Cartographie de la température granulaire

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Forces sur un projectile

Bien que la force exercée sur une sphère se déplaçant dans un uide newtonien sous son propre poids soit bien connu depuis des années de manière théorique et de manière expérimentale [39], ce problème reste encore incompris lorsque l’on remplace le uide par un milieu granulaire. Depuis le 18ème siècle, la force exercée sur un projectile dans un milieu granulaire a fait l’objet de nombreuses études balistiques, ces études ayant été commandées à des ns militaires [73]. Dès cette période, on essayait de mettre en place une équation pour modéliser la pénétration d’un projectile dans un milieu granulaire. Dans les années 1950, toujours pour des études militaires, Allen et al. tiraient des balles de mitrailleuse dans le sable [3]. Ils modélisaient la force exercée sur un projectile de masse m par la somme d’une force constante et d’une force proportionnelle au carré la vitesse du projectile vp 2 selon le modèle de Poncelet [67], − dvp dt = βvp 2 + γ, (1.9) 2 correspond à une force de traînée similaire aux forces de traînée que l’on observe en aérodynamique et γ correspond à une force nécessaire pour tirer un objet dans le sable à des vitesses faibles.
Cependant, Allen et al. décrivaient l’existence de deux régimes. Tout d’abord, il y a un régime haute
vitesse, où vp est supérieure à une vitesse critique vc (vp > vc), et pour lequel γ = 0. Puis, il y a un régime à basse vitesse (vp < vc), pour lequel γ = cste ̸= 0.
Ensuite, en 2004, dans un milieu granulaire lâche (compacité φ =41%), Lohse et al. ont étudié les impacts à vitesse d’impact nulle en lâchant une bille à la surface d’un milieu granulaire [55]. Pour décrire la pénétration zp de la bille dans le milieu granulaire, ils ont modélisé la force exercée par le milieu granulaire par une simple force de rappel kzp en écrivant l’équation (m + mA) d2zp dt2 = mg − kzp, (1.10).

Force sur l’objet

Dès 1999, des études se sont concentrées sur la force ressentie par un objet xe dans un milieu granulaire mobile. Tout d’abord, Albert et al. de l’équipe de Schier, ont plongé une barre dans un tambour tournant vertical contenant un milieu granulaire pour étudier l’évolution de la force de traînée sur la barre [2, 1]. La gure 1.21a présente des schémas du dispositif utilisé. L’équipe a mesuré la force de traînée sur des objets de formes variables, et a montré que la vitesse de déplacement du milieu granulaire n’avait pas d’inuence sur la force de traînée mesurée [2]. Puis, la force mesurée sur une sphère de diamètre d a été caractérisée (Fig. 1.21b et 1.21c). Sur la gure 1.21c, un ajustement en loi puissance fait apparaître que la force mesurée varie comme d2. Sur la gure 1.21b, on constate que la force varie comme l’enfoncement z de l’objet de manière quasi linéaire. L’insert de la gure 1.21b montre que la rugosité de l’objet n’a pas d’inuence sur la force mesurée. Ensuite, Albert et al. se sont intéressés à la force mesurée sur un cylindre (Fig. 1.21d). On observe une augmentation linéaire de la force mesurée avec la longueur b du cylindre. L’ensemble de cette étude suggère que la force exercée sur un objet dans un milieu granulaire est proportionnelle à la surface (ou la surface projetée) de cet objet.
En 2003, Chehata et al. ont examiné la force de traînée d’un cylindre immobile dans un milieu granulaire en chute dans un canal dans le dispositif déjà décrit au paragraphe précédent [23]. Ils ont constaté que cette force est indépendante de la vitesse des grains mais aussi que cette force de traînée augmente avec le diamètre du cylindre d et diminue avec la taille des grains dg. En 2004, Stone et al. ont mesuré la force requise pour pousser verticalement un disque horizontal dans un milieu granulaire [81, 80] (Fig. 1.22a). Ils ont observé que la force nécessaire varie linéairement avec la profondeur de pénétration zp puis l’évolution devient exponentielle lorsque l’on s’approche du fond du recipient contenant le milieu granulaire (Fig. 1.22b). Ils décrivent la partie linéaire comme une force hydrostatique et ils constatent aussi une indépendance de la vitesse de pénétration (variant de 0.0625 mm.s−1 à 5 mm.s−1) sur la force mesurée.
En 2008, Costantino et al., de l’équipe de Shier, avec le même dispositif que Stone [81, 80] ont cherché à caractériser l’inuence du diamètre d du disque sur la force minimale Fini nécessaire le mettre en mouvement (Fig. 1.22a) [27]. Ils ont modélisé cette force sous la forme F = Ad + Bd2, (1.15).

