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Notion générale sur l’économie
Définitions
Étymologiquement l’économie se définit comme étant l’ensemble des règles de conduites de la maison ou l’administration du patrimoine de la maison, c’est aussi une science de l’administration de la vie économique privée. En fait, son origine vient du mot grec « oïkonomia » qui est la combinaison du mot « oïkos » qui signifie maison et du mot « nomos » qui signifie loi ou règle, d’où l’économie c’est l’art de gérer le patrimoine familial .[01]
Cette définition évolue au cours du temps car aux 16ième siècle jusqu’à la fin du 18ième siècle, les économistes de l’époque définit l’économie comme étant « la gestion de la cité ou bien l’administration du patrimoine de la collectivité ».[02]
A partir de 1803, Jean Baptiste SAY formule une nouvelle définition de l’éco-nomie en précisant que l’économie est une science qui étudie la production, la répartition, la distribution et la consommation des richesses.[03]
En outre, la conception moderne définit la science économique comme étant une science de l’administration des ressources rares , comme une science qui étudie les formes de comportements humains dans l’aménagement de ces ressources rares.
On peut déduire de ces différentes définitions que l’économie a pour rôle d’ana-lyser et d’expliquer les modalités selon lesquelles un individu ou une société affecte les moyens limités à la satisfaction de besoins nombreux et illimités.
Objet de l’économie
A partir de ces différentes définitions de l’économie, on peut dire que l’économie s’intéresse aux individus ou aux groupes d’individus que l’on qualifie d’agents économiques. En fait, les agents économiques se définissent en fonction de leur autonomie de décision.
En économie, on distingue cinq types d’agents économiques qui sont classés en trois groupes : groupe producteurs , groupe consommateurs et groupe « reste du monde ».
Groupe producteurs
Les producteurs produisent des biens et services. Ce sont en général les entre-prises, les investisseurs et les institutions financières. Ils achètent de facteurs de productions et produisent et vendent les biens et services. Ils ont pour objectif de maximiser leurs gains ou leurs profits en minimisant les coûts de productions.
Les producteurs sont classés selon leur caractéristique de leur produit, dans ce cas on distingue : les producteurs financiers et les producteurs non financiers. Ils sont aussi classés suivant leurs bien et services et on distingue les producteurs mar-chands et les producteurs non marchands.
Le terme financier signifie que la production ainsi considérée concerne directement l’argent. Les biens matériels ne peuvent pas être financiers, alors que les services peuvent être financiers ou non financiers. Les services financiers sont généralement vendus (marchand) alors que les services financiers non marchands n’existent réel-lement pas mais le service de la sécurité nationale peut être qualifié en services financiers non marchands.
Avec le terme marchand on peut designer la capacité pour un bien ou un service de faire l’objet d’une transaction sur le marché. Notons que tous les biens matériels sont marchands mais certains services sont marchands et d’autres services non marchands.
Les entreprises sont des agents économiques dont leur rôle principal est la production des biens et services marchands. Ce secteur regroupe d’une part, les producteurs des biens et services non financiers et d’autre part les producteurs des biens et services financiers.
Notons aussi qu’il a les entreprises d’assurances dont leur rôle est la transfor-mation des risques individuels en risques collectifs. C’est-à-dire elles supportent les risques des personnes qui souscrivent un contrat d’assurance.
Avec le caractère financiers des producteurs, les institutions financières comme les banques et les établissements de crédits sont aussi des producteurs dont la principale fonction est de financer, c’est-à-dire collecter, transformer et repartir l’argent ou la monnaie entre les agents économiques.
Comme les produits sont destinées à la consommation, alors on se demande qui sont les consommateurs ce qui nous amène à voir le groupe de consommateurs.
Groupe consommateurs
Ce groupe représente essentiellement les ménages dont leur rôle principal est la consommation des biens et services produits par les producteurs. Les ménages offrent des facteurs de production dont la rémunération constitue leur principal revenu.
