Comment construire et résoudre un problème en utilisant la schématisation ?

Partie Théorique

Les problèmes

Qu’est-ce qu’un problème ?

D’après la définition du Robert illustré, un problème est une « question à résoudre par des éléments donnés dans l’énoncé. »
Cette définition rencontre cependant des limites en ne mettant pas en évidence le fait que la résolution implique l’utilisation de compétences (connaissances, capacités, attitudes) extérieures à l’énoncé.
Pour Dominique Pernoux, « un problème est une situation réelle ou imaginaire dans laquelle des questions sont posées, ces questions étant tel que l’élève ne peut y répondre de manière immédiate ».
Le problème ne se limite donc pas pour ce dernier à des exercices d’application, mais requiert un questionnement face à des situations qui ne se limitent pas au cadre d’un exercice.
Le théoricien, psychologue et didacticien Gérard Vergnaud considère lui que par problème il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, « toute structuration dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration d’hypothèse et de vérification pour produire une solution ».
Cette définition nous amène à réfléchir sur la mise en place de procédures de résolution. La résolution d’un problème ne doit pas amener à une réponse immédiate, mais nécessite des recherches, des stratégies, mettant en jeu des connaissances et des procédures adaptées, à mettre en lien pour résoudre le problème posé.
Par ailleurs, le philosophe français Jean Brun énonce qu’« un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire.
C’est dire aussi que le problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple ».
Il met ainsi en exergue le rapport entre l’individu et le problème posé. Une situation réelle ou même imaginaire peut amener un individu à considérer la situation comme problématique quand d’autres non.

Quelle est la place des problèmes dans les programmes officiels ?

Le terme « problème » apparaît 45 fois dans le Bulletin Officiel n° 3 du 19 juin 2008 et 10 fois dans les nouveaux programmes de l’école maternelle (25 mars 2015).
Au cycle 1, les programmes insistent sur la notion de problèmes dans de nombreux domaines. Cela est visible à travers les intitulés : « modalités spécifiques d’apprentissage », « Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes », « Agir, s’exprimer, comprendre à travers… », « structurer sa pensée ». Mais également au sein même du Bulletin Officiel :
• « L’enseignant met en place dans sa classe des situations d’apprentissage variées : jeu, résolution de problèmes (…) »
• « Pour provoquer la réflexion des enfants, l’enseignant les met face à des problèmes à leur portée (…) »
• « Les moments de langage à plusieurs sont nombreux à l’école maternelle : résolution de problèmes (…) »
• « L’enseignant accepte qu’ils mêlent écriture en capitales pour résoudre des problèmes. »
• « Il permet aux enfants d’identifier les réponses apportées par des plasticiens, des illustrateurs d’albums, à des problèmes qu’ils se sont posés. »
• « Proposer des solutions dans des situations de projet, de création, de résolution de problèmes, avec son corps, sa voix ou des objets sonores. »
Au cycle 2, il n’existe pas à proprement parler de domaine « problèmes » en mathématiques. Ce terme apparaît cependant dans les domaines « Nombre et calcul » et « Grandeurs et Mesures ». On peut y lire :
• « La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. »
• « Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. »
• « Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. »

La résolution de problèmes

Qu’est-ce que résoudre un problème ?

Pour Julo (1995), résoudre un problème c’est avant tout construire une représentation du problème. Il explique que « comprendre quelque chose serait construire une représentation de cette chose » et que « le point central dans la résolution de problèmes est bien pour lui la construction-reconstruction de la représentation particularisée, c’est-à-dire adaptée à la situation particulière que l’on se fait du problème».
Pour Gérard Vergnaud, il s’agit de toute structuration dans laquelle il y a le besoin de découvrir des relations, développer des activités liées à l’exploration d’hypothèses ainsi que de vérification de ces dernières dans le but de mettre en place une solution.

Pourquoi résoudre des problèmes mathématiques à l’école ?