Mesures de champ de vitesse et température granulaire

Dans les expériences 2D d’impact et de vitesse constante où la visualisation est possible, nous avons obtenu la vitesse instantanée des grains par une technique de corrélation d’images (PIV) avec le même lm qui a permis d’obtenir la vitesse du projectile. La PIV (Particle Image Velocimetry) est une méthode de visualisation non intrusive permettant de déterminer le champ de vecteur vitesse d’un écoulement. Cette cylindre pour traitement PIV et mesure du champ de vitesse des grains. méthode calcule un champ de vecteur vitesse à partir de la diérenciation de deux images successives d’un lm constituant un écoulement. Une image étant constituée d’objets caractéristiques de taille nie (traceurs), l’algorithme de PIV va déterminer le déplacement local de ces objets d’un instant à l’autre.
Dans le cas des milieux granulaires, les grains font oce de traceurs. Contrairement au uide classique, il n’est pas nécessaire d’utiliser une nappe laser mais cela nécessite un éclairage susant des grains.
Contrairement à la PIV classique dans un uide, on utilise ici les grains eux-mêmes comme traceurs.
Pour avoir susamment de lumière, deux lampes placées frontalement au dessus de la caméra éclairent le milieu granulaire par le devant. Ensuite, la partie supérieure des images du lm est supprimée pour ne pas avoir le reet des lampes dans l’image. An d’améliorer le contraste et pouvoir isoler les grains, un fond noir est placé derrière le dispositif expérimental. An d’avoir uniquement la vitesse des grains nous supprimons articiellement le projectile dans les lms : le projectile étant initialement peint en noir et repéré uniquement par sa pastille blanche, on remplace cette pastille par un carré noir (Fig. 2.12), rendant le projectile invisible lors du calcul PIV.
Le logiciel de PIV DAVIS que nous avons utilisé fournit la vitesse des grains au cours du temps (Fig. 2.13). Plus précisément le logiciel utilise deux images (deux matrices) de taille N × M pixels et estime le déplacement entre deux sous-divisions par corrélation. Il produit ensuite deux matrices de taille N∗ × M∗, une pour la composante verticale et une pour la composante horizontale de la vitesse. Les dimensions N∗ et M∗ dépendent de la taille des boîtes sur lesquelles sont calculées les corrélations. Au nal, ce logiciel fournit un champ de vitesse cartésien avec une résolution spatiale qui dépend du calcul eectué.
On utilise ensuite le logiciel IGOR Pro pour extraire des prols de vitesses selon n’importe quelle ligne de l’espace. Ainsi le champ de vitesse des grains v se décompose dans un espace cartésien sous la forme v(x, z, t) = vx(x, z, t)ex +vz(x, z, t)ez (Fig. 2.14). Un exemple de traitement est illustré sur la gure 2.14 (cas 2D à vitesse imposée). La ligne rouge de la gure 2.14a indique la ligne le long de laquelle les prols de vitesse vx et vz sont extraits tandis que la tâche noire représente le projectile (Fig. 2.14b et 2.14c). On constate que les points correspondant au projectile, dont la vitesse est nulle par construction du montage (tandis que la vitesse des grains est non nulle) correspondent aux vitesses vx = 0 et vz = 0. De plus, on constate que la composante de vitesse vz est paire et que sa valeur décroît lorsqu’on s’éloigne du projectile tandis que la composante de vitesse vx est impaire et décroît quand on s’éloigne du projectile.

Dispositifs numériques

En parallèle des dispositifs expérimentaux décrits précédemment, nous avons utilisé deux codes numériques. Le premier code qui simule l’impact d’un projectile en milieu granulaire, est un code de dynamique moléculaire à deux dimensions, où le milieu granulaire est modélisé comme un ensemble de particules discrètes qui interagissent les unes avec les autres selon des lois de collision. Dans le second code, nous avons modélisé le milieu granulaire comme un milieu continu et mis alors en place la résolution des équations de la mécanique des milieux continus à deux dimensions, pour simuler le déplacement de cylindre à vitesse constante. Ces deux codes numériques ont été développés en collaboration avec Jérôme Crassous de l’Institut de Physique de Rennes et sont présentés ci-dessous.

Description du code de dynamique moléculaire

Étant donné le caractère discret du milieu granulaire impacté, il apparaît naturel d’utiliser une mé- thode discrète pour simuler l’impact d’un projectile dans un milieu granulaire. La méthode discrète utilisée ici est de type dynamique moléculaire [19]. On considère ici que les particules sont des sphères molles, qui se déforment élastiquement sous les actions mécaniques. Sous ces actions mécaniques, la surface de contact entre les particules évolue : une loi de comportement régulière permet de lier la déformation des particules à l’action mécanique subie. Nous avons choisi d’adopter une méthode de dynamique moléculaire pour sa simplicité de mise en ÷uvre. La particularité de cette méthode est qu’elle ne fait pas intervenir le coecient de friction microscopique f entre les grains. Il reste bien sûr une friction macroscopique qui peut être vue comme la gêne stérique entre grains.

