Caractérisation fréquentielle des objectifs de performance et de robustesse

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Qu’est-ce qu’un viseur ?

Un viseur est un ensemble de caméras et/ou de dispositifs de pointage, appelé coeur optronique, monté sur un porteur généralement en mouvement et orientable dans l’espace. On appelle alors Ligne de Visée (LdV) l’axe optique sortant de l’un de ces capteurs. Des viseurs sont représentés en Figures 1.1 et 1.2. Ces équipements permettent la recherche, la localisation, l’identification et la désignation de cible, le suivi de cible, de l’aide au pilotage, etc.
Le rôle premier du viseur est de stabiliser et d’orienter la LdV quels que soient les mouvements du porteur et/ou de la cible, et quel que soit l’environnement extérieur (conditions atmosphériques, obstructions, etc.).
Figure 1.1 – Viseurs Safran Electronics & Defense – Copyright Safran
Figure 1.2 – Différentes applications des viseurs – Copyright Safran
L’objectif premier du viseur est d’observer les détails d’une scène lointaine sur un environnement vibrant. Tout d’abord, expliquons pourquoi il est nécessaire de stabiliser la LdV.
Pour cela, faisons le parallèle avec une situation de tous les jours. Tout le monde a remarqué que lorsque l’on désire prendre une photographie de nuit, il ne faut pas bouger pendant la prise de vue afin d’obtenir une photographie nette. En effet, les photons venant du paysage sont envoyés sur une grille de photo-capteurs. Un point lumineux est alors représenté par une impulsion lumineuse. Par rapport à une scène fixe, le mouvement de l’appareil photo va créer un déplacement relatif de cette impulsion sur la grille pendant le temps d’intégration du capteur. L’impulsion initiale devient alors une tâche qui donnera une image floue si celle-ci s’étend sur plusieurs pixels. Dans le cas de l’appareil photo, il est plus fréquent d’obtenir une image floue de nuit que de jour car l’appareil va naturellement augmenter le temps d’intégration du capteur lorsque la luminosité est faible. Il se passe exactement la même chose dans le cadre des viseurs.
Quelques aspects diffèrent cependant entre la prise d’une photographie dans la vie de tous les jours et l’observation précise d’une scène lointaine avec un environnement vibrant.
Safran travaille avec des caméras à très haute résolution et avec des très petits champs de vision afin de “voir” loin. De plus, le viseur est monté sur un porteur fortement vibrant, ce qui va déformer la structure mécanique du viseur. Tous ces aspects font que l’on doit mettre en place un processus permettant de stabiliser l’image de manière précise. Les mouvements angulaires de la LdV recherchés sont de l’ordre du micro-radian (10?6 radians).
Pour cela, l’idée est de mettre en place un asservissement capable d’agir sur la vitesse/ position angulaire de la LdV. La mesure de la position/vitesse angulaire de la LdV se fait au moyen d’un gyromètre ou d’une centrale inertielle embarquée sur le porteur combinée aux capteurs angulaires de la plateforme. La correction de la vitesse/position angulaire de la LdV se fait au moyen de cardans ou de miroirs actionnés par des moteurs. On distingue alors deux architectures possibles : les viseurs “mass-stabilized” et “miror-stabilized” [Hil08].
Les viseurs “miror-stabilized” (voir Figure 1.3) stabilisent la LdV par l’intermédiaire de miroirs orientables selon un ou deux axes, tandis que le coeur optronique du viseur reste solidaire du porteur. L’asservissement est alors réalisé à l’aide d’une centrale de navigation placée sur le porteur et de capteurs angulaires mesurant les orientations des miroirs par rapport à leurs supports respectifs. L’avantage de ce type de viseur est qu’il est protégé et demande des moteurs plus petits. Pour des applications militaires, un autre avantage est que le coeur du viseur peut être placé dans une enceinte blindée, et seuls les miroirs sont exposés aux tirs extérieurs.
Les viseurs “mass-stabilized” (voir Figure 1.4) se basent sur une stabilisation directe du coeur optronique. Le coeur est alors monté sur des cardans qui permettent de l’orienter suivant deux angles afin de balayer tout l’espace. Un gyroscope/gyromètre, placé proche du coeur, fournit une image de la position/vitesse angulaire de la LdV. Cette mesure est alors utilisée pour asservir les moteurs entraînant les cardans et permettant la stabilisation de la LdV.
Ces types de viseurs ont généralement de meilleures performances que les miroirs stabilisés car ils travaillent en rejet de perturbation et non en suivi de consigne, ce qui impose de plus faible contraintes temporelles sur les synchronisations des mesures et des consignes.