Pour Jean Julo, « c’est dans l’activité de résolution de problèmes que se trouve la source de la connaissance », il s’agit de « réussir à aller jusqu’au bout de l’élaboration d’une procédure nouvelle (non connue). ».
Julo, en 1995, énonce la chose suivante : « une idée très simple pour permettre à tous de réussir en mathématiques est alors de leur offrir la possibilité de résoudre des problèmes », la résolution de problèmes « apparaît comme le moyen le plus sûr de construire des connaissances, de leur donner du sens et d’en faire de vrais outils de pensée pouvant être mobilisés en vue de comprendre et de maîtriser son environnement »
La résolution de problèmes est ainsi une activité essentielle à mettre en place à l’école pour Julo. Le Conseil Supérieur des Programmes tend à aller dans son sens en renforçant la place de cette activité au sein des programmes de 2015 aussi bien en mathématiques que dans d’autres domaines.

Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves et comment y remédier ?

Lorsque l’on parle de difficultés dans l’activité de résolution de problèmes à l’école élémentaire, les enseignants des cycles 2 et 3 que j’ai pu rencontrer mettent avant tout en avant les problèmes de lecture et de compréhension des énoncés rencontrés par leurs élèves. Ils constatent une lecture souvent non automatisée, qui ne permet pas à l’élève de comprendre le sens général de l’énoncé. De ce fait, l’élève a tendance à mobiliser une part importante de ses ressources à cette compréhension globale au détriment de l’activité même de résolution. De plus, les professeurs que j’ai questionnés perçoivent également des difficultés de représentation du problème chez les apprenants ainsi que de discernement des données importantes et de leur exploitation.
Les problèmes d’exécution des calculs (méconnaissances des techniques opératoires, calculs mentaux faux ou encore difficultés d’estimation de l’ordre de grandeur des résultats), de mémorisation et de concentration des élèves complètent les difficultés souvent rencontrées.
Jean-Louis Porcheron s’est particulièrement intéressé aux rapports des élèves avec les situations proposés dans le cadre des activités de résolution de problèmes. Il a remarqué à partir de ses travaux que « pour les problèmes additifs au cycle 2, la familiarité avec la situation (l’habillage du problème) augmente la réussite [des élèves]. »
Pour en arriver à ce que le contexte ne soit plus un frein, il faut que celui-ci soit évocateur sous peine que l’élève ne débute jamais le processus de résolution du problème.
Michel Fayol a constaté que les sujets mauvais lecteurs, dans le cadre des problèmes additifs, bénéficient plus que d’autres d’une situation proposée sous forme de représentations imagées. Il constate que cette organisation permet un traitement sémantique des données plus facile et soulage la charge cognitive, la mémoire des élèves (l’image donne plus d’informations). Il prône ainsi des présentations différenciées des problèmes au travers d’autres modes de communication qui diffèrent des énoncés écrits.
Pour Pierre Peroz, « il n’y a pas d’énoncés (résultant d’une énonciation) transparents, complètement et toujours compréhensibles. »
De ce fait, le maitre doit veiller et anticiper les difficultés lexicales de l’énoncé (mots, expressions difficiles), l’organisation syntaxique (organisation des phrases) et rhétorique (succession des apports d’informations dans le texte du problème) afin de choisir un énoncé minimisant ces effets perturbateurs.

Quelles sont les différentes étapes de résolution de problèmes

Pour Dominique Pernoux, un problème ne peut être résolu de manière immédiate par un simple calcul. Il s’agit d’une activité beaucoup plus complexe qui ne peut se limiter à la simple exécution d’une opération.
Alain Descaves en 1992, souligne trois phases qu’il qualifie d’indissociables pour toute résolution de problèmes :
• La compréhension de l’énoncé et la construction d’une représentation.
• La mathématisation du problème et sa mise en signes.
• La mise en œuvre de stratégies et de procédures de résolution.

Les représentations schématiques

Qu’est-ce qu’un schéma ?

