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Géométrie fractale
Historique
Depuis récemment, le concept des fractales gagne en popularité. Or, bien que ce mot n’ait été inventé par Benoit Mandelbrot que dans sleannées 70, les éléments soutenants cette nouvelle branche des mathématiques se sont mis en place depuis bien plus longtemps.
Cependant, sous la pression de la communauté scientifique à l’époque, il propose une définition : «Un ensemble fractal (dans le plan ou dans l’espace) est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (ou dimension fractale) est strictement supérieure à sa dimension topologique». On distinguera plus loin de façon très claire la différence entre ces deux notions de dimension.
Ce qui est très important à raconter aussi est qu’à l’époque, Mandelbrot a introduit une propriété commune pour tous les objets qui semble voira le caractère fractale. Il a conclu que ces objets ont les caractéristiques suivantes :
1. ses parties ont la même structure que le tout, àceci près qu’elles le sont à une échelle différente et peuvent être légèrement déformées ;
2. sa forme est extrêmement irrégulière ou fragmentée et le reste à toutes les échelles;
3. elle contient des éléments discernables dans une large gamme d’échelles.
Naissance de la géométrie fractale
Pour parler de fractales, on fait souvent référenceà la géométrie de la nature. De fait, elles se retrouvent partout dans notre environnement. Ainsi, elles existent depuis toujours. Cependant, on peut se demander quelles ont été les premières images fractales crées artificiellement par des hommes.
Premières idées des images fractales
La première idée de l’image fractale vient d’Apollonius de Perge et remonte à trois siècles avant J.-C.
Dans son livre Tangencies [2], ce disciple d’Euclide démontra comment tracer un cercle tangent à trois autres objets qui sont soit des poi nts, des lignes ou des cercles. Ainsi, il utilisa ce résultat pour construire une figure qui sera reprise plus tard par Mandelbrot en tant qu’image fractale. Sa construction consiste à prendre un tri angle curviligne (dont lees côtés sont des arcs de cercles). On peut alors trouuver un cercle inscrit à l’intérieur. Cette étap e crée trois nouveaux triangles curvilignes dans chaacun desquels on peut inscrire un autre cerccle. En continuant ce procédé jusqu’à l’infini, on trouve une image appelée la baderne d’Apollonnius (Figure 1).
En plus des premières imagees fractales, un nouvel concept adapté à la théorie fractale a ét introduit en 1700 par Leibnizz. C’est la notion d’ autosimilarité. Entant que mathématicien et philosophe à fois, il a concllu que la majorité des fractales respectentt cette propriété qu explique le fait qu’une figure est dit autosimilaire si celle-ci préserve une certaine symétrie interne en dépit des variationss d’échelles
Ainsi, à titre d’illustration, Leibniz définira donc la droite comme une courbe dont chaque partie est similaire au tout et d écrira plus tard les propriétés d’autosimilariité du pla
Suite à ces observations, les mathématiciens seront amenés à créer d’autres objets qui se répètent à l’infini. Ces figuress ainsi construites auront parfois des propriétés assez étranges qu perturberont plusieurs certitud es bien établies à l’époque.
Ensuite, une autre image fractale est apparue en 1520 : le pentagone de Dürer ( Figure 2). Sa construction est expliquée daans le manuel de géométrie Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plaans et corps solides écrit par l’artiste allemand Albretch Dürer. Inspiré par Léonard de Vinci, il est convaincu par le fait que les arts devaiient être basés sur le sciences en particulier sur les mathématiques qui, selon lui, étaient la branche des sciences la plus exacte, la plus logique et la plus efficace d’un point de vue graphique.
Son image fractale consiste enn un pentagone régulie dans lequel on place six petits pentagones congrus ; cinq d’entre eux doivent recouvrir les angles du pentagone initiial de façon à ce que les côtés adjacents corresponndent et le dernier pentagone doit se situer au centre du grand pentagone mais en ayant subbi une rotation de 180° p ar rapport à celui -ci. En reprenant ce processus pour chacun des nouveaux pentagones et ainsi de suite, onn trouve une image ressemblant à une dentelle.
