Comment a évolué la place de la résolution de problèmes dans les programmes ?

Comment a évolué la place de la résolution de problèmes dans les programmes ?

En 2008, les programmes incitaient les enseignants à donner du sens aux apprentissages : donner l’objectif aux élèves, leur montrer ce qu’ils doivent retenir et pourquoi ; cela notamment en inscrivant les problèmes dans la réalité et dans un environnement proche des élèves. L’objectif est de renforcer les connaissances nécessaires à la résolution d’un problème et de développer la rigueur et la précision chez les élèves. En 2015, la résolution de problèmes est au cœur des programmes et le BO reprend les idées des programmes de 2008 en ajoutant un nouvel enjeu : l’interdisciplinarité des enseignements. Les programmes favorisent une contextualisation des problèmes et préconisent aux enseignants d’expliciter les situations d’apprentissage. Un accent est mis sur les interactions entre pairs car elles permettent aux élèves d’acquérir des nouvelles méthodes et des outils pour apprendre. En 2018 le BO affirme davantage sa position en faveur de l’interdisciplinarité des enseignements ainsi que sur la nécessité des travaux de groupes. Les programmes accordent une plus grande place à la résolution de problèmes dans les apprentissages mathématiques. Un accent est mis sur l’acquisition des bases du savoir mathématique.

Enjeux pour l’enseignant 

L’enseignant doit faire en sorte que tous ses élèves réussissent, et pas seulement les plus performants. Cela passe par plusieurs aspects : connaître ses élèves, connaître leurs points forts et leurs difficultés, et savoir s’adapter. L’enseignant doit adapter le contenu de son travail à ses élèves et non pas l’inverse : c’est-à-dire que l’enseignant doit proposer des contenus accessibles à tous et s’adapter au rythme de ses élèves. Il doit être capable de différencier et prendre en compte tous les élèves dans les apprentissages, en sachant que tous ne vont pas au même rythme et n’ont pas les mêmes difficultés. On retrouve ces différents aspects dans le référentiel de compétences des métiers du professorat et de l’éducation. Il y a notamment deux compétences nécessaires à mon enseignement de la résolution de problèmes, qui sont aussi valables pour n’importe quel autre enseignement : « Connaître les élèves, comprendre comment ils apprennent ainsi que les diverses procédures qu’ils utilisent en résolution de problèmes ». Pour ce faire il faut observer les élèves aussi bien dans leur attitude que dans leur travail, afin de mieux comprendre les difficultés qu’ils rencontrent. Il faut « prendre en compte la diversité des élèves » (Cycle 3 – cycle de consolidation, 2018) pour s’adapter à chaque élève et réussir à tous les faire progresser. Pour mettre en place ces compétences, il est nécessaire de s’informer sur la façon d’enseigner les mathématiques et plus précisément sur la résolution de problèmes : cela en comprenant l’évolution des courants de pensées et des représentations que l’on se fait des problèmes et de la réussite en mathématiques. Dans cette première section de la partie théorique, nous avons constaté que l’approche de la résolution de problèmes a évolué au cours des années, et qu’il en résulte plusieurs enjeux pour l’enseignant. Il est à présent nécessaire de savoir comment en tant qu’enseignante je peux essayer de choisir un problème en vue de répondre aux objectifs des programmes.

La résolution de problèmes

Avant d’être amenée à comprendre comment en tant qu’enseignante je peux choisir le problème adéquat pour remplir les objectifs des programmes, il est impératif de définir avec précision ce qu’est un problème.

Qu’est-ce qu’un problème ?