Lors de ma phase expérimentale, j’ai soumis cette question aux élèves. Ces derniers m’ont répondu qu’« un schéma c’est comme un dessin. Enfin non… un dessin qui nous aide à comprendre le problème ».
Les élèves assimilent ainsi pour la plupart le schéma à un dessin. Or, comme nous l’indique le Petit Robert, un schéma peut être qualifié de « figure donnant une représentation simplifiée et fonctionnelle (d’un objet, d’un processus, etc.). »
Le schéma et dessin n’ont pour ainsi dire, pas le même objectif. Un schéma a pour but de représenter une situation de manière simple, sans réel but esthétique, et de dégager les éléments essentiels. Le dessin vise quant à lui la réalisation d’une production artistique, plastique à l’aide d’un outil scripteur sur un support, un plan ou un format.
Cette difficulté à distinguer schéma et dessin empêche les élèves de s’approprier correctement cet outil que représente la schématisation ; ces derniers ont en effet tendance à trop détailler leurs schémas en voulant les rapprocher du dessin au détriment de l’objectif de résolution.
La schématisation nécessite donc un apprentissage qui passe, par exemple, par la sélection des données essentielles à représenter et par l’apprentissage de symboles (une croix représente un individu par exemple).
Pour Michel Adam, « le schéma se présente comme une représentation intermédiaire entre le texte linéaire et l’illustration, servant à faire ressortir les caractères propres à l’objet représenté́ et surtout ayant une fonction structurante, pour ceux qui ont du mal à bien organiser leur pensée. »
À la question « Qu’est-ce qu’un schéma dans l’activité de résolution de problème ? » on peut répondre que le schéma est un outil d’aide à la représentation simplifiée de l’énoncé, mettant en évidence les interactions des données essentielles d’un problème et engageant l’individu dans un processus de résolution.

Quelle est la place des schémas dans les programmes officiels ?

Les programmes de 2008 n’instaurent pas l’apprentissage de la schématisation comme outil mathématique indispensable. Ce choix est laissé à l’enseignant qui propose ou non l’utilisation de cet outil aux élèves. Le socle commun de connaissances, de compétences et de culture propose néanmoins cet outil comme aide à la résolution de problèmes. Dans le domaine 1 « les langages pour penser et communiquer », il est noté « L’élève utilise les principes du système de numération décimal et les langages formels (lettres, symboles…) propres aux mathématiques et aux disciplines scientifiques, notamment pour effectuer des calculs et modéliser des situations. Il lit des plans, se repère sur des cartes. Il produit et utilise des représentations d’objets, d’expériences, de phénomènes naturels tels que schémas, croquis, maquettes, patrons ou figures géométriques. »
Les nouveaux programmes du 26 novembre 2015 pour les cycles 2 et 3 sont en accord avec le socle commun. Pour le cycle 2, en mathématiques, les élèves sont amenés à « appréhender différents systèmes de représentations (dessins, schémas, arbre de calcul, etc.) » tandis qu’en cycle 3, les élèves sont amenés à « prélever et organisation les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. » et à « utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, etc. »

Quelle est l’utilité d’un schéma dans l’activité de résolution de problème ?

La résolution de problèmes passe par plusieurs étapes. Que ce soit Alain Descaves ou Jean Julo, la première étape consiste avant tout pour l’individu en la compréhension de l’énoncé et à la construction d’une représentation.
Sylvie Gamo considère que c’est le rôle de l’enseignant d’aider l’élève à se représenter un problème. Elle considère que c’est en poussant à la reformulation de l’énoncé et à la schématisation que l’élève pourra se représenter au mieux l’énoncé.
Nathalie Monnier explique pour sa part que le schéma est un support de raisonnement qui permet à l’individu d’entrer dans le processus d’opérationnalisation.
Pour Michel Adam, la schématisation permet aux élèves de structurer leur pensée et ainsi leur raisonnement. Alain Descaves partage également ce point de vue et attribue au schéma un rôle simplificateur ; celui d’alléger la mémoire de travail de l’individu et ainsi de construire une représentation facilitée du problème posé.
Pour conclure, le schéma est un outil qui permet la construction d’une représentation en mettant en lien les données essentielles du problème. Cette représentation met en relation de manière plus visible les données mathématiques et soulage la mémoire de l’individu.
Outre ce rôle de représentation et de compréhension du problème, le schéma peut également être employé comme outil de communication d’une réponse, de résolution ou de vérification d’un calcul.

