Soutenance mémoire
La transversalité de ces travaux de recherche
Cette thèse en automatique contient un ensemble de travaux de recherche pluridisciplinaires où les composantes de la mécanique et du génie parasismique (dynamique des structures, la théorie des vibrations) et le traitement du signal (outils d’analyse en temps-fréquence) seront aussi présents. L’équipe constituée par le doctorant et ses encadrants (CEA, CNRS et UPS) couvre ces champs de compétence. La thèse a débuté en octobre 2009 sous financement propre du CEA. Le sujet et le travail effectués se situent à mi-chemin entre recherche scientifique et recherche appliquée. On manipule des concepts et des fonctions de base partant d’un besoin défini par l’ingénieur. Les résultats qui seront présentés dans ce mémoire de thèse sont très en amont par rapport aux possibles produits finaux. Face aux problématiques souvent très complexes rencontrées dans la vie réelle, une sélection et une découpe en sous-problèmes ont été faites au préalable, notamment à travers les travaux Politopoulos et Pham, 2011,Pham, 2010. Dans la continuité de ces derniers, le style pour guider les études et l’approche scientifique ont été de définir un cadre suffisamment simple et accessible dans le sens où :
(i) les modèles mathématiques utilisés sont simples, mais capables de reproduire les phénomènes physiques essentiels d’intérêt : par exemple, les applications traitées seront des structures idéalisées à deux degrés de liberté où l’actionneur sera un amortisseur visqueux assimilé à une simple force d’amortissement ;
(ii) on cherche à formaliser les résultats et assurer un passage souple du particulier au général et du général au particulier : les théorèmes proposés couvrent un champ d’applications plus large mais en particulier ils répondent aux besoins des applications ciblées ;
(iii) l’analyse et la synthèse mathématique (par exemple, en utilisant la théorie de Lyapunov) sont guidées par la compréhension et l’intuition des phénomènes physiques des processus : par exemple, le paramétrage des lois de commande se fait en terme de pénalisation des modes de vibration.
Utilisation des représentations temps-fréquence
Une piste étudiée dans ces travaux de recherche porte sur l’utilisation des outils d’analyse temps-fréquence (couramment rencontrés dans le domaine du traitement du signal) pour résoudre des problèmes de synthèse de lois de commande (qui relèvent du domaine de l’automatique). Il s’agit d’un travail très exploratoire et peu de recherches sur ce sujet se trouvent dans la littérature. Les applications ciblées sont toujours les systèmes de contrôle d’isolation mixte (en génie parasismique). Pour illustrer le concept sur un schéma fonctionnel où l’on met un seul bloc qui représente un système avec contrôle ayant des entrées et des sorties (voir la figure 1.5) on espère pouvoir prendre en compte dès la phase de synthèse du contrôleur les composantes transitoires de ces signaux. En d’autres termes, on part à la recherche d’une méthode de synthèse de lois de commande portant sur une relation entréesortie 1 d’un système, relation qui devrait porter sur le régime transitoire. La figure 1.6a, divisée en quatre sous-figures, porte sur l’analyse d’un signal sismique (constituant l’entrée du bloc système) représenté sur la partie gauche de cette figure. Deux bandes horizontales de couleur orange sont à remarquer, qui ont été représentées par dessus pour ainsi repérer et isoler la partie forte de ce signal. On va les appeler « bandes temporelles » parce qu’elles ont été tracées à partir d’une information dans le domaine temps du signal. Elles concentrent la majorité de l’énergie du signal : les taches qui varient de jaune à rouge sont porteuses d’information sur la distribution de Wigner-Ville lissée, correspondant à la partie centrale de la figure. Elles renseignent sur des zones où le signal a un contenu important en temps et en fréquence, respectivement. Il est à noter que les modèles de structures (par exemple bâtiments, équipements, etc.) ne vont pas réagir de la même façon sur toute la longueur du spectre. Pour nuancer la réponse à la secousse de la figure 1.6a et mettre en évidence la sensibilité d’une structure à deux degrés de liberté, sismiquement isolée par des dispositifs passifs, nous avons analysé dans la figure 1.6b l’accélération absolue de la base (constituant la sortie du bloc système). Les deux « bandes fréquentielles » verticales de couleur orange qui ont été superposées sont d’ailleurs centrées sur les deux fréquences propres de la structure. En effet, on peut lire sur la distribution de Wigner-Ville lissée une accumulation importante de contenu spectral autour de ces deux fréquences. Enfin, par l’intersection de ces bandes horizontales et verticales, qui ont été appelées plus haut « bandes temporelles » et « bandes fréquentielles », on trouve dans le domaine temps-fréquence des régions (ou pavés) où on aimerait que le contrôleur soit capable d’induire un certain comportement en boucle fermée : par exemple, réduire cette énergie. Il est raisonnable de penser que cette réduction aura comme conséquence l’amélioration souhaitée des spectres de plancher.