En 1877, Cantor prit tout le monde par surprise en prouvant dans une lettrre à Dedekin d qu’il y avait une correspondance biunnivoque entre l’intervalle de points [0, 1] et lees points d’un espace
à p dimensions. Autrement dit, cette découverte assurait qu’il était possibble de se repérer dans un carré à l’aide d’un seul paramètre alors qu’il en faut habituellement deux pour décrire une figure bidimensionnelle. Lui- même fut déstabilisé par ce résultat puisqqu’il écrit : « Je le vois, mais je ne le crois pas ! ». Cette découverte aura un impact évident sur la définition de la dimension.
En 1883, il publie son fammeux ensemble triadique (ou poussières d e Cantor) [4]. Pour construire l’ensemble, il prendd l’intervalle [0, 1] qu’il divise en trois partiies égales et retire le tiers central soit l’intervalle (1/3, 2/3). Les extrémités sont conservées das l’ensemble. Ensuite, il enlève le tiers central de chacun des nouveaux segments et ce indééfiniment. Le résulta troublait à l’´époque puisqu’il s’agit d’un exemple d’un ensemble parfait , c’est -à-dire qui contient tous ses points d’accumulation et seulement ceux-ci, mais qui n’’est dense nulle part.
De plus, il contient une quantiité non-dénombrable de points. Bien que l’ennsemble de Cantor ne soit pas le plus visuel, il joue un rôle important dans plusieurs branches des mathématiques.
En 1904, Von Koch proposa une construction extrêmement simple aboutisant à une courbe continue qui n’a pas de tangennte [5, 6]. Pour y arriver, on prend un segmennt de longueur l et on remplace son tiers central par un « pic » forméde deux segments de longueur l/3. On refait le même processus pour chacu n des quatre nouveaux segments et ainsi de suite. A l’infini, on obtient une courbe exclusiveement formée de « pics » qui on le sait, n’admettent pas de tangente.
Classification des objets fractals
Les objets fractals peuvent être classés selon sa aturen et ses procédés de construction en trois catégories [3] :
Premièrement, nous avons les fractals aléatoires lorsque les objets en question ne sont pas générés par des mécanismes déterministes mais pares dprocessus aléatoires. On inclue dans cette catégorie toutes les fractales dites « natureles » ou paysages fractals, c’est à dire les phénomènes naturels, artificiels qui ont une structure fractale.
Ensuite, les fractales construites à partir de syst èmes de fonctions itérées (procédé mathématique permettant de définir un certain nombre de transformations Modélisation fractale des réseaux électriques géométriques affines) sont placés en seconde catégorie. La règle de construction repose ainsi sur un remplacement géométrique fixe : d’une itération à une autre, on remplace chaque élément par un autre, identique pour tous. A titre d’exemple, cette famille regroupe l’ensemble de Cantor, le triangle ou tapis de Sierpinski, le flocon de Koch, … etc. C’est généralement cette famille d’objets fractals qui présente une propriété d’autosimilarité,
Enfin, la dernière catégorie regroupe les fractales construites à partir d’une relation de récurrence en chaque point dans l’espace. On retrouve dans cette catégorie les ensembles de Julia et de Mandelbrot ainsi que les fractales de Lyapunov [7].
Dimension topologique
D’après une définition mathématique, deux objets sont équivalents topologiquement s’il est possible de déformer l’un vers l’autre à l’aide d’un homéomorphisme : transformation bijective et continue (qui préserve la connexité) 2][.
Ainsi, la dimension topologique d’un objet devrait être préservée sous une transformation homéomorphique et les valeurs admises sont des entiers. Poincaré a proposé une définition semblable à celle d’Euclide d’une telle dimension. Posons d’abord le vide de dimension -1.