Tout au long de notre scolarité, nous avons souvent entendu « résolvez ce problème», « trouvez la solution de l’exercice ». Mais concrètement, quelle est la différence entre un problème et un exercice ? En effet dans les deux cas il faut répondre aux questions et trouver le résultat. Dans ce mémoire, on se limitera aux mathématiques : « pour nous (ici Jacques BAIR chercheur en mathématiques, Gentiane HAESBROECK et Jean-Jacques HAESBROECK pédagogues et chercheurs en mathématiques) un problème, sousentendu de mathématiques, est donc un exercice de recherche qui constitue pour celui qui s’y attaque un « défi » (action d’affronter quelque chose, son résultat, inciter à la réalisation d’une chose difficile, réponse à une telle situation) qui mobilise ses facultés et aptitudes de compréhension et de mise en œuvre des connaissances dans des situations inédites.». (Bair, Haesbroeck, & Haesbroeck, 2000).

La différence se fait au niveau du contenu d’apprentissage. Un exercice est souvent en lien avec une notion étudiée à un moment précis : les élèves connaissent donc le savoir mathématique mis en jeu et peuvent l’utiliser. Alors que dans un problème, les élèves doivent réinvestir par eux-mêmes ce savoir et trouver la ou les procédures pour atteindre un objectif. Il est nécessaire pour l’enseignant d’identifier l’objectif visé lorsqu’il donne un problème à ses élèves, ainsi que les compétences mobilisées. Est-ce que le problème favorise la mise en place de stratégies par les élèves, ou est ce qu’il favorise une procédure particulière (notamment une procédure experte) afin de donner du sens à un apprentissage ?

Les différents types de problème 

Comme nous l’avons vu précédemment, la résolution de problèmes permet de donner aux élèves « des outils mathématiques » et de favoriser le raisonnement. Pour aider l’enseignant à sélectionner un problème et envisager les difficultés des élèves, il existe une classification des problèmes dans les documents d’accompagnement des programmes. Il y a différents types de problèmes : « les problèmes dits de réinvestissement, les problèmes pour chercher, les problèmes pour construire de nouvelles connaissances et les problèmes complexes ». (Bulletin officiel spécial [BO] n°11 relatif aux programmes d’enseignement de l’école élémentaire et du collège, 2015). Gérard VERGNAUD nous propose une typologie qui montre que les difficultés des élèves ne résident pas seulement dans le choix de l’opération, mais dans le type de problème qu’on leur donne. Il distingue les problèmes additifs et soustractifs des problèmes multiplicatifs et de division. (La résolution de problèmes et la typologie de Vergnaud, 2018). Il décompose les problèmes additifs et soustractifs en trois grandes catégories :
– La composition de deux états : il s’agit d’une situation avec trois grandeurs dont deux données. Soit on cherche le résultat, soit on cherche une des données manquantes.
– La transformation d’un état : il s’agit d’un état initial qui subit une transformation pour aboutir à un état final. Soit on recherche l’état final, soit on recherche la transformation, soit on recherche l’état initial.
– La comparaison d’état : il s’agit de comparer deux états notamment, avec l’expression « de plus/de moins ». Soit on recherche l’un des états, soit on recherche la comparaison.

Il distingue deux types de problèmes multiplicatifs :

– La configuration rectangulaire : il s’agit de chercher à construire le concept de la multiplication.
– La multiplication : il s’agit de trouver le nombre total d’éléments par une addition réitérée en utilisant la multiplication.

Il distingue deux types de problèmes de division :
– La division quotition : il s’agit de calculer le nombre de paquets identiques que l’on peut faire dans une collection en connaissant la valeur d’un paquet.
– La division partition : il s’agit de calculer la valeur d’un paquet connaissant le nombre de paquets identiques que l’on peut faire dans une collection .

Concernant les problèmes multiplicatifs 

L’activité 1 que j’ai proposée à mes élèves est de résoudre un problème avec multiplication, qui met en avant la recherche du nombre total d’éléments.

Activité 1 : Kevin a eu 19 boîtes de chocolats à Noël. Dans une boîte de chocolats, il y a 28 chocolats. Combien a-t-il de chocolats ? Solution experte : utiliser la multiplication -> 19 x 28 = 532. Kevin a 532 chocolats en tout.

