Caractéristique d’un anneau

LES ANNEAUX

Définition . Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes, une notée additivement et l’autre multiplicativement telles que :

i) (A,+) est un groupe commutatif;c’est à dire que la loi de composition interne + est associative, admet un élément neutre, et tout élément est symétrisable et commutatif dans A.

ii) × est une loi de composition interne associative dans A.

iii) × est distributive par rapport à la loi +.

Exemple . (Z,+, .), (Q,+, .), (R,+, .), (C,+, .) sont des anneaux commutatifs. Soit A un anneau,on a les proprietés suivantes :
a) Pour tout a ∈ A, 0a = 0 (on dit que 0 est absorbant pour la multiplication)
b) si e ∈ A est un élément tel que pour tout a ∈ A, ea = a, alors e = 1 (unicité de l’élément neutre pour la multiplication)
c) pour tout a ∈ A, on a (−1)a =−a.
d) Si 1=0 dans A, alors A ={0}, on dit que A est l’anneau nul.
e) pour tout a ∈ A et pour tous entiers m,n ≥0,
on a am+n = aman.

f) La formule du binome est valide : si a et b ∈ A et n ≥0, on a (a+b)n =Pn kn kakbn−k Définition. Soit A un anneau et soit a un élément de A. On dit que a est inversible, ou que a est unité de A, s’il existe b ∈ A tel que ab = 1. Un tel b est nécessairement unique, c’est l’inverse de a, on le note a−1. On dit que a est diviseur de zéro s’il existe b ∈ A, b 6= 0 tel que ab = 0. On dit que a est simplifiable s’il n’est pas diviseur de zéro, c’est-à-dire si la relation ab =0 avec b ∈ A implique b =0. On dit enfin que a est nilpotent s’il existe n ≥1 tel que an =0. Proposition. L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau A est un groupe pour la multiplication, on le note U(A), c’est le groupe des unités de A. Démonstration. –Soit a et b deux éléments de A, d’inverses a−1 et b−1. Alors (ab)(a−1b−1) = (aa−1)(bb−1) = 1, si bien que ab est inversible d’inverse a−1b−1.La multiplication de A définit ainsi une loi interne surU(A).De plus, 1 est inversible et est un élément neutre pour cette loi. Enfin, si a ∈ U(A), son inverse pour cette loi n’est autre que a−1. Ainsi, U(A) est un groupe pour la multiplication. Définition. Soit A un anneau non nul. On dit que A est intègre si : ∀x,y ∈ A, xy =0=⇒ x =0 ou y =0. On dit que A est réduit si 0 est le seul élément nilpotent de A. On dit que A est un corps si tout élément non nul de A est inversible. Définition. On dit que deux éléments a et b d’un anneau A sont associés s’il existe un élément inversible u ∈ U(A) tel que a = bu. Proposition. Soit A un anneau fini intègre. Alors, A est un corps. Démonstration. –Soit a un élément non nul de A. On doit prouver que a est inversible dans A . soit φ : A → A l’application telle que φ(b) = ab. Alors φ est injective : si φ(b)= φ(b0), on a ab = ab0, donc a(b−b0)=0. Comme A est intègre est a 6= 0,(b−b0) = 0. Par suite, le cardinal de φ(A) est égale au cardinal de A. Comme φ(A) est une partie de A, φ(A)= A. Ainsi, φ est surjective et il existe b ∈ A tel que ab =1 .

Table des matières

1 Anneaux, anneaux intègres
1.1 Anneaux
1.2 Sous-anneaux
1.3 Anneaux intègres
1.4 Caractéristique d’un anneau
1.5 Morphismes d’anneaux
2 Idéaux
2.1 Idéal
2.2 Intersection, réunion d’idéaux
2.3 Idéal engendré par une partie
2.4 Somme d’idéaux
2.5 Produit d’idéaux
3 Corps
3.1 Corps
3.2 Sous-corps
3.3 Morphisme de corps
3.4 Corps finis
3.5 Nombre d’élément d’un corps fini
4 Quaternions
4.1 Le corps non-commutatif (H , + , ×)
4.2 Plongement de C dans H
4.3 Centre du corps (H,+,×)
4.4 Conjugaison dans H; norme sur H
4.5 Représentation matricielle des quaternions
Bibliographie

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