Signaux sismiques naturels et artificiels
Vu le contexte plus large de la thèse, à savoir résoudre des problèmes de contrôle en génie parasismique, et l’objectif précis, à savoir la synthèse de lois de commande, afin de pouvoir valider les schémas de contrôle proposés on se pose la question sur le choix des signaux sismiques : est-ce qu’on utilise des signaux réels, historiques ou préfère-t-on générer des signaux artificiels ? Dans le premier cas, il faudra dire un mot sur l’accessibilité aux bases de données (où est-ce qu’on peut les trouver ?), et dans le second cas, il est nécessaire de passer en revue les algorithmes connus de synthèse de signaux. Accélérogrammes et bases de données publiques De nos jours, les réseaux modernes de capteurs sismiques sont de plus en plus nombreux. Plusieurs bases de données publiques avec un accès gratuit et en ligne sont disponibles. À titre d’exemple précisons :
• PEER 5 , qui contient un grand nombre d’enregistrements d’événements historiques à travers le monde, par exemple aux États-Unis, on peut citer l’événement Northridge (daté 1994) ;
• le réseau japonais de stations sismiques KIK-net et K-net 6 , où il est possible de trouver les accélérogrammes de l’événement Kobé (daté 1995) et T¯ohoku (du 11 mars 2011) au Japon ;
• le réseau français RAP7, où on peut mentionner le tremblement de terre qui a eu lieu le 29/11/2007 en Martinique, de magnitude 7.4.
Un grand nombre de renseignements peuvent y être retrouvés : les coordonnées géographiques de chaque station qui a enregistré le signal, distance par rapport à l’épicentre, spectres de réponse de sol, etc. Précisons aussi les données sismiques européennes et américaines formatées, utilisées dans le cadre des Règles Fondamentales de Sûreté (RFS) établies en 1998, applicables aux installations nucléaires françaises. Il s’agit de quelques centaines de signaux mesurés dans le plan horizontal et vertical. Pour le lecteur qui n’est pas très familiarisé avec la terminologie habituelle associée aux séismes, précisons qu’un accélérogramme est un signal vectoriel à trois composantes, sachant que chaque composante représente physiquement une accélération absolue du sol (par rapport à un point fixe dans l’espace, non solidaire à la Terre) dans une des trois directions de l’espace : Ox, Oy et Oz. Ces axes sont choisis orthogonaux, dont : (i) deux axes horizontaux (parallèles à la couche terrestre et perpendiculaires entre eux : Ox et Oy), et (ii) le troisième vertical (Oz). Les axes Ox et Oy se confondent avec les orientations géographiques nord-sud (NS) et estouest (EO), respectivement. À titre d’illustration, voir la figure 1.11 : ce signal sismique impressionne par sa durée et le fort niveau en accélération des pics.
Point sur la réglementation en vigueur et les recommandations
La réglementation française concernant la sûreté nucléaire, ASN, 2001, demande que les Installations Nucléaires de Base (INB) associées aux divers sites géographiques soient capables de supporter des sollicitations sismiques ayant un spectre de réponse du sol a priori donné. Ce document spécifie que la prise en compte de ces spectres de sol doit se faire lors de la phase de dimensionnement des nouvelles installations, aussi bien que pour ceux qui sont actuellement en exploitation, Viallet et al., 2010. Des réglementations similaires relevant du domaine de la sûreté nucléaire existent dans d’autres pays, par exemple (i) IAEA, 2003, de l’International Atomic Energy Agency (IAEA) ; (ii) Braverman et al., 2007, de l’U.S. Nuclear Regulatory Commission aux États-Unis. En parallèle, il est possible de mentionner des analogues en génie civil qui concernent les structures conventionnelles, par exemple, les normes européennes CEN, 2004, et les codes Naeim et Kelly, 1999, §7.8, qui s’appliquent aux États-Unis. Ces réglementations sont complétées par des recommandations méthodologiques, par exemple dans FEMA, 2009. Au vu de toutes ces réglementations et recommandations, il est donc important de prendre en compte et d’intégrer l’information sur les spectres de sol pour évaluer le comportement des structures isolées. Dans nos travaux du chapitre suivant, nous allons utiliser des spectres de sol pour générer une famille de signaux sismiques artificiels qui seront utilisés pour calibrer et valider les schémas de contrôle.
