CINEMATIQUE DES ROBOTS EN CHAINE SIMPLE

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CINEMATIQUE DES ROBOTS EN CHAINE SIMPLE

Introduction

L‟étude de la robotique nécessite des connaissances de base en Géométrie et en cinématique. Lorsque l‟on désire commander un robot, il est nécessaire de situer ses différentes parties mobiles les unes par rapport aux autres. Pour ce faire, on associe un repère à chaque partie du robot (socle, effecteur, articulations). Le passage d‟un repère à un autre (position, orientation) s‟exprime sous la forme d‟une matrice de passage.

La géométrie, et plus particulièrement les coordonnées et transformations homogènes sont des outils indispensables et très utilisés en robotique, qui font l‟objet d‟une grande partie de ce chapitre.

La cinématique fait également partie des bases de la robotique.

Représentation des transformations rigides

Transformations rigides

On appelle transformation rigide le résultat d‟un mouvement rigide amenant le solide d‟une situation initiale à une situation finale. Une transformation rigide est représentée par une application unique qui transforme les coordonnées des points du solide S de leur position initiale vers leur position finale.

Rotations

Soit deux repères orthonormés directs R = (O, X, Y, Z) et R’’ = (O, X’, Y’, Z’) partageant la même origine O. Soit x, y, z les coordonnées des vecteurs de la base R‘ exprimés dans R ‘: (2.01) x=( + y=( + z=( +

La matrice R = (x y z) de dimension 3 × 3 est appelée matrice de rotation (ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base) du repère R vers le repère R ’. Elle peut en effet être vue comme la matrice rendant compte de la rotation d‟un solide lié à un repère orthonormé, initialement en R, et déplacé enR0 par la rotation autour de O, conformément à la figure suivante.

Rotation d‟un point appartenant à un solide

Le repère R précédent est un repère fixe cartésien orthonormé. Soient m = (mx my mz) et

m‟= (mx‟ my‟ mz‟) les coordonnées d‟un point M respectivement dans R et R ‘.

m‟=mx.x + my.y + mz.z (2.02a)

Soit encore sous forme matricielle :

m‟= (x y z).() (2.02b)

m‟=R.m

Cette relation rend compte du changement de base des coordonnées d‟un point. On peut en faire une analyse en terme de rotation si l‟on considère que M est un point d‟un solide S (en pointilles sur la figure 2.2) ayant effectué, autour de O, une rotation de matrice R. Alors m représentent les coordonnées initiales de M dans R et m‟ ses coordonnées finales, toujours dans R ‘, une fois la rotation effectuée.

Exemple

On considère la rotation d‟un point M de coordonnées initiales (2 0 1) dans R (figure 2.03). On cherche à déterminer les coordonnées du point transformé par une rotation de centre O et d‟angle θ, autour de z.

Angles de roulis, tangage et lacet (RTL) :

Ces angles, très utilises par les anglo-saxons et donc par les industriels, portent les noms de « roll », « pitch » et « yaw » en anglais. Il s‟agit en fait des rotations s‟effectuent autour d‟axes fixes. Les rotations successives sont R(x, ϒ), R (y, β) puis R (z, α) Les angles ϒ, β, et α sont respectivement désignes sous les noms d‟angles de roulis, tangage et lacet. Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axe du repère fixe R : R = Rz(α) Ry(β) Rx(ϒ)

Translation pure

Lorsque deux repères sont uniquement liés par une translation, il est possible de passer de l‟un à l‟autre en utilisant une matrice de transformation homogène de translation pure. Nous utiliserons les notations suivantes :

– Trans(a, b, c) pour indiquer une translation (a selon l‟axe x, b selon l‟axe y et c selon l‟axe z)

– Transx(a) pour indiquer une translation a selon l‟axe x

– Transy(b) pour indiquer une translation b selon l‟axe y

– Transz(c) pour indiquer une translation c selon l‟axe z

Considérons une translation T composée de :

– d‟une translation a selon l‟axe x → Trans (a, 0, 0) = Transx(a)

– d‟une translation b selon l‟axe y → Trans (0, b, 0) = Transy(b)

– d‟une translation c selon l‟axe z → Trans (0, 0, c) = Transz(c)

Matrices de transformation homogène

Une matrice de transformation homogène T est de la forme : ( , () (2.08)

Avec : R matrice (3×3) des rotations donnant l‟orientation du solide dans un repère fixe R P matrices (3× 1) des translations donnant la position du solide dans un repère fixe R

Soient m = (mx my mz) et m‟ = (mx‟ my‟ mz‟) les coordonnées d‟un point M respectivement dans R et R ‘. On peut alors exprimer la transformation rigide par la relation matricielle : ( ) ( )()

La matrice T, dite matrice de passage homogène, d´écrit ainsi le passage du repère R au repère R ‘ et donc la transformation rigide (P, R).