Ensuite, on procède par induction : si un objet connexe peut être divisé en deux (ou plusieurs) objets disjoints en lui retirant une partie de dimension n (et qu’il n’est pas possible de le faire avec une partie de plus petite dimension) alors on dit qu’il est de dimension n + 1.
Ainsi, un point ne peut pas être brisé en plusieursmorceaux donc il est de dimension −1+1 = 0. De plus, un nombre fini de points est totalement non-connexe et reste de dimension 0. Une ligne peut être brisée en deux lignes disjointes sion lui retire un point qui est de dimension 0, donc la ligne est de dimension 0 + 1 = 1. Et ainsi de suite.
Enfin, bien que Peano et Hilbert aient réussi à déformer l’intervalle [0, 1] en un carré, leurs transformations n’étaient pas des homéomorphismes elles( n’étaient pas injectives) donc il n’y a pas de contradiction en affirmant que la dimension topologique de l’intervalle soit 1 alors que celle du carré soit2.
En géométrie euclidienne, la dimension d’un objet ste égale au nombre de paramètres (définissant une unité de mesure) nécessaires pourle décrire. La dimension d’un droit est ainsi égale à 1, puisqu’un seul paramètre, i.e. la distance entre une origine choisie et un point de cette droite, permet de la caractériser. Une figure quelconque dans le plan a quant à elle une dimension égale à 2, puisque tout point de cette figure est décrit par2 paramètres (une abscisse et une ordonnée). Nous qualifierons par la suite cette dimension de topologique.
Afin de mesurer une longueur, une surface ou un volume, une méthode employée consiste à recouvrir ces ensembles de pavés dont la longueur, la surface ou le volume peuvent être
considérés comme une unité de mesureFigure( 4)
Dimension Fractaale ou de Hausdorff-Besicovitch
Pour les objets fractals, la notion de dimension est beaucoup moins grossière. Elle permet de quantifier le degréé d’irrégularité et defragmentation d’un enssemble géométrique Notons tout de suite que, danns la grande majorité des cas, cette dimension fractale est non-entière contrairement à la dimension topologique définie plus haut. Par ailleurs, Mandelbrot précise qu’un objet fractal possède une dimension ractalef strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette dimension permet ainsi de décrire comment l’objet fractal occupe « l’espace » lorsque le nombre d’itérations devient infini.
Pour introduire la dimension fractale, nous allons prendre le principe de la mesure de recouvrement en faisant recouvrir un objet par un ensemble d’élément d’unité de mesure ‘ # & (,)ou d(E) est la dimension à chercher de l’objet.
Dans le cas où cette dimension est inconnue, on procède alors par tâtonnements en prenant comme unité de mesure une valeur ‘ # & a avec un coefficient α indéterminé (on parle alors d’un α-recouvrement).
La dimension de Hausdorff ou dimension fractale de l’objet S est ainsi la valeur de α pour laquelle la mesure varie subitement entre 0 et l’infini, cette valeur étant quant à elle un réel non nul. Difficile à appréhender physiquement, cette dimension donne cependant une idée de la manière qu’à un objet fractal de remplir soit une l igne, soit un plan, soit un volume.
En pratique, cette dimension de Hausdorff est rarement calculée, sans doute en raison de sa définition un tant soit peu absconde. La plupart dutemps, on cherche plutôt à approcher cette dimension en effectuant un certain nombre de recouvrements, avec des diamètres de boules plus ou moins grands. Dans le cas d’objets fractals construits à partir de systèmes de fonctions itérées, la dimension peut être déterminée directement.