D’une manière générale, les ménages désignent tout groupe de personnes qui dé-cident ses dépenses. Cette notion recouvre à la fois les individus et les groupes d’individus qui constituent une unité, dans ce cas les ménages regroupent donc les agents homogènes. On peut remarquer que la fonction principale du ménage est de consommer et éventuellement à produire dans le cas d’une entreprise individuelle. Les consommateurs ont pour but de maximiser leur satisfaction en optimisant leur consommation.
Groupe « reste du monde »
Il regroupe les agents économiques qui font avec un pays considéré des échanges. Lorsque les biens et services d’un pays sont vendus à l’étranger on parle de l’ex-portation et lorsque les biens et services consommés par les ménages d’un pays n’ont pas produit localement, il s’agit des produits importés, on parle à ce propos de l’importation.
Ainsi, pour régulariser les relations entre ces trois groupes d’agents, il existe un autre agent qui peut assurer en même temps les fonctions de ces différents agents. Cet agent ne autre que l’État ou l’administration publique. Cette dernière catégorie d’agents regroupe l’État, les collectivités locales, les organismes de sécurité sociale.
D’une manière générale, l’État assurent les fonctions suivantes :[02]
F Fonction de redistribution, c’est-à-dire l’État doit rendre une partie de leur bien et services sous forme de rémunération (salaires des fonctionnaires) et sous formes de revenus de répartitions (remboursements des frais de sécurité sociale, subventions…)
F Fonctions d’allocations optimales des ressources, c’est-à-dire l’État doit al-louer ou prêter une partie de ses ressources aux agents économiques.
F Fonction de stabilisation macroéconomique.
Notons qu’il y a un échange réciproque entre les agents économiques. L’en-semble de ces échanges constituent ce qu’on appelle circuit économique. C’est sur ce domaine que se pose le problème économique que nous verrons ci-après.
Le problème économique
Le premier problème économique réside sur l’opposition et la tension entre besoin illimité et moyen limité. En fait, face à la rareté des ressources les agents économiques rencontrent des problèmes car leur moyen est limité alors que chaque agent optimise leur propre gain en présence des besoins illimités.
En économie, les ressources rares sont aussi appelés facteur de production qui sont : la terre, le travail et le capital.
Avec la terre, l’économie utilise toutes ressources naturelles comme les ressources du sol et du sous-sol. Le travail étant le labeur humain et le capital constitue à la fois un stock de biens de production comme les machines, des biens intermédiaires destinés à être transformé en d’autres biens et les biens immatériels comme la compétence technique. La quantité du capital dépend des ressources que les agents producteurs désirent allouer à l’investissement.
Le second problème rencontré par les agents économiques est la recherche de l’efficacité, car avec la rareté il y a une lutte acharnée dans la recherche de l’ef-ficacité. A cet effet, l’économie est la science des choix. Elle étudie la façon dont s’effectuent les choix des agents économiques. Ainsi, chaque agent doit faire un choix optimal, c’est-à-dire les agents économiques font des calculs et utilisent les méthodes mathématiques pour obtenir le maximum de satisfaction pour un mi-nimum d’effort ou le minimum de ressource utilisée pourvu que les agents écono-miques sont rationnels.
Face à ces problèmes que se créent l’analyse économique.
Analyse économique
L’analyse économique sert à augmenter les possibilités des choix en permettant d’accroitre les biens produits. L’économie cherche donc la croissance économique tout en examinant les causes d’un affaiblissement ou d’une disparition d’une crois-sance. Dans ce cas, la science économique étudie les comportements de chaque agent économique, c’est-à-dire le comportement humaine . D’où la science éco-nomique est une science sociale. Par conséquent, elle ne se construit pas sur des expériences productibles car les économistes construisent des représentations de la réalité dont la validité est difficile à contester.[02]
Ainsi, pour mener bien l’analyse économique, on doit distinguer l’analyse ma-croéconomique à l’analyse macroéconomique.
