif et soustractif

« Dans les répertoires additifs, chaque nombre est présenté par ses différentes décompositions en somme de deux termes. » (Gagnebin et al., 1997, p.120). En 4H, la mémorisation du répertoire additif débutée en 3H se poursuit. De plus, les élèves apprennent aussi en parallèle le répertoire soustractif du fait de la complémentarité de ces deux opérations arithmétiques.
Il est important que les élèves mémorisent ces répertoires dans le but de calculer plus rapidement et de gagner du temps lorsque plus tard, ils effectueront des calculs en colonne ou lors de la résolution de problèmes. D’ailleurs le Plan d’Etude Romand mentionne cette mémorisation : MSN 13 mémorisation du répertoire additif de 0 + 0 à 9+9 et mémorisation du répertoire soustractif de 0-0 à 10 – 10. (PER, cycle 1).
Il est possible de mémoriser les répertoires tel quel ou de procéder par reconstruction des résultats en s’appuyant sur ceux qui sont déjà mémorisés. Par exemple, pour construire la mémorisation, on propose aux élèves d’apprendre les doubles par cœur (9 + 9 ; 7 + 7,…). La reconstruction d’un calcul à partir des doubles est dès lors possible : 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 15. C’est pourquoi « il faut travailler les différents répertoires (addition, soustraction, écarts), en tentant progressivement d’établir des « ponts » entre les résultats. » (ERMEL CE1, 1995, p.118).

Calcul réfléchi

« Le calcul réfléchi n’est qu’une mise en œuvre des propriétés des opérations, plus ou moins consciente, selon le niveau et l’âge de celui qui le pratique. » (Gagnebin et al., 1998, p.125). « Voici quelques exemples de « calculs réfléchis » qu’on peut attendre d’un élève de 4H qu’il s’agit d’expliciter et de valoriser: Associer et commuter judicieusement les termes d’une addition comme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =… pour gagner du temps et de l’efficacité. » (Ging et al., 1997, p.186). Il a comme finalité de « trouver les résultats d’opérations arithmétiques qu’on a choisi d’effectuer dans l’une ou l’autre des phases d’une résolution de problèmes. » (ibid. p.119). Nous avons proposé aux élèves des jeux de calculs (Toujours 12) pour entraîner la décomposition en plusieurs termes du nombre 12. (ibid. p. 215).
De plus, « si un élève ne compte pas correctement jusqu’à 10, il ne pourra pas compter correctement au-delà de 10, d’où l’importance de l’entraînement au comptage et au calcul sur des nombres allant jusqu’à 10. » (Helayel et Causse-Mergui, 2011, p.115).

Différenciation

« La pédagogie différenciée a pour but d’adapter les méthodes pédagogiques et les conditions d’apprentissage à la diversité des élèves. » (Bétrix Köhler, D. et Blanchet, A., 1999, p.17). La différenciation n’est pas de l’individualisation mais un concept qui cherche à répondre aux besoins de tous les élèves. En mathématiques, l’utilisation de variables dans une même situation d’enseignement permet de garder un même objectif pour tous les élèves tout en variant la tâche. Nous avons donné aux élèves les mêmes fiches, certains les réalisant toutes, d’autres certaines seulement. Nous avons fait attention au fait que l’objectif que nous souhaitions travailler se trouve dans les fiches que tous les élèves réalisent. « La différenciation est facilitée par la liste des variables proposées ainsi que par les prolongements, deux types d’options qui peuvent être particulièrement efficaces pour respecter à la fois la progression des élèves avancés et celle de ceux qui rencontrent des difficultés. » (Gagnebin et al., 1998, p.58). La mise en œuvre de la différenciation se réalise aussi avec des modalités de travail telles que groupes homogènes ou hétérogènes désignés par l’enseignante ou choisi par les enfants.
En conséquence, nous avons essayé de rendre la matière accessible à tous dès la première leçon. Les procédures ont été verbalisées par les élèves, dans le but que les élèves ayant plus de peine les entendent de la part de leur camarade et non pas uniquement de l’enseignante.
Toutefois, ceci ne suffisant parfois pas, nous avons créé du matériel. Celui-ci a été utilisé durant les moments d’appui pour les élèves en difficulté. Parfois, le matériel adapté a aussi été utilisé par toute la classe et a fait office de rappel du connu pour les élèves plus avancés.

