Caractérisation du bidisque symétrisé

Les problèmes de Nevanlinna-Pick

Un célèbre problème d’interpolation pour les nombres complexes est le problème de Nevanlinna-Pick classique. Pour n éléments distincts du disque unité _1; :::; _n et n valeurs cibles _1; :::; _n dans le disque unité fermé, nous recherchons une fonction holomorphe à valeurs dans D qui interpole les _j en _j . Ce problème est complètement résolu depuis longtemps et l’existence de la solution est garantie par le théorème de Nevanlinna-Pick classique. L’énoncé ainsi que la démonstration de ce théorème seront présentés plus en détail à la section

Le problème de Nevanlinna-Pick spectral (NPS) est une autre variante beaucoup plus difficile. Ce problème, toujours non résolu, a attiré l’attention de plusieurs chercheurs au courant des dernières années, entre autre à cause de son rôle dans le problème de la _-synthèse. Plus précisément, une solution au problème de NPS permettrait d’obtenir de meilleurs résultats en ce qui se rapporte à la robustesse de certains contrôleurs en ingénierie [DP93]. Le NPS s’énonce comme suit. Donnés n points distincts _1; :::; _n du disque unité et n matrices carrées d_dW1; :::;Wn de rayon spectral inférieur à 1, nous recherchons un critère caractérisant l’existence d’une fonction matricielle holomorphe d_d, disons f, définie telle que f(_j) = Wj pour j = 1; :::; n et que le rayon spectral de la matrice f(_) soit inférieur à 1 pour tout _ 2 D. Dans le cas particulier où les Wj sont des matrices 2_2, Agler et Young ont démontré un tel critère en 2003 [AY03b].

Dans cet article, la méthode employée consiste à interpoler les coefficients du polynôme caractéristique associé aux matrice Wj , c’est à dire aux valeurs tr(Wj) et det(Wj). De ce fait, nous sommes amenés à considérer l’ensemble f(tr(A); det(A)) : A 2 M2(C); j_1j _ 1; j_2j _ 1g où M2(C) est l’ensemble des matrices 2_2 à coefficients complexes et _1; _2 les valeurs propres de la matrice A. Le rôle du bidisque symétrisé dans le NPS provient de l’affirmation qui suit. Proposition 1.6. Une matrice A 2 M2(C) a ses deux valeurs propres dans D si et seulement si (tr(A); det(A)) 2 ?. Démonstration. La démonstration est assez élémentaire. Soit A 2 M2(C) une matrice 2_2 et soit _1; _2 les valeurs propres de A. Ainsi, tr(A) = _1 + _2 et det(A) = _1_2. La proposition suit de ces égalités.

Avant de passer à la prochaine section, rappellons quelques points clés qui ont été discutés précédemment. Chaque élément du bidisque symétrisé est uniquement déterminé par une paire d’éléments z1 et z2 du disque unité. Les couples dits (s; p) 2 G, pour « somme » et « produit », possèdent diverses caractérisations qui fournissent une bonne intuition de la structure du bidisque symétrisé. Il a par ailleurs été démontré comment le bidisque symétrisé est très différent géométriquement du bidisque D2. Bien que non convexe, il possède néanmoins d’autres jolies et intéressantes propriétés. En plus de sa riche géométrie, le bidisque symétrisé apparaît dans un cas particulier du problème de Nevanlinna-Pick spectral. C’est à n’en point douter un domaine de l’espace à deux variables complexes de grand intérêt. Notre désir d’approfondir nos recherches sur la géométrie du bidisque symétrisé nous mènera, dans la prochaine section, vers les systèmes de Schwarz-Pick.

Conclusion

De par sa géométrie particulière et son rôle dans le problème de Nevanlinna-Pick spectral (NPS), le bidisque symétrisé a suscité l’intérêt de plusieurs mathématiciens au cours des dernières années. Cet ensemble jouit d’une structure simple caractérisée en termes d’un système de coordonnées intuitif. Une étude analytique et géométrique du bidisque symétrisé mène aux systèmes de Schwarz-Pick, des ensembles de métriques intimement liés aux fonctions holomorphes. Les pseudodistances de Carathéodory et de Kobayashi jouent un rôle de premier plan, celles-ci formant respectivement le plus petit et le plus grand système. Il est possible de trouver une formule explicite pour la pseudodistance de Carathéodory sur le bidisque symétrisé et ce, en exploitant la structure particulière de cet ensemble et en considérant des opérateurs bien choisis. La pseudodistance de Kobayashi est de plus égale à celle de Carathéodory sur ce domaine en particulier.

Pour le démontrer, il faut adopter une stratégie complètement différente. L’idée est de ramenener le calcul de la pseudodistance de Kobayashi à un problème d’interpolation sur le disque unité, c’est-à-dire au problème de Nevanlinna-Pick classique. Que les pseudodistances de Carathéodory et de Kobayashi soient égales sur le bidisque symétrisé est une découverte mathématique des moins banales. C’est pour cette raison que cet ensemble a été au coeur de plusieurs recherches au cours des dernières années. En plus d’apparaître naturellement dans le NPS, la riche géométrie du bidisque symétrisé a su capter d’autant plus l’attention de plusieurs chercheurs dans le domaine. Le bidisque symétrisé ne joue un rôle que dans le NPS pour le cas particulier des matrices 2 _ 2. En ce sens, le bidisque symétrisé a amorcé d’autres recherches autour d’ensembles de dimensions supérieures issus du NPS, c’est-à-dire le polydisque symétrisé [NPTZ08], le tétrabloc [EZ09] ou, plus récemment, le pentabloc [ALY]. Ces derniers semblent posséder une structure tout aussi abondante en termes de vertus géométriques et analytiques. Peut-être ces ensembles sauront-ils nous éclairer sur le NPS ? La recherche d’une solution définitive reste une entreprise longue et difficile que plusieurs qualifieraient même d’aride. Cette poursuite demeure toutefois inévitable, car « [il] y a des vérités qui ne peuvent être révélées qu’à la condition d’être découvertes 1 ».

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Table des matières

Résumé
Table des matières
Liste des figures
Remerciements
Introduction
1 Caractérisation du bidisque symétrisé
1.1 Définitions et notations
1.2 Autres propriétés géométriques
1.3 Les problèmes de Nevanlinna-Pick .
2 Systèmes de Schwarz-Pick
2.1 Motivation
2.2 Un cas plus simple : le disque unité
2.3 Pseudodistance de Carathéodory
2.4 Pseudodistance de Kobayashi
3 Calcul de la pseudodistance de Carathéodory
3.1 Calcul fonctionnel pour un d-uplet matriciel
3.2 À propos des domaines spectraux
3.3 Pseudodistance de Carathéodory sur le bidisque symétrisé
3.4 La forme infinitésimale de Carathéodory
4 Calcul de la pseudodistance de Kobayashi
4.1 Problème de Nevanlinna-Pick classique
4.2 Premier critère d’interpolation dans le bidisque symétrisé .
4.3 Simplification du problème
4.4 Existence d’une solution extrémale de Kobayashi
4.5 Conséquences
Conclusion
A Notation
Bibliographie