Caractérisation des propriétés hydrodynamiques de l’écoulement contrarotatif

Approches théoriques, expérimentales et numériques de la turbulence développée

    Nous renvoyons le lecteur intéressé par les quelques aspects développés ci-après aux ouvrages de Lesieur (1990) et Frisch (1995), aux introductions des thèses de Simand (2002); Marié (2003); Leprovost (2004), et à l’article de portée générale de Dubrulle & Laval (2005). La turbulence développée est un problème fondamental de la physique classique qui reste coriace. L’approche statistique initiée par Kolmogorov (1991a,b) donne des résultats satisfaisants. On utilise souvent l’image de la «cascade de Richardson» pour expliquer la multitude d’échelles spatiales mises en jeu : l’énergie cinétique est donnée par le système de forcage aux structures tourbillonnaires de grande taille qui sont essentiellement non visqueuses et ne peuvent donc dissiper cette énergie ; ces structures de grande taille vont donc se déstabiliser et se fragmenter en structures «filles» plus petites à qui elles vont transférer cette énergie cinétique et ainsi de suite jusqu’à atteindre des structures de taille suffisamment petites pour que l’énergie puisse se dissiper directement par les effets visqueux. On appelle «gamme inertielle» l’étendue des échelles de ces structures non dissipatives. Lorsque le nombre de Reynolds tend vers l’infini, en moyenne sur un ensemble de réalisations, le spectre de puissance spatial se comporte comme k−5/3(k étant le nombre d’onde), et le taux de dissipation massique se conserve à travers les échelles. Les exposants des fonctions de structures ont en outre une variation linéaire avec l’ordre considéré. La pierre d’achoppement de la théorie de Kolmogorov (1991a,b) est son caractère homogène, isotrope et statistique au sens des moyennes d’ensemble, qui impose souvent le recours à une hypothèse ergodique ainsi que son aspect spatial. Or, si les techniques expérimentales ont une très bonne résolution temporelle, elles ont une mauvaise résolution spatiale en règle générale. Les études expérimentales ont ainsi bien souvent dû recourir à «l’hypothèse de Taylor», qui ne s’avère pas toujours applicable, en particulier pour l’écoulement de von Kármán contrarotatif où il n’y a pas de vitesse moyenne mais des structures cohérentes très fluctuantes (Pinton & Labbé, 1994). Le développement de la Vélocimétrie par Imagerie de Particules (PIV) hautement résolue en espace et en temps ou du suivi de particule est prometteur. A cause du très grand nombre d’échelles mises en jeu , la simulation numérique directe ne permet pas encore, et ne permettra sans doute jamais de traiter un problème réaliste (avec des bords) de manière complète. Il faut alors recourir à des modèles. De grands progrès ont été faits dans la caractérisation des petites échelles de la turbulence au cours des deux dernières décennies. Ces travaux ont montré de sérieux écarts à la théorie de Kolmogorov, en particulier en ce qui concerne l’«intermittence» des petites échelles de la turbulence (Castaing et al., 1990; Tabeling et al., 1996; Moisy et al., 1999, 2001). Gageons que ces progrès permettront une meilleure modélisation des petites échelles de la turbulence dans le cadre des simulations numériques. On ne sait en revanche toujours pas prédire la valeur de quantités globales comme la puissance moyenne dissipée dans un écoulement turbulent. Ces quantités d’intérêt pratique peuvent de plus être très fluctuantes et avoir des statistiques non triviales. De nombreuses équipes se sont penchées sur ce problème au cours des dernières années (Labbé et al., 1996a; Cadot et al., 1997;Aumaître, 1999; Pinton & Holdsworth, 1999; Leprovost et al., 2004). Enfin, il ne faut pas oublier la présence éventuelle de structures tourbillonnaires cohérentes à grande échelle, dont on sait le rôle fondamental qu’elles jouent en turbulence bidimensionnelle (Farge et al., 1999), et dont on a montré récemment le rôle prépondérant dans les mécanismes de transport d’énergie dans l’écoulement de von Kármán (Leprovost et al., 2004; Marié et al., 2004a).