En pratique, certains viseurs comportent deux étages de stabilisation : pour chacune des rotations, un axe gros et un axe fin. Ceci permet de distinguer les fonctions de stabilisation et de poursuite : les axes gros permettent la poursuite de la cible (déplacement grossier de la LdV), tandis que l’axe fin permet la stabilisation de la ligne de visée (déplacement fin de la LdV).
Quelle que soit l’architecture choisie, il est nécessaire d’asservir la LdV, c’est-à-dire d’utiliser les mesures de position/vitesse angulaires fournies par les capteurs afin d’agir sur la position/vitesse angulaire de la LdV via les moteurs, et quelles que soient les perturbations extérieures. C’est sur cet aspect des viseurs que ce travail de thèse se focalise.

Boucle de stabilisation inertielle

Afin d’assurer une LdV fixe dans un référentiel inertiel, il est nécessaire de rejeter les perturbations agissant sur le coeur optronique. Pour cela, il faut que la somme des couples appliqués au coeur soit nulle. Ceci doit être le cas quels que soient les mouvements du porteur (angulaires ou vibrations linéaires) et quelles que soient les perturbations climatiques extérieures (variations de température, pression, …). L’objectif final recherché est donc que la LdV soit fixe dans un repère inertiel, c’est-à-dire ait une vitesse angulaire nulle par rapport à ce repère considéré comme fixe. Nous parlerons alors improprement de stabilisation inertielle pour signifier que la LdV est fixe dans un repère inertiel (ce qui ne doit pas être confondu avec une notion de stabilité d’un asservissement).
Figure 1.5. Cette boucle d’asservissement est composée d’actionneurs permettant d’agir sur un ensemble de pièces mécaniques à stabiliser, tel qu’un coeur optronique, dont on mesure la vitesse inertielle _ à l’aide d’un capteur (tel qu’un gyromètre).
Chaque bloc de la Figure 1.5 peut-être vu comme un système, c’est-à-dire un ensemble de relations liant des entrées et des sorties. On parlera aussi de transfert entre des entrées et des sorties. Par exemple, un bloc moteur peut être considéré comme un transfert entre une tension de commande u et un couple ?u. Pour plus de détails sur ces notions, nous nous référons à l’Annexe A.
Le but de la structure d’asservissement est de permettre aux moteurs de générer un couple du qui compense les couples perturbateurs ?d. La consigne u de ces moteurs est générée par un correcteur. Cette consigne est une fonction de l’erreur d’asservissement « , définie comme la différence entre une référence r (choisie nulle dans une problématique de stabilisation) et la mesure y. Plus cette erreur  » est importante, plus le couple ?u fourni par les moteurs devra être important afin de réduire cette erreur.
Savoir quel couple demander aux moteurs en fonction de l’erreur  » n’est pas trivial. Plusieurs phénomènes physiques viennent complexifier cette question. Premièrement, la masse à stabiliser n’est pas infiniment rigide et résonne à certaines fréquences d’excitation induites par les vibrations du porteur. De plus, comme nous le mentionnions précédemment, l’asservissement doit être robuste vis-à-vis des perturbations extérieures ?d et _ : ?d représente des couples perturbateurs (disturbance en anglais) induits par le porteur et _ symbolise des déformations mécaniques entre l’emplacement du capteur et l’emplacement des caméras à stabiliser. Par ailleurs, le capteur fournit une mesure y de la vitesse angulaire _ de la LdV avec un certain retard de transmission. La loi de commande doit donc être conçue pour prendre en compte ces différents phénomènes.
Mathématiquement parlant, _ peut être vue comme une perturbation agissant directement sur la mesure y. Nous pouvons alors regrouper la partie Moteur, Masse à stabiliser et Capteur en un unique système G, et considérer le schéma d’asservissement de la Figure 1.6.
Celle-ci décrit simplement l’asservissement d’un système G soumis à des perturbations en entrée d et en sortie , bouclé par un correcteur K (d étant reliée à ?d par l’inverse du transfert du moteur, et à _ par l’inverse du transfert du capteur). C’est ce formalisme que l’on gardera tout au long de ce mémoire.
Remarque 1.1. Un viseur comporte deux axes de rotation. Dans la suite, nous ne prendrons pas en compte le couplage dynamique entre les deux axes, ni même le couplage induit par les déformées modales. Ainsi, avec ces approximations, l’asservissement d’un axe de rotation peut se faire de manière indépendante.