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE I : THEORIE FRACTALE ET GENERALITE
1.1 INTRODUCTION
1.2 GEOMETRIE FRACTALE
1.2.1 Historique
1.2.2 Naissance de la géométrie fractale
1.3 FRACTALES EN DETAILS
1.3.1 Les L-Systèmes
1.3.2 Méthode des Iterated functions system (IFS)
1.4 DETERMINATION DE LA DIMENSION FRACTALE
1.4.1 Détermination directe :
1.4.2 Détermination par la méthode de croissance d’une boule
1.5 CLASSIFICATION DES FRACTALES PAR LEUR DIMENSION DE HAUSDORFF
1.5.1 Phénomène d’invariance d’échelle ou autosimilarité
1.5.2 Cas de diffusion d’un champ magnétique et le lien avec le système d’ordre non entier
1.6 DOMAINE D’APPLICATION DE LA THEORIE FRACTALE
1.6.1 Dépistage du cancer du sein
1.6.2 Mur anti-bruit
1.6.3 Aérogels de silice
1.6.4 Compression d’images
1.6.5 Infographie
1.6.6 Antennes
1.6.7 Recherche de nappes de pétrole
1.6.8 Finances
1.7 CONCLUSION
« Par la Grâce de Dieu, je suis
CHAPITRE II : CARACTERISATION ET IDENTIFICATION DES SYSTEME D’ORDRE NON ENTIER
2.1 INTRODUCTION
2.2 OUTILS MATHEMATIQUES ADAPTES AUX SYSTEMES D’ORDRE NON ENTIER OU A INVARIANCE D’ECHELLE
2.2.1 Calcul fractionnaire
2.2.2 Dérivations non entières implicite et explicite
2.2.3 Transformée de Laplace de la dérivée d’ordre non entier
2.2.4 Analyse de systèmes d’ordre 1/2
2.3 REPRESENTATION DES SYSTEMES D’ORDRE FRACTIONNAIRE
2.3.1 Equation différentielle généralisée
2.3.2 Fonction de transfert
2.3.3 Construction d’un système d’état généralisé
2.3.4 Condition de stabilité d’un système d’ordre fractionnaire
2.4 SIMULATION DES SYSTEMES D’ORDRE FRACTIONNAIRE
2.4.1 L’approche d’Oustaloup
2.4.2 L’approche par intégration fractionnaire
2.5 CONCLUSION
CHAPITRE III : APPLICATION SUR LA TOPOLOGIE DES RESEAUX REALISTES
3.1 INTRODUCTION
3.2 INVARIANCE D’ECHELLE DANS LES RESEAUX ELECTRIQUES
3.3 PRESENTATION DU RESEAU ELECTRIQUE RADIAL DE TYPE FRACTAL
3.3.1 Etude analytique de l’impédance d’entrée
3.4 CALCUL DE LA DIMENSION FRACTALE DU RESEAU
3.5 MESURE FRACTALE DE RESEAUX REALISTES
3.5.1 Présentation du réseau
3.5.2 Découpage en niveau du réseau
3.5.3 Calcul de la dimension fractale par la méthode de croissance d’une boule
3.6 REPONSE FREQUENTIELLE DU RESEAU REALISTE
3.7 CONCLUSION
CHAPITRE IV : ETUDE DE STABILITE D’UNE MACHINE A L’AIDE D’UN SYSTEME D’ORDRE FRACTIONNAIRE
4.1 INTRODUCTION
4.2 ETUDE DE STABILITE D’UN SYSTEME DE GENERATION ELECTRIQUE
4.2.1 Modélisation de la machine synchrone à l’aide de systèmes d’ordre non entier « Par la Grâce de Dieu, je suis
4.3 ANALYSE DE STABILITE PETITS SIGNAUX D’UN SYSTEME ELECTRIQUE CONTENANT UN MODELE D’ORDRE NON ENTIER DE LA MACHINE SYNCHRONE
4.3.1 Construction du système d’état généralisé
4.3.2 Valeurs propres du système d’ordre non entier de la machine synchrone
4.4 CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
WEBOGRAPHIE
ANNEXES
FICHE DE RENSEIGNEMENT
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