Soutenance mémoire
Introduction
Chapitre 1: Les groupes et les algèbres
1.1. groupes
1.2. Sous groupe
1.3. Groupe fini, groupe infini et ordre du groupe
1.4. Groupe discret et groupe contenu
1.5. Homomorphisme et isomorphisme
1.6. Produit de groupe
1.7. Représentation de groupe
1.8. Classification des groupes de matrices régulières continues
1.9. Les groupes orthogonaux
1.10. Groupe symplectique
1.11. Le groupe de Lie
1.12. Le groupe de Lie compact
1.13. Algèbre
1.14. Base de l’algèbre
1.15. Changement de base
1.16. Algèbre de Lie
1.17. Sous-algèbre de Lie
1.18. Sous-algèbre de lie invariante (idéale)
1.19. Algèbre de Lie simple
1.20. Algèbre de Lie semi simple
1.21. Somme direct des algèbres de Lie
1.22. Constantes de structure de Lie
1.23. Opérateurs (Casimirs) invariants
1.24. Forme de Killing
1.25. Théorème de Cartan
1.26. Base de Cartan Weyl
1.27. Représentation d’une algèbre
1.28. Représentation équivalentes
1.29. Représentation irréductible
1.30. Réalisation de l’algèbre de lie
1.31. Réalisation matricielle
1.32. Réalisation différentielle
1.33. Réalisation bosonique
1.34. Réalisation fermionique
1.35. L’algèbre U(2) fermionique
1.36. L’algèbre U(2) Fermionique-bosonique
1.37. Les limites de symétrie
1.37.1 -La sous chaine (1)
1.37.2-La sous chaine (2)
1.37.3-La sous chaine (3)
1.37.4-La sous chaine (4)
Chapitre 2: Molécules diatomiques
2.1- Généralités sur les molécules diatomiques
2.2- Approximation de Born-Oppenheimer
2.3- Energie de la molécule diatomique
2.3.1- Hamiltonien d’une molécule diatomique
2.3.2- Equation électronique
2.3.3- Niveaux d’énergie de vibration approximation de Morse
2.3.4- Niveaux d’énergie de rotation
2.3.5- L’expansion de Dunham
2.4- Classification des états électroniques
2.4.1- Moment angulaire orbital L
2.4.2- Moment angulaire de spin S
2.4.3- Moment angulaire total des électrons
2.4.4- Propriétés de symétrie de la fonction d’onde électronique
2.5- Transitions Électroniques
2.6- Les règles de sélection pour les molécules diatomiques
2 .7. Traitement algébrique des spectres de rotation-vibration
2.7.1. – L’algèbre U (4)
2.7.2 – Hamiltonien général
2.7.3.- Les Chaine de sous algèbre U(4)
2.7.4 – Première chaine G≡ U(3)
2.7.5 – Deuxième chaine G≡ SO(4)
2.7.6 – Troisième chaine G ≡ SO(4)
2.8 – Les operateurs invariants
2.9- L’Hamiltonien du système
2.10 – La limite U(3) (Les molécules non-rigides )
2.11 – La limite SO(4) (Les molécules rigides) 52
Chapitre 3: Application de l’algèbre (4)⊗ (8) à l’étude des moléculese
3.1- Introduction
3.2- L’algèbre U(8)= G
3.2.1-Hamiltonien de L’algèbre U(8)
3.4-Les sous chaines
3.3-Fonction d’onde de U(8)
3.4.1-La sous chaine 1
3.4.2-la sous chaine 2
3.5-L’algèbre U (4) ⊗
3.6-Les limites de symétrie U(8)
3.6.1-La limite SO(4)
3.6.2-La limite U(3)
3.7-L’Hamiltonien
3.8-Classification électronique dans une molécule diatomique
3.8.1-Les états Σ
3.8.2-Les états 0Λ ≠ et ‘ 0τ ≠
3.9. Brisure de symétrie SO(4)
3.9.1 L’Hamiltonien général H
3.9.2. La méthode de diagonalisation de
3.10. Calcul numerique
3.11. Validation du programme
3.12. Résultats
Conclusion générale
Annexe
Bibliographie
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Représentation d’une algèbre
Une représentation d’un groupe peut etre établie par un éspace vectoriel munie d’une base quelconque dont tous les éléments sont transformés linéairement, par chaque opération de groupe en un élément du même éspace, donc chaque opération de symetrie, peut etre representée par la matrice de cette transformation linéaire, l’éspace vectoriel constitue un éspace de représentation dans lequel cette base est la base de la représentation.
On peut associé une algèbre a une base formée de l’ensemble de ses opérateurs invariants (nombres quantiques).
Représentation irréductible
On dit que la représentation R d’éspace V est irréductible s’il n’éxiste pas de sous-éspace invariant non banal par rapport aux transformations du groupe. Sinon, dans une base bien choisie, toutes les matrices de la représentation R peuvent prendre la même forme diagonale par blocs..
Généralités sur les molécules diatomiques
Le système le plus simple pour illustrer plusieurs propriétés moléculaires est le cas des molécules diatomiques. En effet, la seule coordonnée interne est la distance internucléaire R. On fait souvent l’approximation harmonique qui consiste à considérer qu’au voisinage de la distance internucléaire d’équilibre Re l’énergie potentielle externe (celle induite par le système électronique) varie de façon quadratique.
Les molécules diatomiques sont des molécules constituées uniquement de deux atomes, soit de même ou de différents éléments chimiques. Si une molécule diatomique est composée de deux atomes du même élément, comme par exemple H2 et O2, elle est dite mononucléaire, sinon, on parle de molécule hétéronucléaire, comme par exemple avec le LiH ou BeH.
Approximation de Born-Oppenheimer
La description d’une molécule est plus complexe que celle d’un atome isolé mais heureusement le problème est simplifié par le fait que les électrons ont une masse beaucoup plus petite que celle des noyaux alors que les forces électrostatiques auxquelles sont soumises toutes ces particules chargées sont du même ordre de grandeur.
Il en résulte que le mouvement des noyaux est beaucoup plus lent que celui des électrons.
On peut donc étudier le mouvement des électrons comme si les noyaux étaient fixes, formant une « configuration nucléaire ». C’est la définition de l’approximation de Born-Oppenheimer.
Lorsqu’on détermine les énergies possibles En d’un tel système, on trouve les termes électroniques. Contrairement à ce qui se passe dans un atome, ce ne sont pas des valeurs définies mais des fonctions des paramètres définissant la configuration nucléaire. On inclut généralement dans En, l’énergie électrostatique d’interaction entre les noyaux. En représente en fait l’énergie de la molécule pour une configuration de noyaux immobiles. Dans une molécule diatomique, le seul paramètre de configuration nucléaire est la distance R entre les deux noyaux. On a alors des fonctions En (R) appelées « fonctions potentiels (adiabatiques [15], [19])».
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