L’analyse microéconomique étudie le comportement individuel des agents éco-nomiques. Cette analyse étudie également les décisions des unités économiques individuelles fondamentales. Quant à l’analyse macroéconomique, elle concerne l’étude d’ensemble des agrégats économiques, c’est-à-dire les ensembles statistiques ou les grandeurs écono-miques au niveau de la nation ou d’un pays.
De plus, on doit aussi distinguer l’analyse statique et l’analyse dynamique. En effet, l’analyse est statique lorsque les relations entre les variables sont étudiées à l’intérieur d’une période, c’est-à-dire en dehors du temps. En revanche l’analyse est dynamique lorsqu’elle prend en compte le temps ou bien elle se rapporte à plusieurs périodes continues.
Dans la plupart du temps à partir de l’analyse économique, les économistes sont amenés à formuler des recommandations en matière de politique économique pour améliorer l’organisation de la société humaine voire la vie économique. D’où la nécessité d’une méthode adéquate.
Méthodes utilisées
Concrètement l’économie met en évidence la relation entre différentes variables comme le prix et la demande, la consommation et le revenu, le taux d’intérêt et l’investissement…
L’économie cherche à savoir les quelles de ces variables sont les causes et les conséquences pour les autres variables.
En général, pour compléter l’analyse économique, l’économie adopte soit la démarche inductive soit la démarche déductive.
L’induction implique une démarche de l’esprit qui remonte des faits à la loi et aux principes. Par contre la déduction exige une démarche intellectuelle qui parle des principes ou des lois pour établir des conséquences logiquement nécessaires, ce dernier raisonnement est appelé également raisonnement hypothéticodéductive.
Quoi qu’il en soit ces démarches font appel à des méthodes et des théories mathématiques comme la théorie de l’équilibre général, la théorie des jeux, la théorie des graphes, la théorie de contrôle … C’est sur la théorie de contrôle que notre étude s’intéresse, alors on se demande pourquoi cette théorie s’intéresse à l’économie et quelles peuvent être les méthodes utilisées par cette théorie ?
La description générale de la théorie de contrôle nous permettra de répondre à ces questions. C’est qui nous amène à voir une vue générale sur la théorie de contrôle.
Généralités sur la théorie de contrôle
Définitions
Théorie du contrôle (appelé aussi théorie des commandes) : C’est une théorie qui analyse des systèmes commandés, c’est-à-dire des systèmes sur lesquels on peut agir au moyen d’une commande ou d’un contrôle permettant d’amener un état initial vers un état final.
Contrôles : Ce sont des fonctions ou des paramètres souvent soumis à des contraintes.
Système de contrôle : C’est un système dynamique qui dépend d’un para-mètre dynamique appelé contrôle.
Contrôlabilité : On dit qu’un système de contrôle est contrôlable si on peut aller d’un état initial bien déterminé vers un état final prédéfini.
Contrôle optimal : C’est un système contrôlable avec minimisation de certains critères.
Contrôlabilité d’un système de contrôle
Définition
Un système est dit contrôlable lorsqu’on peut passer d’un état initial bien déterminé à un état final bien décrit en avance.
Mais le problème est de savoir si la cible est atteignable ou non, c’est-à-dire accessible ou non ? Ce qui nécessite la description d’un ensemble accessible.
Ensemble accessible
Définition 2.3. Soit Acc(x0, T ) = {xα(T )/α ∈ Rn } l’ensemble des solutions accessibles.
En fait, Acc(x0, T ) est l’ensemble des extrémités des solutions du système contrôlé au temps T en variant le contrôle α.
Théorème 2.4. Considérons le système de contrôle pour tout t ∈ I.
x˙(t) = f(x(t), α(t)) ∀t ∈ I(2.3)
x(0) = x0
Où f est la fonction de classe C1 sur Rn et α est le contrôle appartenant à l’ensemble mesurable à valeurs dans un compact Ω appartenant à Rn .