Champ de vitesse dans le milieu granulaire

Le référentiel de travail est ici le référentiel du cylindre. Dans ce référentiel, le champ de vitesse des grains s’écrit dans un repère cartésien v(x, z, t) = vx(x, z, t)ex + vz(x, z, t)ez, (3.1).
où vx est la composante horizontale du vecteur vitesse v et vz la composante verticale (Fig. 3.1). Ce champ dépend a priori de l’espace (x,z) et du temps t.

Stationnarité du champ de vitesse

Les gures 3.6a et 3.6c représentent quatre prols de vitesse vx et vz extrait selon une ligne horizontale (z = −15 mm) à diérents instants séparés de 0.6 s. Si l’allure générale est la même on observe des variations d’un prol à l’autre pouvant aller jusqu’à 3 mm.s−1. Lorsque l’on moyenne sur une période de temps plus longue (Fig. 3.6b et 3.6d), on constate que les prols varient autour d’une moyenne temporelle (ligne continue sur les gures 3.6b et 3.6d) avec une dispersion de l’ordre de 1 mm.s−1. En faisant des moyennes glissantes temporellement tous les 20 prols, on constate que les moyennes sont égales. On en déduit que l’écoulement est stationnaire. On considérera donc que les prols sont indépendants du temps et on utilisera par la suite une moyenne temporelle de ces prols sur au moins 100 prols. La stationnarité de l’écoulement n’était pas forcément attendue puisque nous avons précisé plus haut (section 3.1) que la force ressentie par le cylindre augmentait avec la profondeur de pénétration zp et donc avec le temps. Le système possédant une géométrie cylindrique, il est logique que la composante vz du champ de vitesse soit paire et que la composante vx soit impaire. On voit aussi que le champ de vitesse tend vers le vecteur V0ez lorsqu’on s’éloigne du cylindre. La composante vx possède ses maxima près du projectile : vx est nulle à l’aplomb du cylindre, augmente, passe par un maximum puis décroît pour tendre vers 0 à grande distance du cylindre. La composante vz possède un minimum à l’aplomb du cylindre. À partir de ce minimum la fonction croît pour atteindre la valeur V0 loin du cylindre.

Table des matières

1 État de l’art 
1.1 Impacts sur les milieux granulaires
1.1.1 Éjections de grains
1.1.2 Morphologie des cratères d’impact
1.1.3 Profondeur de pénétration δ
1.1.4 Temps d’arrêt du projectile ts
1.1.5 Forces sur un projectile
1.2 Mouvement de grains autour d’un objet
1.2.1 Cinématique du milieu granulaire
1.2.2 Force sur l’objet
1.3 Modélisation d’un milieu granulaire
1.3.1 Théorie cinétique
1.3.2 Théorie du μ(I)
2 Dispositifs expérimentaux et numériques 
2.1 Dispositifs expérimentaux
2.1.1 Description des montages
2.1.2 Mesures de trajectoires
2.1.3 Mesures de champ de vitesse et température granulaire
2.1.4 Mesures de forces
2.2 Dispositifs numériques
2.2.1 Description du code de dynamique moléculaire
2.2.2 Code de résolution des équations de conservation
2.3 Bilan
3 Vitesse imposée 
3.1 Mesure de forces
3.2 Champ de vitesse dans le milieu granulaire
3.2.1 Stationnarité du champ de vitesse
3.2.2 Dépendance radiale et azimutale de la vitesse
3.2.3 Champ de température granulaire T
3.2.4 Inuence de la vitesse de pénétration V0
3.2.5 Inuence du diamètre du cylindre d
3.2.6 Inuence du diamètre des grains dg
3.3 Bilan et Problématique
4 Théorie Hydrogranulaire 
4.1 Modélisation de l’écoulement
4.2 Analyse des résultats
4.2.1 Champ de vitesse
4.2.2 Cartographie de la température granulaire
4.2.3 Cartographie de la pression
4.2.4 Cartographie de la viscosité
4.3 Inuence des paramètres
4.3.1 Inuence de la vitesse
4.3.2 Inuence de la pression
4.3.3 Inuence de la taille du disque
4.3.4 Inuence de la taille des grains
4.4 Nombre de Reynolds Granulaire
4.5 Force de traînée
4.6 Bilan
5 Impact 
5.1 Calcul du nombre Reynolds instantané
5.2 Champ de vitesse des grains
5.3 Étude des prols de vitesses
5.3.1 Inuence de la vitesse d’impact Vi
5.3.2 Inuence de la taille du projectile d
5.3.3 Inuence de la taille des grains dg
5.4 Étude numérique 2D
5.4.1 Force exercée par le milieu granulaire sur le projectile
5.4.2 Temps d’arrêt du projectile
5.5 Profondeur de pénétration et temps d’arrêt 3D
5.5.1 Impact en milieu inni
5.5.2 Inuence du connement latéral
5.6 Bilan
Conclusion Générale 
Annexe A Modèle Géométrique 
Bibliographie

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