Calcule des variations 

Calcule des variations 

Approche – calcule des variations

introduction

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul des va-riations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de minimi-ser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d’une fonction qui est l’inconnue du problème. Il s’agit donc d’un problème de minimisation dans un espace fonctionnel, de dimension infinie en général. Le calcul des variations s’est développé depuis le milieu du XVIIIe siècle jusqu’aujourd’hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950.
Parmis les principaux résultats du calcul des variations , on a l équation d’Euler-Lagrange qui nous sera utilise pour résoudre le problème brachistochrone.

Élément de cours de calcule des variations

Le problème de Brachistochrone est un cas particulier des problèmes de calcule de variations. Ce problème est parmi les bases de développement de la théorie de calcule des variations. Dans la suite on va présenter quelques éléments de la théorie de calcule des variations.
Notons : C([a, b]) l’espace des fonctions continues sur [a, b], et Cr([a, b]) l’espace des fonctions de classe Cr sur [a, b].
Proposition 2.1 : Notons χ l’espace C([a, b]), muni de la norme :
kxkc = kxk∞ = max |x(t)|. t∈[a,b]
Alors l’espace normé χ est un de Banach.
Proposition 2.2 Notons Υ l’espace C1([a, b]), muni de la norme :
kxkD = kxk∞ + kx0k∞.
La convergence d’un x ∈ Υ est équivalente a la convergence uniforme de x et x0 dans l’intervalle [a, b].
La formulation d’un problème en calcul de variations est la suivante :
Soit L : R × R × R −→ R, (t, x, y) −→ L(t, x, y), de classe Cr avec (r ≥ 2). Pour
tout ∀x ∈ C1[a, b], et pour tous réels A et B satisfaisants les conditions : x(a) = A et x(b) = B , On cherche une fonction x qui minimise la fonctionnelle suivante :
Z b I[x] = L(t, x(t), x0(t))dt
Le L est appelé Lagrangienne du problème.
Définition 2.1 La fonction x∗ ∈ C1([a, b]) est dite ; minimum local faible s’il minimise la fonctionnelle I dans dans un voisinage de x∗ de Υ . Et elle est dite minimum local fort s’elle minimise I dans un voisinage de x∗ de χ.
Exemple 2.1 La fonction x ≡ 0 est un minimum local faible mais ce n’est pas un minu-mum local fort pour la fonctionnelle I définie sur C1([0, π]) par :
I[x] = x(t)2(1 − x0(t))dt avec x(0) = 0, x(π) = 0
On a la fonction I[x] est est positive sur la boule unité ouverte B1(0) = x ∈ Υ : kxkD < 1. et donc x∗ ≡ 0 est un minimum local faible. Mais si kx0(t)k∞ devient très grand ; la fonc-tionnelle I peut être devenir négative. Soit > 0 et n ∈ N, concéderons l’oscillation à haute fréquence et basse amplitude xn ∈ C1([0, π]) suivante :
xn(t) = sin(nt)
Dans la suite nous développons des conditions nécessaires pour qu’une fonction x∗ soit un minimum local faible de la fonctionnelle I.
Si x∗ est un minimum local de I, il existe r > 0 tel que, pour chaque h ∈ C1([a, b]) vérifiant h(a) = h(b) = 0, on a
I[x∗] ≤ I[x∗ + h]
Corollaire 2.2 [6](équation du premier intégral ou de Beltrami )
si x∗ est un minimum faible pour la fonction I et de classe C2 et que la fonction L est invariante en temps, alors la fonction

Application au problème

On considère un point matériel qui ce déplace d’un point A à un point B et suivant une courbe (voir figure 2.1)La vitesse à l’instant t du point matériel qui ce déplace sur la courbe la courbe s’écrit sous la formeds V = dt avec s est l’abscisse curviligne.

Table des matières

1 Resolution Historique Du Problème 
1.1 Histoire Du Problème
1.2 Démonstration historique de Jean Bernoulli
1.2.1 Loi de Snell-Descartes
1.2.2 Étude du problème
2 Approche – calcule des variations 
2.1 introduction
2.2 Élément de cours de calcule des variations
2.3 Application au problème
3 Approche – Contrôle Optimal
3.1 Le principe du minimum de Pontrjagin
3.2 application Au problème brachistochrone
Bibliographie

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