Instabilité dans un milieu turbulent : effet dynamo à petit nombre de Prandtl magnétique

   La Terre, comme la plupart des objets astrophysiques possède un champ magnétique propre dont l’origine repose sans doute sur l’effet dynamo, c’est-à-dire une instabilité du champ magnétique due aux mouvements d’un fluide conducteur, en l’occurence le fer liquide dont est composé le noyau terrestre. Or, les métaux liquides possèdent de manière générale un nombre de Prandtl magnétique très faible, ce nombre mesurant la séparation des échelles de dissipation visqueuse et des échelles de dissipation ohmique. Ceci implique que les nombres de Reynolds sont très importants, et donc que les écoulements mis en jeu sont a priori turbulents. Depuis les résultats positifs des deux expériences de dynamo fluide (Gailitis et al., 2000; Stieglitz & Müller, 2001), quelques équipes cherchent à reproduire un effet dynamo dans une expérience de laboratoire, avec des géométries d’écoulement beaucoup moins contraintes, pour l’instant sans succès. En collaboration avec les ENS de Lyon et de Paris, nous avons ainsi construit le dispositif expérimental VKS2, où nous essayons d’engendrer un champ magnétique dans un écoulement turbulent de von Kármán de sodium liquide. La deuxième partie du manuscrit traite du problème de la dynamo, et de l’expérience VKS2. Nous avons décidé dans un premier temps de nous assurer qu’un effet dynamo dû à la partie moyenne du champ de vitesse est possible dans l’expérience. Cette étude est l’objet du deuxième chapitre de la seconde partie. Les premiers résultats de l’expérience sont traités au troisième chapitre. Les problèmes soulevés sont d’ordre très général, notamment l’aspect instabilité en présence de bruit (Leprovost & Dubrulle, 2005). On ne sait encore rien des mécanismes de saturation de l’instabilité dynamo pour un écoulement turbulent, si celle-ci se produit : sur quelles échelles du champ de vitesse la rétroaction des forces de Laplace agit-elle ? Sur la partie moyenne, sur les fluctuations lentes à grande échelle ou bien sur les fluctuations turbulentes à petite échelle ?

1920-1970 : origines et travaux analytiques : la quête de solutions exactes des équations de Navier-Stokes

   Theodore von Kármán (1921) pose le problème original de l’écoulement engendré pour un fluide visqueux incompressible au dessus d’un disque lisse infini en rotation, le fluide étant au repos loin du disque. La quête de solutions exactes des équations de Navier-Stokes est alors un sujet brûlant. Se basant sur un principe de similitude, considérant des solutions stationnaires axisymétriques, et supposant enfin que la vitesse axiale est indépendante de la coordonnée radiale, von Kármán réduit le jeu d’équation de Navier-Stokes à deux équations différentielles ordinaires non linéaires. Si on note Ωf la vitesse de rotation du fluide loin du disque, et Ωd la vitesse de ce dernier, en résumé, von Kármán (1921) se place dans le cas (Ωf = 0; Ωd 6= 0). Puis Bödewadt (1940) s’intéresse au problème complémentaire d’un fluide en rotation uniforme à l’infini freiné par un disque à l’arrêt (Ωf 6= 0; Ωd = 0). On désigne maintenant la couche limite correspondante du nom de «couche de Bödewadt», la couche limite dans le cas du disque en rotation étant souvent appelée «couche de Kármán». Enfin, la couche limite qui se développe dans le cas d’un disque infini en rotation surmonté d’un fluide lui aussi en rotation uniforme à un taux voisin (Ωf ∼ Ωd 6= 0) se nomme «couche d’Ekman», en hommage aux travaux d’Ekman (1905). Batchelor (1951) généralise le problème au cas de deux disques coaxiaux, toujours de rayons infinis, mais séparés d’une distance d arbitraire, et tournant à des vitesses angulaires différentes. Il introduit ainsi un nombre de Reynolds Re basé sur d et sur la vitesse d’un disque. Le rapport des vitesses de rotation s est le deuxième paramètre adimensionnel du problème. Sauf mention contraire, cette notation historique s du rapport des vitesses a été reprise par tous les auteurs cités dans la suite. Batchelor ne résoud pas les équations, mais donne des arguments qualitatifs sur la forme des écoulements à haut nombre de Reynolds.