Loi de commande active de Leitmann
Ses nombreuses publications et travaux de recherche montrent que G. Leitmann a été un automaticien très actif pendant une période de presque vingt ans : voir par example Leitmann, 1979, et Leitmann et Reithmeier, 1995. En particulier, il a travaillé sur un type de loi de commande que nous appelons « commande de Leitmann » dans ce mémoire, solution qu’on peut comparer aux commandes par modes glissants. Ces deux types de lois de commande sont classées dans la famille Variable Structure Systems (VSS), DeCarlo et al., 1988. Les points forts et propriétés des systèmes asservis en boucle fermée. De façon synthétique, la commande proposée dans Kelly et al., 1987, Corless et Leitmann, 1981, Leitmann, 1979, Gutman, 1979, Gutman et Leitmann, 1976, permet, sous réserve que les perturbations et les incertitudes sur le modèle soient bornées en norme euclidienne, et respectent les conditions dites de matching, de (A) soit dominer les effets cumulés des perturbations et incertitudes et assurer que l’origine du système est uniformément globalement asymptotiquement stable (UGAS), Corless et Leitmann, 1981, Corless et Leitmann, 1981 ; dans ce cas la loi de commande se présente sous forme discontinue ; (B) soit vérifier deux propriétés moins restrictives que UGAS, à savoir uniform boundedness et uniform ultimate boundedness dans le cas où une régularisation de la loi de commande est appliquée dans un ε-voisinage autour de l’hypersurface responsable de la discontinuité dans le cas précédent. Cette fois-ci, la loi de commande est continue, et le phénomène de « chattering » présent dans le cas antérieur est évité. Cette loi de commande a été utilisée dans l’article de Kelly et al., 1987. Un résultat que nous n’avons pas trouvé dans la littérature associée à la loi de commande de Leitmann est un théorème d’optimalité par rapport à une fonction critère qui reste à définir. D’où notre contribution suivante. Un théorème de contrôle optimal non linéaire. La première partie du théorème suivant est un rappel sur le résultat fondamental de Leitmann correspondant à la situation notée précédemment (A). La raison pour laquelle nous avons présenté d’abord la propriété de UGAS est que ce premier résultat est utilisé pour la preuve du second résultat sur l’optimalité, qui constitue la seconde partie de ce théorème. C’est dans cette seconde partie que réside notre contribution.
Conclusions
Pour résumer, au vu de l’amélioration du comportement des structures industrielles et leurs équipements internes sensibles, cette thèse a eu pour but d’augmenter l’efficacité de l’isolation sismique par la base, et en particulier remédier certaines faiblesses dont l’amplification des modes supérieurs. Dans la continuité des travaux de recherche menés, ces dernières années, au laboratoire EMSI du Centre du CEA Saclay, nous avons mis l’accent sur la tenue sismique des équipements, par le biais de l’étude des spectres de plancher. D’où la différence par rapport à la majorité des travaux antérieurs sur l’isolation sismique mixte, qui portent principalement leur intérêt sur la réponse de la structure isolée (déplacements relatifs, accélérations absolues des étages, etc.) et non pas explicitement sur les spectres de plancher. Dans notre étude, ces derniers sont utilisés comme des critères d’évaluation de la pertinence des lois de commande élaborées pour contrôler ces systèmes dissipatifs. Deux approches ont été étudiées : la première, classique en automatique, a consisté à poser un problème d’attenuation de perturbations et à proposer une solution de contrôle en partant des travaux de Leitmann et de ses collaborateurs. Les résultats ont été satisfaisants. La seconde, ayant un caractère plus exploratoire, consistait à intégrer les outils temps-fréquence et notamment la distribution de Wigner-Ville dans la synthèse de lois de commande. Ces travaux n’ont pas abouti à la proposition d’une méthodologie quant à leur utilisation en théorie, ni a leur applicabilité en pratique. Dans les lignes qui suivent, nous présentons une synthèse succincte et des conclusions sur les deux approches en commençant avec la première. Nous avons formalisé un problème