Théoreme [04]
♣ Il existe un réel positif β telle que toute trajectoire associée est uniformément bornée par β sur I = [0, T ],c’est-à-dire il existe β > 0 / ∀ α ∈ I et ∀ t ∈ I on a ||xα (t) || ≤ β.
♣ Pour tout (t, x) ,l’ensemble des vecteurs vitesses V (t, x) = {(t, x, α)/α ∈ I est convexe.
Bref, l’ensemble Acc(x0, T ) est un compact et varie continûment en t sur [0, T ].
Démonstration :
Remarquons tout d’abord que puisque Ω est compact, alors V (t, x) est égale-ment compact. Montrons la compacité de l’ensemble accessible Acc(x0, t) .
Pour cela, on va montrer que toute suite (xn) de points de Acc(x0, t) admet une sous suite convergente. Pour tout n, soit αn un contrôle reliant x0 à xn en temps t et soit xn (•) la trajectoire correspondante.
Donc on a :
Z t (2.4)
xn = xn(t) = x0 + f(s, xn(s), αn(s))ds
Posons gn(s) = f(s, xn(s), αn(s)) avec gn(.) est bornée et converge vers une fonction g(.). Alors, pour tout τ ∈[0,t] on a :
Z τ x(τ) = x0 + g(s)ds (2.5)
Ce qui entraine la construction d’une fonction x(.) absolument continue sur [0,t].
De plus, on a ∀ s ∈[0,t]
lim xn(s) = x (s) (2.6) n→+∞
C’est-à-dire il y a convergence simplement vers x(.) de xn(.).
Ainsi, la trajectoire x(.) est associée sur [0, t] au contrôle α à valeurs dans Ω, et x(t) est la limite des points xn, ce qui montre la compacité de l’ensemble accessible Acc(x0, t) .
Montrons enfin la continuité par rapport à t de cet ensemble accessible. Pour cela soient t1 et t2, deux réels tels que 0 < t1 < t2 < T , et x1 un point de Acc(x0, t1) et x2 un point de Acc(x0, t2). Et soit x(.) la trajectoire correspondante associée au contrôle α à valeurs dans Ω.
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Table des matières
1 Champ d’application de la théorie de contrôle
1.1 Généralités
1.2 Notion générale sur l’économie
1.2.1 Définitions
1.2.2 Objet de l’économie
1.2.3 Le problème économique
1.2.4 Analyse économique
1.2.5 Méthodes utilisées
2 Généralités sur la théorie de contrôle
2.1 Définitions
2.2 Problème de base
2.3 Contrôlabilité d’un système de contrôle
2.3.1 Définition
2.3.2 Ensemble accessible
2.4 Stabilisation d’un système de contrôle
2.4.1 Stabilité d’un système de contrôle linéaire
2.4.2 Stabilité d’un système de contrôle non linéaire
2.5 Bifurcation d’un système de contrôle
2.5.1 Définitions
2.5.2 Bifurcation et stabilité
2.5.3 Bifurcations périodiques
2.5.4 Relation entre bifurcation et un système de contrôle
3 Principe de Maximum de Pontryagin
3.1 Principe du maximum faible
3.2 Principe de maximum fort ou Principe de maximum de Pontryagin
3.2.1 Énoncé général
3.2.2 Principe de maximum de Pontryagin à un problème de temps fixe
3.2.3 Principe de maximum où il y a une condition de transversalité
3.2.4 Principe de maximum où il y a des contraintes d’état
3.3 Les étapes de résolution d’un problème de système de contrôle
4 Application de la théorie de contrôle en économie (Étude des cas)
4.1 Application sur le Commerce d’un produit
4.2 Application au contrôle sur l’inventaire des articles
4.3 Application au contrôle optimale de la concurrence sur un marché
4.4 Application à l’investissement et à la consommation
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