1990-2000 : «The french washing machine»

   Tous les écoulements décrits jusqu’à maintenant avaient en commun le mode de forçage : un forçage visqueux par les couches limites sur des parois lisses. Au cours de la décennie 90, l’étude de la turbulence pleinement développéee est un sujet très vivace, notamment expérimentalement. Ainsi, sous l’impulsion de Y. Couder de l’ENS-Paris et de S. Fauve de l’ENS-Lyon, une autre branche pour l’écoulement tourbillonnaire de von Kármán se dégage (Douady et al., 1991; Fauve et al., 1993). Il s’agit toujours de l’écoulement produit dans un cylindre de rapport d’aspect unitaire, mais le fluide est entraîné maintenant de manière inertielle au moyen de disques munis de pales. On dispose ainsi d’un écoulement fermé, tenant sur une table, et permettant d’atteindre comme nous le verrons au chapitre 2 des nombres de Reynolds de l’ordre de 106 là où les souffleries les plus « lourdes » atteignent des nombres de Reynolds de 107(Castaing et al., 1990). A titre anecdotique, cette configuration est connue dans la communauté sous l’appellation de « french washing machine ». Notre montage VKE appartient à cette catégorie. L’écoulement pleinement turbulent, inertiellement forcé, de von Kármán a ainsi permis la mise en évidence et l’étude de filaments de vorticité intenses et très intermittents (Douady et al.,1991), connectés à des évènements de basse pression rares et intenses. L’étude des fluctuations de pression est l’objet des travaux de Fauve et al. (1993) et Cadot et al. (1995). Le caractère confiné de cet écoulement conduit à s’interroger sur la validité de l’hypothèse de Taylor —hypothèse de « turbulence gelée » qui permet de faire le lien entre des mesures faites dans le domaine temporel et les propriétés statistiques spatiales de la turbulence— (Pinton &Labbé, 1994). De nombreuses études ont aussi porté sur la caractérisation des petites échelles de la turbulence : mesure des fonctions de structures d’ordre élevé, mise en évidence de l’intermittence et des écarts à la théorie de Kolmogorov (1991b; 1991a). Voir par exemple Zocchi et al. (1994); Tabeling et al. (1996); Moisy et al. (1999, 2001). La statistique de grandeurs globales comme la puissance injectée a également été étudiée (Labbé et al., 1996a; Pinton & Holdsworth, 1999; Titon, 2002; Titon & Cadot, 2003b), en liaison avec le développement d’une physique statistique hors d’équilibre pour décrire la turbulence, et modélisée en terme de processus stochastiques (Leprovost et al., 2004). Récemment, les études du point de vue lagrangien de la turbulence ont été rendues possibles par l’emploi de techniques expérimentales pointues (Mordant et al., 2001; La Porta et al., 2001). Ces travaux montrent des distributions d’accélération très intermittentes, des corrélations à longue portée pour la norme des accélérations, leur direction étant elle très vite « oubliée ».