Remarque 1.2. Nous nous focaliserons sur le problème de la stabilisation inertielle de la LdV, c’est-à-dire nous ne détaillons que la boucle utilisée pour un asservissement en vitesse angulaire. Cependant, le cas de la poursuite, c’est-à-dire de l’asservissement en position angulaire, est (fortement) similaire à celui détaillé ici.
Il reste maintenant à concevoir une loi de commande des moteurs, c’est-à-dire un correcteur K qui satisfasse un cahier des charges. Bien qu’il existe des techniques permettant de concevoir un correcteur sans aucune connaissance du système (voir par exemple [FJ08] et les références citées), celles-ci restent limitées face à des techniques plus classiques se basant sur une connaissance à priori d’un modèle du système étudié. Pour cela, dans le prochain paragraphe, nous allons étudier la modélisation des viseurs.

Modélisation des viseurs

La modélisation d’un système physique peut se faire de deux manières : soit par la description de phénomènes physiques, soit par des mesures expérimentales. Dans le cadre des viseurs, nous disposons de différents moyens de modéliser ceux-ci.
Commençons par une modélisation simple en deux dimensions. Le choix de passer en deux dimensions se justifie en considérant que les deux axes de rotation d’un viseur sont (en première approximation) découplés. Sous une telle hypothèse, la rotation d’un axe n’influence pas la rotation de l’autre. C’est ce qui est considéré dans la majeure partie des études R&D à Safran Electronics & Defense.
Les liaisons pivot sont réalisées à partir de roulements à billes. De plus, les pièces mécaniques composant le cadre du viseur doivent être considérées comme déformables. On peut alors assimiler l’ensemble des liaisons et des pièces mécaniques comme des liaisons élastiques modélisées par des ressorts dans la direction radiale du roulement.
Ainsi, nous pouvons considérer la modélisation 2D de la Figure 1.7. Cette modélisation consiste en deux poutres indéformables reliées par deux ressorts de raideur et d’amortissement potentiellement différents. Les liaisons élastiques représentent les déformations de la structure mécanique du viseur. La première poutre représente le cadre du viseur entrainé en rotation par les moteurs. La deuxième poutre représente le coeur du viseur où sont placés les optiques et le gyromètre. La problématique de stabilisation consiste à stabiliser la deuxième poutre sachant que la première est soumise à un couple.
Figure 1.7 – Modèle double-poutre d’un viseur gyrostabilisé
Une telle représentation permet de comprendre quelques phénomènes physiques liés aux viseurs. Notamment, nous pouvons voir que si l’on entraîne en rotation la poutre de gauche, alors la poutre de droite n’effectue pas la même rotation à cause de la compression/extension des ressorts. Le transfert entre le couple moteur et la rotation de la LdV est appelé flexibilité [GR03]. Par ailleurs, imaginons que la poutre de gauche soit entrainée en translation linéaire par le porteur (mouvement gauche droite). Alors, si les deux ressorts sont de raideurs différentes, la poutre de droite est entrainée en rotation. C’est ce que l’on appelle la transmissibilité [GR03].
La dynamique d’une telle modélisation peut se décrire par des équations différentielles (voir Annexe F). Nous pouvons en extraire des modèles sous forme de fonction de transfert dépendant de la variable de Laplace s 2 C (opérateur de dérivation). Par exemple, la fonction de transfert entre le couple mécanique exercé sur le cadre et la rotation de la Ligne de Visée a la forme suivante G = c0 + c1 s + c2 s2 + c3 s3 s2 (a2 + a3 s + a4 s2 + a5 s3 + a6 s4); où les ai et ci sont des coefficients dépendant des raideurs et amortissements des ressorts, des inerties des poutres et de leurs longueurs (voir Corollaire F.1 de l’Annexe F). Lorsque les deux ressorts sont identiques, la fonction de transfert G se simplifie pour donner G = n0 (p2 + 2 p s) s2 (p2 + 2 p s + s2) ; où p, et n0 sont des grandeurs réelles. Dans cette modélisation, est petit et nous voyons clairement apparaître un mode mécanique présentant une résonance et une inertie.
Les viseurs sont en général des structures complexes présentant plusieurs modes mécaniques.
La modélisation présentée précédemment ne permet de prendre en compte qu’un seul mode mécanique. Elle est donc assez limitée.