de contrôle semi-actif dans la section 1.3.2 et l’ensemble des travaux de recherche présentés par la suite, dans les chapitres 1 et 2, a servi d’outil (état de l’art, description de modèles de structures protégées contre les séismes par des systèmes d’isolation mixte, représentations de signaux sismiques) pour aboutir à la proposition d’une solution, dans le chapitre 3. Les résultats formalisés par un théorème et ses corollaires portent sur des propriétés en boucle fermée : uniform boundedness, uniform ultimate boundedness et une borne supérieure (i.e. une enveloppe) sur le spectre de plancher. Ils ne sont pas directement applicables par l’ingénieur parce que : (i) les hypothèses de départ utilisées pour la construction de ce théorème sont très générales et en particulier, nous avons enlevé les matching conditions du cadre de Leitmann, (ii) les résultats sont calculés en utilisant la théorie de Lyapunov et prennent en compte le cas le plus pessimiste en terme d’incertitudes et de perturbations (i.e., le signal sismique). C’est pourquoi, dans un second temps, en utilisant la théorie des vibrations et en partant de la loi de commande utilisée pour construire le théorème, nous nous sommes intéressés : (i) à la calibration de ses paramètres, et (ii) au choix de variables d’état. Afin de paramétrer judicieusement la loi de commande, la description de la dynamique de la structure isolée à l’aide des coordonnées généralisées ou modales au lieu des coordonnées physiques présente un intérêt certain. Pour rappel, la projection du vecteur des coordonnées physiques sur une base modale permet de travailler en coordonnées généralisées ou modales. En partant de modèles de structures réduites à n degrés de liberté, nous avons analysé graduellement comment construire cette base modale, pour tenir compte de plusieurs hypothèses (du cas simple vers le cas général) sur M, K et C. Il semble que l’inclusion de la matrice C dans la construction de cette base modale, ne traduit pas une croissance en performance des schémas de contrôle, pour cette classe de modèles de structures souples à la base. L’état de l’art effectué ne met pas en évidence de réflexion sur le choix de la représentation en coordonnées physiques du système : les coordonnées relatives sont utilisées de façon systématique. En revanche, pour notre problème de contrôle les coordonnées absolues sont préférées pour plusieurs raisons : (i) le système dynamique décrit en coordonnées absolues fait apparaître toute la contribution de l’excitation sismique sur la même équation que celle de la loi de commande, ce qui suggère la possibilité d’avoir une action directe de la part de l’actionneur sur l’ensemble des excitations ; (ii) le découplage idéal est réalisé si les coordonnées absolues sont nulles, quel que soit le signal sismique ; en d’autres termes, la structure ne change pas sa position par rapport à un repère inertiel ; (iii) les résultats de simulation sur les structures à 2 DDL montrent une meilleure réduction du spectre de plancher même au-delà la fréquence du second mode de vibration. Pour aller un peu plus loin dans cette réflexion, les coordonnées généralisées absolues semblent également être un meilleur choix par rapport aux coordonnées généralisées relatives. Au vu des tableaux de synthèse du chapitre 1, nous n’avons pas identifié de travaux dans la littérature qui les utilise afin de construire une solution aux problèmes de contrôle de structures. Ce travail a permis un approfondissement de la physique du processus. Si on travaille en coordonnées généralisées réelles ou modales complexes (choix motivé par le souhait d’utiliser la matrice C dans la construction de la base modale), l’analyse des équations dynamiques de chaque mode d’indice i se réduit à l’analyse des équations de second ordre, comme il a été présenté dans la section 2.1.1. Leur second membre est constitué par : (i) le signal sismique, et (ii) les autres coordonnées généralisées d’indice j 6= i par couplage des modes, où i, j = 1, . . . , n. Lorsque la matrice C est modale, il y a une simplification supplémentaire : les termes de couplage introduits par l’effet de la matrice C vont disparaître et ceux