Mesures de couple et de fréquence de rotation

Mesures logiques sur les variateurs : Les moteurs sont commandés par deux variateurs munis de sorties logiques donnant les couples fournis par les moteurs (proportionnels à l’intensité du courant délivré). Cette mesure est stockée dans une mémoire tampon pouvant contenir 1000 échantillons sur un temps que l’on peut choisir. Les données recueillies ont été étalonnées par calorimétrie, en comparant l’échauffement du fluide contenu dans le dispositif sous l’action des moteurs, puis sous l’action d’une résistance chauffante calibrée. Les variateurs sont aussi capables d’enregistrer de manière similaire la fréquence de rotation des moteurs, grâce à des codeurs optiques montés sur les arbres des moteurs. Le principal défaut de cette méthode directe réside dans la taille limitée du tampon, dans le temps de transfert de l’ordre de 15 secondes entre variateurs et ordinateur, et dans le fait que les mesures sur les deux variateurs ne sont pas synchronisées. Or, nous avons éprouvé le besoin d’acquérir de manière synchrone les couples sur les deux moteurs, et ce sur des temps très longs, notamment lors des études systématiques sur les statistiques de transition (chapitre 3 page 73).

Mesures analogiques sur les variateurs : Contrairement aux travaux de Louis Marié durant sa thèse (2003), nous avons donc utilisé en majorité les sorties analogiques des variateurs, qui fournissent des tensions proportionnelles aux fréquences de rotation et aux couples délivrés. Ces sorties analogiques sont très bruitées, ce qui avait jusqu’alors limité leur utilisation. Nous avons tracé sur la figure 1.13 (a) un extrait de une seconde d’un signal de couple sur la sortie 1. Les deux moteurs sont à l’arrêt, le signal est acquis pendant 600s à 2kHz. Les filtres sinusoïdaux Schaffner ne sont pas installés (voir 1.2.1 page 18). La plage de variation sur les sorties est de ±1V : grossièrement, 1V correspond à 10N.m. On remarque qu’effectivement, la sortie est très bruitée : on note des variations à l’oeil jusqu’à 50mV du signal. Si maintenant on calcule des quantités plus exactes, on trouve une déviation standard de 23mV . Nous avons également calculé la fonction de densité de probabilité (PDF) pour ce signal, et l’avons tracée en figure 1.13 (d). On détecte des évènements très intenses, jusqu’à ±200mV . Si maintenant on s’intéresse au spectre de puissance (figure 1.13 (g)), on note des pics très importants, notamment vers 200Hz et 700Hz. Si on acquiert à plus haute fréquence, on aura toujours des pics très importants aux hautes fréquences, dont l’origine est probablement