Les conditions nécessaires à l’utilité d’un schéma

Le schéma ne peut être une aide pour la représentation d’un problème que lorsque l’élève sait transférer et réinvestir son utilisation, de manière pertinente, dans d’autres domaines, ou problèmes différents de ceux déjà résolus. D’après Julo, c’est à l’enseignant de diversifier les situations présentées auprès des élèves afin que ces derniers puissent intérioriser différentes représentations schématiques dans leurs structures cognitives et éviter l’utilisation de schémas incompatibles avec un problème présenté. Il doit également s’assurer de l’acquisition de ces différentes représentations.

Le schéma est-il une étape obligatoire ?

Le schéma n’est pas une étape indispensable dans le processus de résolution de problèmes. Il s’agit d’un outil qui ne doit pas se substituer à l’objectif de résolution du problème et trouve son intérêt que lorsqu’il est judicieusement utilisé. De surcroit, tout problème ne se prête pas à une schématisation.
L’imposer aux élèves peut revenir à les détourner de procédures expertes dans le cadre de certains problèmes. Ainsi, imposer une schématisation à des élèves de CM2, dans le cadre d’un problème de partage, utilisant des nombres entiers peut les détourner de la procédure experte de la division.
Comme le préconise Jean Julo (2002), il faut laisser l’élève choisir d’utiliser le schéma ou non à travers un choix d’outils variés. Il estime qu’il faut « « aider ni trop ni trop peu » l’élève pour ne pas le renfermer dans un type de représentation conditionné, éloigné de ses conceptions. Le meilleur schéma est avant tout celui qui est le plus proche de l’individu, celui qu’il a lui-même construit.
Pour R. Lemming Damm (1992), les outils sont des instruments transitionnels qui doivent être abandonnés plus tard. Ils permettent à un moment donné à l’élève, d’adopter des mécanismes de modélisation et de conceptualisation.
Hypothèse 3 : la présence de deux fractions avec des dénominateurs communs avec le mot « restant » a pu inciter les élèves à soustraire ces fractions, dans la mesure où les opérations sur les fractions avaient été abordées récemment en classe.

Résultat et bilan problème 3 

Ce problème est celui qui a posé le plus de difficulté. Il s’agissait à mon sens, du problème le plus laborieux (gradation des problèmes présentés). Aucun n’élève n’a trouvé de démarche correcte pour le résoudre. 2 élèves sont arrivés au bon résultat, mais à l’aide de procédures erronées.

Hypothèses d’échec possibles 

• Hypothèse 1 : comme pour les problèmes 1 et 2, la présentation des fractions sous la forme « x/y » a très certainement entravé les élèves dans la représentation qu’ils avaient du problème posé et dans le choix de procédures.
• Hypothèse 2 : l’énoncé peut être source de confusions. L’alternance entre des fractions à dénominateurs variables ne faisant pas référence au même nombre de chambres (1/3 des 18 chambres puis 4/6 des 12 chambres restantes) complique le choix d’une procédure adaptée. De même, la redondance du mot « restantes » qui ne se réfère pas au même nombre de chambres (12 pour le premier terme, 2 pour le second) est très certainement source de problèmes tout comme la longueur de l’énoncé.
• Hypothèse 3 : l’absence de questions intermédiaires n’a pas pu permettre aux élèves d’être guidés progressivement vers le résultat final attendu (absence de guidage pour les étapes intermédiaires).