Une alternative est de considérer des modélisations par éléments finis d’un viseur [GR03, Chap. 3.3]. Celles-ci consistent à représenter la structure mécanique par un ensemble de points, appelés noeuds, reliés par des ressorts. Plus le nombre de noeuds est important, plus la modélisation est complexe et modélise plus finement le système. Certains logiciels (tels que ANSYS [Bha02]) permettent d’extraire une représentation d’état du système à partir de l’étude de son comportement dynamique en s’appuyant sur une analyse modale du modèle [GR03]. Nous pouvons alors nous servir de cette représentation d’état pour concevoir un correcteur.
Enfin, lorsque l’on dispose de prototypes, il est possible de réaliser directement des mesures de fonctions de transfert du système. Ces mesures sont réalisées en utilisant un transféromètre.
Le système linéaire à identifier G étant bouclé par un correcteur, le transféromètre permet de sommer une excitation sinusoïdale en entrée de système (que l’on peut considérer comme une perturbation en entrée de modèle) et de mesurer à la fois le couple moteur total appliqué au système ainsi que sa sortie. L’excitation sinusoïdale générée étant de fréquence connue f0, les mesures sont aussi des sinus de même fréquence, et l’on peut estimer le gain et la phase de ceux-ci de manière à déduire G(i 2 f0) = jG(i 2 f0)j ei arg(G(i 2 f0)). Il suffit alors de réaliser des mesures pour différents f0 afin d’obtenir une série de points permettant d’approcher la fonction de transfert réelle du système. De ces séries de mesures, nous obtenons des courbes telles que celles données en Figure 1.8. Ces courbes nous permettent d’identifier plusieurs modèles valables sur une plage de fréquence plus ou moins grande (voir Annexe G).

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Contexte
1.2 Qu’est-ce qu’un viseur ?
1.3 Boucle de stabilisation inertielle
1.4 Modélisation des viseurs
1.5 Choix d’une méthode de synthèse de loi de commande
1.6 État de l’art sur la résolution d’équations de Riccati algébriques et la commande
H1 paramétrique
1.7 Plan de thèse
1.8 Liste de publications
2 Fondements de la commande H1 par Loop-Shaping 
2.1 Introduction
2.2 Caractérisation fréquentielle des objectifs de performance et de robustesse
2.2.1 Fonction de sensibilité et contraintes de performance
2.2.2 Fonction de sensibilité complémentaire et contraintes de robustesse
2.2.3 Fonction de régulation et contraintes de performance en régulation
2.2.4 Fonction de commande et contraintes de saturation
2.3 Stabilisation de systèmes aux facteurs copremiers incertains via critère H1
2.3.1 Factorisations copremières d’une matrice de transfert
2.3.2 Un problème de commande robuste
2.3.3 Conception d’un correcteur
2.3.4 Cas particulier des systèmes SISO
2.4 Lien avec la commande Linéaire Quadratique Gaussienne
2.5 Commande H1 par Loop-Shaping
2.5.1 Modelage de la boucle ouverte
2.5.2 Une procédure de synthèse de correcteur H1 par Loop-Shaping
2.6 Exemple d’application
2.7 Conclusion
3 Approche symbolique des équations de Riccati algébriques 
3.1 Quelques notions d’algèbre
3.1.1 Polynômes univariés et multivariés
3.1.2 Extension algébrique et clôture algébrique
3.1.3 Systèmes polynomiaux
3.1.4 Classes d’équivalence
3.1.5 Ordres monomiaux
3.1.6 Division de polynômes à plusieurs variables
3.1.7 Bases de Gröbner
3.1.8 Matrices de multiplication
3.1.9 Résultants
3.1.10 Variétés discriminantes
3.2 Classe de systèmes et équation de Riccati algébrique R = 0 étudiés
3.3 Réduction de R = 0 à un système d’équations polynomiales B = 0
3.3.1 Paramétrisation des solutions de R = 0 par un calcul des sous-espaces
propres de la matrice Hamiltonienne associée
Propriétés de la matrice Hamiltonienne associée à l’EAR
Calcul d’une solution de R = 0 à paramètres fixés
Calcul d’une solution de R = 0 à paramètres non-fixés par factorisation spectrale
3.3.2 Paramétrisation des solutions de R = 0 par une étude directe du système d’équation polynomiales
3.3.3 Équivalence des deux approches
3.4 Propriétés du système polynomial E issu de R = 0
3.5 Étude de E à paramètres fixés