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE ET PRESENTATION DU PROBLEME
CHAPITRE 1 DESCRIPTION ET CONCEPTION DES CHAINES CINEMATIQUES
1.1 Introduction
1.2 Topologie et structure des liaisons mécaniques
Les robots sont composés de mécanisme simple et reliés par des joints pour former des structure
1.3 Mobilité
1.3.1 Cas générale
1.3.2 Cas des mouvements plans et sphériques
1.4 Concept de base
1.4.1 Structures immobile
1.4.2 Structures mobile
1.4.3 Proposition et solution
1.4.3.1 Relation de connectivité
1.4.3.2 Relation de mobilité
1.5 Equation logique
1.5.1 Deux structures identiques
1.5.2 Deux MSGs differents
1.5.3 Un MSG et une structure fermé de type Gk, l
1.5.4 Règle d’association:
1.5.5 Génération d’une chaine à un degré de mobilité (M=1)
1.5.5.1 Niveau 1 (I=0)
1.5.5.2 Niveau 2 (I=1)
1.5.5.3 Niveau 3 (I=2)
1.5.6 Génération d’une chaine à deux degré de mobilité (M=2)
1.5.6.1 Niveau 1 (I=0)
1.5.6.2 Niveau 2 (I=1)
1.5.6.3 Niveau 3 (I=2)
1.5.7 Génération d’une chaine à deux degré de mobilité (M=3)
1.5.7.1 Niveau 1 (I=0)
1.5.7.2 Niveau 2 (I=1)
1.5.7.3 Niveau 3 (I=2)
1.6 Description de structure plane
1.7 Application à la description des structures principales de robots industriels
1.7.1 Robot avec des structures ouvertes
1.7.2 Robot avec des structures fermées
1.7.2.1 Robots à un dégrée de mobilité et I=0
1.7.2.2 Robots à deux dégrées de mobilités et I=0
1.7.2.3 Robots à deux dégrées de mobilités et I=1
1.7.2.4 Robots à un dégrée de mobilité et I=2
1.7.2.5 Robots à deux dégrés de mobilités et I=2
1.8 Conclusion
CHAPITRE 2 CINEMATIQUE DES ROBOTS EN CHAINE SIMPLE
2.1 Introduction
2.2 Représentation des transformations rigides
2.2.1 Transformations rigides
2.2.2 Rotations
2.2.2.1 Rotation d’un point appartenant à un solide
2.2.2.2 Exemple
2.2.2.3 Angles de roulis, tangage et lacet (RTL) :
2.2.2.4 La transformation inverse
2.2.3 Translation pure
2.2.4 Matrices de transformation homogène
2.3 Description des bras manipulateurs
2.3.1 Modèle Géométrique Direct (MGD) et Paramètres de Denavit-HartenbergModifiés(DHM)
2.3.1.1 Modèle Géométrique Direct (MGD)
2.3.1.2 Exemple:
2.3.2 Modèle géométrique inverse(MGI)
2.3.2.1 Approche géométrique
2.3.2.2 Approche algébrique ou méthode de Paul
2.3.3 Quelques inconvénients pour la solution du problème inverse de cinématique
2.4 Conclusion
CHAPITRE 3 CLASSIFICATION DES ROBOTS INDUSTRIELS SIX AXES
3.1 Introduction
3.2 Matrice exponentiel
3.3 Classification des robots 6 axes par rapport au MGD
3.3.1 Groupe principale
3.3.1.1 Equation
3.3.1.2 Exponential Rotation Matrix Simplification Tools (ERMST)
3.3.2 Sous-groupe
3.3.2.1 Cas du groupe 1
3.3.2.2 Cas du groupe 2
3.3.2.3 Cas du groupe 3
3.3.2.4 Cas du groupe 4
3.3.2.5 Cas du groupe 5
3.3.2.6 Cas du groupe 6
3.3.2.7 Cas du groupe 7
3.3.2.8 Cas du groupe 8
3.3.2.9 Cas du groupe 9
3.4 Classification des robots 6 axes par rapport au MGI
3.4.1 Solution trigonométrique pour résolution des problèmes relatifs au MGI
3.4.2 MGI des sous-groupes 1.1
3.4.3 MGI des sous-groupes 1.7
3.4.4 MGI des sous-groupes 4.4
3.5 Conclusion
CHAPITRE 4 PILOTAGE D’UN ROBOT 5 AXES
4.1 Introduction
4.2 MGD du BHS Robot R5.2
4.3 MGD du BHS Robot R5.2 modifié
4.3.1 DHM du BHS Robot R5.2 modifié
4.3.2 Matrice de transformation homogène
4.3.3 matrice exponentielle
4.3.4 Représentation vectoriel
4.4 MGI du BHS Robot R52 modifié
4.5 Simulation
4.5.1 Interface logiciel
4.5.2 Zone de visualisation
4.5.3 Position et orientation
4.5.4 Zone de Contrôle
4.5.4.1 Manual control
4.5.4.2 GoTo
4.6 Robotique et la Télécommunication
4.7 Conclusion
CONCLUSION GENERALE
ANNEXE 1
ANNEXE 2
BIBLIOGRAPHIE
WEBOGRAPHIE