qui restent sont dûs aux non linéarités introduites par le dispositif non linéaire, à savoir le patin à frottement sec. Dans tous les cas, effectuer la synthèse de lois de commande avec pour objectif l’atténuation de la réponse du mode i aura comme conséquence indirecte une action sur tous les autres modes, par couplage. Au delà de cette analyse qualitative, il est difficile d’exprimer précisément comment la méthode de contrôle proposée va influencer les pics des spectres de plancher. Les résultats de simulation illustrés dans le chapitre 3 montrent des améliorations par rapport aux dispositifs passifs et assurent que : (i) la loi de commande proposée, dans la continuité des travaux de Leitmann, constitue un candidat solide au problème de contrôle semi-actif traité dans cette thèse, et (ii) les méthodes qui ont été proposées pour calibrer cette loi de commande sont valides. Les modèles de structures isolées utilisées pour illustrer l’application des méthodes de contrôle sont simples à deux degrés de liberté, parce qu’ils représentent bien l’essentiel de la physique du processus. Cependant, ces méthodes de contrôle peuvent être facilement étendues aux cas plus généraux des modèles de structures à n degrés de liberté. La seconde approche impliquant les outils temps-fréquence a été motivée par une meilleure prise en compte des composantes du régime transitoires des signaux d’entrée-sortie sur des systèmes dynamiques avec contrôle. La distribution de Wigner-Ville nous est apparue appropriée à la description de ces signaux, notamment du fait de ses propriétés d’intégrales marginales, permettant d’étendre la classe des fonctions coût quadratiques habituelles utilisées pour la synthèse de lois de commande linéaire optimale (LQR, en anglais). Cette dernière technique consiste à chercher les paramètres de la loi de commande en minimisant une fonction coût. Mais, appliquée au cas des fonctions coût à base de la distribution de Wigner-Ville (particulièrement intéressantes car elles offrent la possibilité de travailler dans le domaine temps-fréquence), nous avons identifié plusieurs inconvénients pour le contrôle. Le principal porte sur leur non convexité qui implique l’existence de plusieurs minima locaux, et qui : (i) ne sont pas tous stabilisants en boucle fermée ; (ii) peuvent s’échapper vers l’infini. Enfin, l’utilisation des outils temps-fréquence pour la synthèse de lois de commande (stabilisantes, optimales, etc.) reste une question ouverte.
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Table des matières
Introduction
1 État de l’art
1.1 Introduction
1.2 Motivations et problématique
1.3 Problème de contrôle semi-actif
1.3.1 Critère de performance
1.3.2 La formulation du problème
1.3.3 Utilisation des représentations temps-fréquence
1.4 Objectifs
1.5 État de l’art
1.5.1 Systèmes d’isolation sismique au niveau de la base
1.5.2 Capteurs
1.5.3 Modèles de structures à plusieurs degrés de liberté
1.5.4 Signaux sismiques naturels et artificiels
1.5.5 Schémas de contrôle
1.5.6 Travaux antérieurs
1.6 Liste de publications et communications orales
1.7 Synthèse
2 Modélisation
2.1 Structures sismiquement isolées à la base. Systèmes d’isolation mixte
2.1.1 Structures non linéaires à n DDL
2.1.2 1er modèle à 2 DDL
2.1.3 2e modèle à 2 DDL
2.2 Analyse temps-fréquence de signaux sismiques
2.3 Représentation de signaux sismiques
2.3.1 1re classe : signaux générés par une méthode stochastique connue
2.3.2 2e classe : signaux polychromatiques
2.3.3 3e classe : signaux générés par l’équation différentielle partielle (EDP) du problème de propagation d’onde
2.3.4 Prise en compte de modèles de perturbations sur des schémas de contrôle
2.4 Synthèse
3 Synthèse de commandes
3.1 Contrôle actif
3.1.1 Un résultat qui surprend
3.1.2 Loi de commande active de Leitmann
3.2 Contrôle semi-actif
3.2.1 Contrôle semi-actif de type Leitmann
3.2.2 Prise en compte de modèles de signaux sismiques
3.2.3 Vers l’emploi d’outils temps-fréquence pour la commande optimale
3.3 Preuve du théorème 3.1
3.4 Preuve du théorème 3.2
3.5 Preuve du corollaire 3.3
3.6 Preuve du corollaire 3.4
Conclusions et Perspectives
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