3.5.1 Exemple d’introduction
3.5.2 Éléments séparant V (hBi)
3.5.3 Paramétrisation de V (hBi)
3.5.4 Caractérisation de X > 0 solution de R = 0
3.5.5 Isolation certifiée des zéros de B
3.6 Étude de E à paramètres non fixés
3.6.1 Remarques préliminaires
3.6.2 Paramétrisation des solutions de E pour 1 n 4
3.6.3 Solutions de R = 0 pour 1 n 4
3.6.4 Solution définie positive de R = 0 pour 1 n 4
3.7 Cas particulier des systèmes comportant une approximation de Padé
3.7.1 Rappels sur les approximations de Padé
3.7.2 Approximations de Padé et factorisation spectrale
3.8 Conclusion
4 Approche symbolique de la commande H1 par Loop-Shaping 
4.1 Résolution explicite du Problème de Commande Robuste
4.1.1 Calcul explicite du critère
4.1.2 Correcteurs H1 paramétriques
4.1.3 Exemples
Système d’ordre 2 : masse-ressort avec extrémité encastrée
Système d’ordre 3 : modèle double-poutre d’un viseur gyrostabilité en 2D
Système d’ordre 4 : système masse-ressort libre
4.2 Résolution symbolique/numérique du problème de commande robuste
4.3 Réglage optimal d’une pondération Loop-Shaping
4.3.1 Une méthode de réglage de pondération scalaire de type gain
4.3.2 Application au système double masse-ressort
Étude du système sans amortissement : réglage de pondération global
Étude du système avec amortissement : réglage local de pondération
4.4 Commande H1 adaptative indirecte
4.4.1 Système double masse-ressort sans amortissement bouclé avec correction adaptative globale
4.4.2 Système double masse-ressort avec amortissement bouclé avec correction adaptative locale
4.5 Conclusion
5 Extension de la commande H1 paramétrique aux systèmes à retard 
5.1 Décomposition additive de systèmes à retard et stabilisation
5.2 Problème de commande robuste et décomposition additive
5.2.1 Liens entre les projecteurs (K;G) et (K0;G0)
5.2.2 Un encadrement de jj(K;G)jj1
5.2.3 Application à un modèle de viseur gyrostabilisé
5.3 Réglage d’un correcteur robuste sous-optimal à l’aide d’une pondération Loop- Shaping
5.3.1 Système réel et hypothèses
5.3.2 Système fictif et données préliminaires
5.3.3 Une procédure de conception de correcteur Loop-Shaping adaptatif stabilisant le G
5.3.4 Caractéristiques de l’asservissement obtenu
5.4 Conclusion
6 Conclusion et perspectives 
6.1 Résumé des contributions
6.2 Perspectives
A Systèmes linéaires continus invariants dans le temps
A.1 Définition d’un système linéaire
A.2 Stabilité d’un système linéaire
A.3 Commandabilité et observabilité
A.4 Stabilisabilité et détectabilité
A.5 Formes compagnes et matrices de passage
B Normes H2 et H1 215
B.1 Norme euclidienne
B.2 Normes matricielles
B.3 Normes de signaux
B.4 Normes de systèmes
B.4.1 Espace H2(C+) et norme H2
B.4.2 Espace H1(C+) et norme H1
Calcul numérique
Calcul symbolique
Inégalités classiques
C Matrices définies positives
C.1 Produits de matrices définies positives
D Racines par radicaux de polynômes de degré inférieur ou égal à 4
D.1 Polynômes de degré 2
D.1.1 Racines par radicaux
D.1.2 Racine réelle maximale
D.2 Polynômes de degré 3
D.2.1 Racines par radicaux
Cas 1 = 0
Cas 1 6= 0
Récapitulatif
D.2.2 Racine réelle maximale
Avec des radicaux
Avec fonctions trigonométriques
D.3 Polynômes de degré 4
D.3.1 Racines par radicaux
Cas 1 = 0
Cas 1 6= 0
Récapitulatif
D.3.2 Racine réelle maximale
E Complexité algorithmique et binaire d’une RUR de E
E.1 Définitions et notations
E.2 Résultant multivarié, u-résultant et RUR
E.3 Complexité algorithmique et binaire d’une RUR
E.4 Application au système E
F Modélisation d’un viseur en 2 dimensions
F.1 Hypothèses et notations
F.2 Équations de la mécanique
F.3 Flexibilité
F.3.1 Flexibilité exacte
F.3.2 Cas idéal de flexibilité pour deux ressorts égaux
F.3.3 Cas de deux ressorts égaux sans amortissement
G Identification de fonction de transfert
G.1 Mesures hors ligne à disposition
G.2 Identification du système
G.2.1 Une première modélisation simple avec retard
G.2.2 Une modélisation d’ordre 4 sans retard
G.2.3 Une modélisation d’ordre 5 plus fine
G.2.4 Modélisations plus fines
G.3 Récapitulatif des différentes modélisations

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