Procédures possibles des élèves :
– Utiliser des schémas.
– Utiliser l’addition réitérée (l’élève va réitérer l’ajout de groupe de 28, car chaque groupe de 28 est matérialisé par une boîte de chocolat : 28 + 28 + 28+ …. + 28 = 532).
– Tâtonner en utilisant la multiplication (28 x 10 = 280 ; 280 x 2 = 560) : l’élève s’approche progressivement du résultat et il peut utiliser une soustraction pour terminer son raisonnement (560 – 28 = 532).
– Utiliser la multiplication : si l’élève a bien compris la construction décimale du nombre, il va aboutir à 19 x 28 = 532, qui est la procédure experte.

L’activité 2 que j’ai proposée à mes élèves est de résoudre un problème qui met en avant le concept de la multiplication.

Activité 2 : Un pâtissier crée une grande tablette de chocolat. Elle compte 23 rangées de 12 carrés chacune. Combien de carrés de chocolat constituent cette tablette ? Solution experte : utiliser la multiplication -> 23 x 12 = 276. Cette tablette est constituée de 276 carrés de chocolats.

Procédures possibles des élèves :
– Utiliser des schémas, représenter la tablette de chocolat (imaginer toutes les rangées est assez long).
– Utiliser l’addition réitérée (l’élève va réitérer l’ajout de groupes de 23, car chaque groupe de 23 est matérialisé par une rangée de 12 carrés : 23 + 23 + 23 + … + 23 = 276).
– Tâtonner en utilisant la multiplication (12 x 10 = 120 ; 120 x 2 = 240 ; 12 x 2 = 24) et l’addition (240 + 24 + 12 = 276).
– Utiliser la multiplication : si l’élève a bien compris la construction décimale du nombre, il va aboutir à 23 x 12 = 276, qui est la procédure experte.

J’ai choisi ces deux problèmes pour donner du sens à la multiplication et l’instaurer comme procédure experte.

Table des matières

Introduction
I. Partie théorique
I.1. Le cadre institutionnel
I.1.1. La résolution de problèmes dans les programmes
I.1.2. L’évolution dans les programmes
I.1.2.1. Les programmes de 2008
I.1.2.2. Les programmes de 2015
I.1.2.3. Les programmes de 2018
I.1.2.4. Comment a évolué la place de la résolution de problèmes dans les programmes ?
I.1.3. Enjeux pour l’enseignant
I.2. La résolution de problèmes
I.2.1. Qu’est-ce qu’un problème ?
I.2.2. Les différents types de problème
I.2.2.1. Concernant les problèmes multiplicatifs
I.2.2.2. Concernant les problèmes de divisions
I.2.3. L’importance du raisonnement
I.2.4. L’appropriation d’un problème
I.2.5. Les variables didactiques
I.2.6. Difficultés prévisibles et aides éventuelles
II. Partie pratique
II.1. Analyse de la séance 5 (1ère partie)
II.1.1. Analyse a priori
II.1.1.1. Procédures possibles des élèves
II.1.1.2. Difficultés prévisibles et aides éventuelles
II.1.1.3. Analyse des travaux d’élèves
II.1.2. Analyse a posteriori
II.1.2.1. Déroulement de la séance
II.1.2.2. Analyse de ma séance
II.1.2.3. Bilan
II.2. Analyse de la séance 5 (2ème partie)
II.2.1. Analyse a priori
II.2.1.1. Procédures possibles des élèves
II.2.1.2. Procédures possibles des élèves
II.2.1.3. Difficultés prévisibles et aides éventuelles
II.2.1.4. Analyse des travaux d’élèves
II.2.2. Analyse a posteriori
II.2.2.1. Déroulement de la séance
II.2.2.2. Analyse de ma séance
II.2.2.3. Bilan
II.3. Analyse de problèmes complexes
II.3.1. Analyse des problèmes mixtes
II.3.1.1. La complexité et l’organisation des calculs dans un problème
II.3.1.2. Jouer avec les variables didactiques
II.3.1.3. Remédiation
Conclusion
Bibliographie
Annexes

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