Table des matières

Introduction Générale
I Etude expérimentale des propriétés hydrodynamiques de l’écoulement tourbillonnaire de von Kármán 
1 Présentation du dispositif expérimental 
1.1 Etude bibliographique de l’écoulement tourbillonnaire de von Kármán
1.1.1 1920-1970 : origines et travaux analytiques : la quête de solutions exactes des équations de Navier-Stokes
1.1.2 1930-1980 : le développement des techniques numériques
1.1.3 1980-2000 : études expérimentales et numériques d’instabilités dans l’écoulement tourbillonnaire de von Kármán avec forçage visqueux
1.1.4 1990-2000 : «The french washing machine»
1.2 Le montage VKE
1.2.1 Dimensions, évolutions
1.2.2 Adimensionnement
1.2.3 Paramètres géométriques
1.2.4 Symétries du montage
1.2.5 Paramètres de contrôle liés au forçage
1.2.6 Propriétés hydrodynamiques des fluides utilisés
1.2.7 Phénoménologie de l’écoulement moyen
1.3 Mesures effectuées et techniques afférentes
1.3.1 Mesure des champs de vitesse dans l’expérience VKE
1.3.2 Mesures de couple et de fréquence de rotation
1.3.3 Incertitudes expérimentales
2 Caractérisation des propriétés hydrodynamiques de l’écoulement contrarotatif
2.1 Définition des grandeurs hydrodynamiques caractéristiques d’un écoulement
2.2 Ecoulement contrarotatif entre disques lisses vs. écoulement entre disques munis de pales, à grand nombre de Reynolds (Re & 105)
2.2.1 L’écoulement contrarotatif est pleinement turbulent dans les deux cas pour Re & 105
2.2.2 La dépendance en Re de la dissipation est différente pour un forçage visqueux ou inertiel
2.2.3 Comparaison des champs de vitesse moyens
2.2.4 Conclusions
2.3 Caractérisation de l’écoulement contrarotatif forcé inertiellement à grand nombre de Reynolds en fonction de la forme du dispositif de forçage
2.3.1 Synthèse des grandeurs globales mesurées
2.3.2 Quantités locales dérivées des champs de vitesse moyens
2.3.3 Principaux effets de la courbure des pales
2.3.4 Principaux effets du rayon des turbines
2.3.5 Conclusions, liens avec l’optimisation de l’expérience VKS2
2.4 Turbulence, structures cohérentes et transport du moment cinétique
2.4.1 Rendement hydrodynamique et turbulence pleinement développée
2.4.2 Rôle des structures cohérentes de la couche de mélange dans le transport de moment cinétique
2.4.3 Effet de l’ajout d’un anneau en paroi
2.4.4 Conclusions sur l’écoulement forcé inertiellement à Re & 105
2.5 Transition à la turbulence de l’écoulement de von Kármán forcé inertiellement
2.5.1 Etat de base et première instabilité
2.5.2 Cascade de bifurcations super-critique
2.5.3 Conclusions sur l’écoulement laminaire et la transition à la turbulence
2.6 Conclusions sur l’écoulement de von Kármán contrarotatif
3 Etude de «la bifurcation globale» de l’écoulement turbulent de von Kármán 
3.1 Coexistence de trois régimes d’écoulement
3.1.1 Ecoulement produit par un seul disque en rotation
3.1.2 Deux disques en rotation : transitions entre états à une et deux cellules
3.1.3 La bifurcation globale : une brisure « statistique » de symétrie est possible
3.1.4 Contrôle en couple
3.1.5 Questions posées – plan du chapitre
3.2 Propriétés dynamiques et statistiques des différents régimes d’écoulement en θ = 0
3.2.1 Etude de la puissance totale injectée et de ses fluctuations
3.2.2 Etude des fluctuations de pression dynamique
3.2.3 Intercorrélation des couples
3.2.4 Conclusions
3.3 L’état symétrique : étude de stabilité
3.3.1 Protocole de mesure du temps d’attente avant bifurcation
3.3.2 Statistique des temps d’attente avant bifurcation
3.3.3 Etude du temps caractéristique en fonction de f et θ : stabilité marginale de l’état symétrique
3.4 Les états bifurqués
3.4.1 Oscillations des états bifurqués
3.4.2 Transitions entre états bifurqués
3.4.3 Conclusions sur l’étude des états bifurqués
3.5 Modifications du cycle par des ailettes latérales
3.5.1 Evolution des cycles ∆Kp(θ) et Kp(θ) en fonction de l’épaisseur des ailettes
3.5.2 Fluctuations des couples en fonction du type d’écoulement ; évolution avec la taille des ailettes
3.5.3 Stabilité de la branche centrale avec ailettes de 5mm
3.5.4 Conclusions sur l’effet des ailettes
3.6 Effet de la forme des turbines
3.6.1 Evolution de la nature des transitions