Résultats et bilan de la séance

Résultats et bilans problèmes 

La plupart des élèves m’ont réalisé un schéma (19 élèves sur 26 élèves), cependant je constate que pour un même problème, il y a peu de schémas qui sortent de l’ordinaire, la plupart des élèves ont intériorisé des schémas types vus précédemment, mais n’arrivent pas à les adapter à la situation proposée (8 élèves sur les 19 ayant réalisé un schéma élaborent une procédure adaptée). On constate également que seuls des élèves ayant schématisé ont réussi à résoudre leur problème (5 élèves). De manière générale, le fait d’imposer la schématisation n’a pas perturbé les élèves appartenant au groupe 1, mais n’a pas permis aux autres élèves d’élaborer une procédure de résolution adaptée (4 élèves seulement pour le groupe 2 et 3) et de résoudre le problème (seul Donovan du groupe 3 a atteint cet objectif). Le schéma semble ainsi réalisé parce qu’il est demandé, mais n’apporte pas de réelle aide supplémentaire à l’élève pour la résolution du problème. Il est peut être même une source difficulté qui s’ajoute déjà à la difficulté de la notion de fraction (parfois mal comprise ou trop fragile) et à la compréhension de l’énoncé. En effet, j’ai pu constater que pour le problème 3, la moitié des élèves ont répondu à la question « Quel est son salaire ? » par une fraction…
Concernant le travail entre groupes de pairs, les élèves ont peu échangé sur leurs schémas et leurs procédures. Les schémas proposés en groupe sont pour la plupart issus d’élèves du groupe 1.
Hypothèses d’échec possibles pour la schématisation et la résolution du problème :
• Problème 1 : ce problème était assez similaire à ceux déjà vus précédemment, cependant la fraction 2/7 a surement posé un problème aux élèves. Sur les 7 élèves ayant réalisé ce problème, 3 élèves ont dans leur schéma, pris 2 fois 7 élèves ce qui correspondant à 2/3 de 21 et non 2/7.
• Problème 2 : la schématisation a pu été rendu difficile par la présence d’un grand nombre (1800).
• Problème 3 : l’une des difficultés principales de ce problème réside dans la compréhension de l’énoncé : trouver le salaire (5/5) à partir de la fraction 2/5 = 600. 7) Séance 5 : Comment construire et résoudre un problème en utilisant la schématisation ? Analyse des schémas créés en séance 4

Présentation de la séance

Objectifs : permettre aux élèves d’améliorer leur reproduction schématique et de mieux comprendre la distinction schéma/dessin par l’analyse de différents schémas et leur exploitation (amélioration de ces derniers).

Compétences

ü Connaissances : connaissances des fractions et des opérations simples usuelles.
ü Capacités : résoudre un problème en utilisant la schématisation, distinguer les données essentielles d’un énoncé, comprendre un énoncé, échanger/discuter/argumenter.
ü Attitudes : adopter une posture de recherche, apprendre à se concentrer et raisonner.
Déroulement : les problèmes proposés lors de la séance précédente sont apparents au tableau de même que les productions des élèves reproduites sur feuille A4, au feutre, afin d’être vues par l’ensemble de la classe. Ces productions sont disposées de manière à pouvoir être étudiées une à une en gardant en dernier le schéma le plus représentatif du problème (le nom des élèves a été également volontairement caché).
Dans un premier temps, les énoncés ont été relus, de même que les questions afin de déterminer l’élément que l’on recherchait pour résoudre le problème et la façon dont on allait l’exprimer (le salaire en euros par exemple).

Table des matières
Introduction 
Partie Théorique 
1) Les problèmes
2) La résolution de problèmes
3) Les représentations schématiques
Partie expérimentale 
1) Contexte de l’expérimentation
2) Procédure d’analyse des productions des élèves
3) Séance 1 : Évaluation diagnostique
4) Séance 2 : Le schéma et son utilité en résolution de problèmes
5) Séance 3 : Trouver le bon schéma pour résoudre des problèmes
6) Séance 4 : Résoudre un problème utilisant la schématisation, étudier et comparer des schémas créés
7) Séance 5 : Comment construire et résoudre un problème en utilisant la schématisation ?
Analyse des schémas créés en séance 4
8) Séance 6 : Évaluation sommative
Bilan de l’expérimentation menée
1) Quelles ont été les limites de l’expérimentation ?
2) Le schéma a-t-il apporté une aide dans l’activité de résolution de problème ?
3) Quelles sont les limites de la schématisation ?
Conclusion
Bibliographie
Autres sources 
Sommaire des annexes 
Annexes évaluation diagnostique
Annexes séance 2
Annexes séance 4
Annexes séance 5
Annexes évaluation sommative
Annexes productions d’élèves
Résumé

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