Outils de calcul

L’enseignant présente les divers outils de calcul aux élèves, tout en restant impartial, afin de ne pas influencer le choix de l’élève. En effet, c’est à lui de décider quel outil lui convient le mieux.
Par exemple, « la droite numérique, outil de représentation des nombres et notamment de l’ordre sur les nombres, devient un support privilégié pour aider les élèves à gérer et expliciter des procédures de calcul réfléchi. » (ERMEL CE1, 1995, p.117). En effet, elle permet à l’élève de ne pas chaque fois recompter depuis le début de la comptine. La droite numérique peut être un support avantageux pour le calcul réfléchi, surtout dans le domaine de l’addition.
La calculette, outil très utilisé dans notre société actuelle, est mise à la disposition des élèves et est utilisée pour permettre «de réaliser ce que l’élève n’est pas encore capable de mener à bien seul.» (ERMEL CE1, 1995, p.120).
Les modalités de travail servent également d’outil, plus particulièrement pour l’enseignant. Selon Chopin (2006), « les formes d’enseignements (travail de groupe, tutorat, débat…) ne devraient être considérées que comme des outils, au service des intentions didactiques de l’enseignement. » (p.68).

Entraînement

Lors de l’apprentissage d’une notion, les apprenants passent par quatre phases, soit : la construction, la reconnaissance, l’entraînement et le transfert. Sauthier et al. (2009) expliquent que la phase de construction est une « phase d’approche dans laquelle une nouvelle connaissance est utilisée de façon plus ou moins efficace. » (p.9). La deuxième phase est une phase durant laquelle les élèves explicitent leurs démarches et choisissent celle qui leur convient le mieux. La phase d’entraînement permet aux élèves de consolider la notion apprise à travers différents exercices. Ceux-ci sont variés mais gardent le même objectif. La dernière phase est une phase où l’élève utilise ce qu’il a appris dans un autre contexte. (p.9).
Selon Sauthier et al. (2009), les élèves qui se sont entraînés à mémoriser leurs répertoires seraient en mesure de répondre à un calcul en moins de 3 secondes. (p.7).
Les cahiers de calcul sont utiles aux élèves afin de consolider leurs connaissances dans divers contextes. Les fiches que nous avons créées ont pour but de travailler le même objectif, tout en variant les exercices. Les modalités de travail ont été pensées pour varier les tâches. Les élèves ont joué en groupe, individuellement et des mises en commun ont été réalisées avec toute la classe. Elles ont permis aux élèves de ne pas être lassés. (p.8).
Les dictées de calculs apprennent aux élèves à ne pas avoir de calculs sous les yeux et à réaliser l’addition ou la soustraction immédiatement. De plus, il n’y a pas un temps de relecture. Pour les répertoires, il s’agit de dicter un calcul toutes les 3 à 4 secondes. (p.12).
« La compréhension de ce que cela signifie d’additionner et de soustraire est nécessaire pour que les faits numériques deviennent des automatismes, mais la compréhension n’entraîne pas nécessairement la création de ces automatismes. » (Twomey Fosnot et Dolk, 2010, p.106). C’est pourquoi il est important de faire des mises en commun des stratégies mises en œuvre par les élèves. Grâce à cela, ils auront la possibilité de réinvestir ces connaissances dans les exercices d’entraînement.

Table des matières

1. Introduction
2. Problématique
2.1. Question de recherche
2.2. Acteurs et contexte
3. Ressources théoriques
3.1. Additionner une ou plusieurs dizaine-s à un nombre
3.2. L’addition
3.3. Répertoires additif et soustractif
3.4. Calcul réfléchi
3.5. Différenciation
3.6. Manipulation
3.7. Temps
3.8. Outils de calcul
3.9. Entraînement
4. Méthodologie
4.1. Recherche-action
4.2. Type de données
4.3. Analyse des données
4.4. Présentation des résultats
5. Séquence d’enseignement de l’addition d’une ou plusieurs dizaine-s à un nombre
5.1. Plan d’étude romand
5.2. Contenu de la séquence
5.3. Séquences d’enseignement sur les répertoires additif et soustractif
6. Analyse et discussion 
6.1. Analyse de la séquence sur l’addition d’une ou plusieurs dizaine-s à un nombre
6.2. Analyse des traces
6.3. Modifications pour la séquence de l’addition d’une ou plusieurs dizaine-s à un nombre
6.5. Analyse de la séquence sur les répertoires additif et soustractif
6.6. Analyse des traces des répertoires
6.7. Modifications répertoires additif et soustractif
7. Conclusion 
7.1. Atteinte de nos objectifs
7.2. Apports personnels
8. Bibliographie 
8.1. Livres
8.2. Articles
8.3. Ressources électroniques
8.4. Polycopié
8.5. Jeu
9. Annexes 

Télécharger le rapport complet