3.6.2 Evolution du taux de fluctuation des couples
3.7 Dynamique instationnaire et intermittente, pilotage en couple
3.7.1 Au delà des écoulements stationnaires en moyenne
3.7.2 Etats intermédiaires pour les turbines TM602 commandées en vitesse
3.7.3 Exploration de la «zone interdite» pour les turbines TM602 commandées en couple
3.8 Rôle du champ de vitesse moyen et du nombre de Reynolds
3.9 Discussion, modélisation
3.9.1 Nature des cycles observés et forme de l’écoulement moyen
3.9.2 Rôle du bruit, interprétation de la loi exponentielle
3.9.3 Description par une équation d’amplitude
4 Conclusion de la première partie 
II Etude numérique et expérimentale de l’instabilité dynamo pour l’écoulement de von Kármán 
1 Introduction au problème de l’effet dynamo 
1.1 Contexte astrophysique et géophysique
1.2 La géodynamo
1.3 L’effet dynamo par l’exemple : la dynamo homopolaire de Bullard (1955)
1.3.1 Effet d’amplification d’un champ appliqué, nombre de Reynolds magnétique
1.3.2 Analyse de stabilité linéaire du montage
1.3.3 Saturation non linéaire de la dynamo de Bullard
1.4 Magnétohydrodynamique et effet dynamo
1.4.1 Equations de la magnétohydrodynamique
1.4.2 Simplification du problème : la dynamo cinématique
1.4.3 Principaux résultats théoriques portant sur l’effet dynamo cinématique
1.5 Dispositifs expérimentaux de mise en évidence de l’effet dynamo
1.5.1 Dynamos solides
1.5.2 Dynamos fluides « contraintes »
1.5.3 Dynamos fluides « homogènes »
2 Etude de l’effet dynamo cinématique du champ de vitesse moyenné dans le temps pour un écoulement de von Kármán contrarotatif / optimisation de l’expérience VKS2 
2.1 Objectifs de l’optimisation – résumé des résultats forts
2.2 Introduction
2.3 Experimental and numerical tools
2.3.1 What can be done numerically
2.3.2 Experimental measurements
2.3.3 Kinematic dynamo simulations
2.4 Optimization of the VKS experiment
2.4.1 Optimization process
2.4.2 Impeller tunable parameters
2.4.3 Global quantities and scaling relations
2.4.4 Influence of the poloidal/toroidal ratio Γ
2.4.5 Effects of the impeller radius R
2.4.6 Search for the optimal blade curvature
2.4.7 Optimal configuration to be tested in the VKS2 sodium experiment
2.4.8 Role of flow helicity vs. Poloidal/Toroidal ratio
2.5 Impact of a conducting layer on the neutral mode and the energy balance for the VKS2 optimized velocity field
2.5.1 Neutral mode for w = 0
2.5.2 Effects of the conducting layer
2.5.3 Energy balance
2.5.4 Neutral mode structure
2.5.5 Dynamo threshold reduction factor
2.6 Conjectures about dynamo mechanisms
2.6.1 Axial ω-effect
2.6.2 α-effect, helicity effect
2.6.3 Is an “α”ω mechanism relevant ?
2.6.4 Radial ω-effect, boundary layers and static shell
2.6.5 A shear and shell dynamo ?
2.7 Conclusion
2.8 Compléments à l’article, limitations de notre démarche
3 Premiers Résultats de l’expérience VKS2 
3.1 Présentation du dispositif expérimental VKS2
3.2 Régimes de fonctionnement atteints
3.2.1 Mesures de puissance électrique sur les moteurs
3.2.2 Mesures de puissance thermique évacuée en régime permanent
3.2.3 Conclusions sur le bon fonctionnement de l’expérience
3.3 Réponse à un champ appliqué transverse
3.3.1 Protocole expérimental
3.3.2 Résultats expérimentaux
3.4 Conclusions sur les premiers résultats de l’expérience VKS2
4 Conclusion de la seconde partie 
Synthèse des conclusions, perspectives
Annexes
A Notion de loi de comportement, viscosité d’un fluide newtonien
B Biais LDV
C LDV dans les pales — Validation du protocole de reconstruction du champ de vitesse
D Compléments sur l’écoulement contrarotatif de von Kármán
E Compléments sur l’étude de la bifurcation globale
E.1 Synthèse quantitative de l’évolution des cycles d’hystérésis avec la taille des ailettes et la courbure des pales
E.2 Anneau et grille
F Description et tests du code de dynamo cinématique
F.1 Description du code de dynamo cinématique
F.2 Bilan d’énergies
G Etude d’un système forçant la convection thermique dans la couche conductrice de VKS2
G.1 Objectifs
G.2 Les différentes configurations
G.2.1 Première configuration
G.2.2 Deuxième configuration
G.2.3 Troisième configuration
G.2.4 Quatrième configuration
Bibliographie
Résumé

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