Calcul en dynamique transitoire en présence de variabilité paramétrique

Méthode de décomposition de domaine

   Les méthodes de décomposition de domaine ont été initialement introduites pour la résolution d’équations aux dérivées partielles par H.A. Schwarz [Schwarz 1869]. Elles se sont ensuite avérées très adaptées au calcul parallèle haute performance, notamment en mécanique des fluides, puis en calcul de structure. Elles ont été appliquées à la résolution d’équations aux dérivées partielles elliptiques, paraboliques ou hyperboliques discrétisées par éléments finis, différence finie et méthodes spectrales. Ces techniques ont en commun la manière de traiter les problèmes de taille importante. En calcul de structure, il s’agit de diviser la structure à étudier et donc des équations associées. Ces méthodes se sont avérées très intéressantes pour traiter les problèmes de contact [Alart et al. 2000, Barboteu et al. 2001] ainsi que les problèmes de dynamique [Barboteu 2005]. Les différentes méthodes se caractérisent par le choix des inconnues aux interfaces et la nature de l’interface. On peut citer quatre familles principales de méthodes de décomposition de domaines :
• avec recouvrement éventuel des sous-domaines
– méthodes de Schwarz [Schwarz 1869], [Lions 1990]
• sans recouvrement des sous-domaines
– méthodes de Schur primale [Przemieniecki 1963], [Mandel 1993]
– méthodes de Schur duale [Farhat et Roux 1994], [Roux 1990]
– méthode mixtes [Le Tallec 1994], [Glowinski et Le Tallec 1990], [Ladevèze 1985a] L’utilisation d’une méthode de décomposition de domaine en dynamique transitoire ne pose pas de difficulté majeure supplémentaire par rapport à la version en statique. En effet, l’utilisation d’un schéma d’intégration temporel permet de se ramener à la résolution de problèmes à chaque piquet de temps du même type que ceux rencontrés en statique.

La méthode de Schwarz

   Dans cette approche, il y a recouvrement partiel des sous-domaines. Autrement dit, la dimension physique des interfaces est la même que celle des sous-domaines. De nombreux résultats mathématiques portent sur cette méthode [Lions 1990] et on trouve des applications en mécanique des structures notamment dans [Roux 1990,L.Badea 1991]. Cependant, les méthodes avec recouvrement restent à ce jour marginales. Elles sont beaucoup moins utilisées que les méthodes de Schur où la taille du problème d’interface est de dimension physique égale à 2 pour un problème 3D

La méthode BDD

   L’inversion des matrice KE et KE′ étant prohibitive, la résolution du problème nécessite un traitement spécifique des termes KbEKE−1KEb et KbE′T KE′−1KE′b. Ainsi, même si la résolution directe du problème offre une grande robustesse et est aisément parallélisable, des méthodes de résolution itératives du type gradient conjugué sont employées pour éviter ces inversions coûteuses de matrice. La convergence des algorithmes de gradients conjugué est directement liée au conditionnement du problème à résoudre. Elle peut être fortement améliorée par l’utilisation d’un préconditionneur qui permet de diminuer le conditionnement du système. Il existe de multiples préconditionneurs efficaces dédiés à la méthode de Schur primale. On peut citer les travaux de [De Roek et Le Tallec 1990] ou encore les préconditionneurs de type « Neumann » [Le Tallec 1994]. L’approche « Balanced Domain Decomposition » (BDD [Mandel 1993]) propose une amélioration de la méthode. Cette méthode utilise d’une part un préconditionneur qui peut s’apparenter à celui de Neumann. D’autre part un problème global/grossier sur toute la structure est introduit dans la stratégie, ce problème permet de rendre la méthode extensible.

Méthodes multi-pas de temps

   Certains travaux se sont intéressés à optimiser les méthodes de décomposition de domaine dans le cas des problèmes d’évolutions. Ces approches consistent d’une part à coupler différents schémas d’intégration temporelle au sein d’un même problème et d’autre part à utiliser des discrétisations temporelles différentes dans des régions séparées d’une structure. Ces techniques sont particulièrement utiles, voir même obligatoires dans certains cas, lorsque des zones de l’espace ne nécessitent pas la même description temporelle [Dureisseix et al. 2003, Combescure et Gravouil 2002]. Les premier travaux dans ce domaine sont les méthodes mixtes décrites dans [Hughes et Liu 1978]. Elles ont proposé de coupler différents schémas (par exemple explicite/implicite), le pas de temps y est cependant identique sur chaque sousstructure. D’autres méthodes ont également été développées : les méthodes de sous-cyclage ou multi-pas en temps [Belytschko et al. 1979]. Elles permettent quand à elles de prendre en compte des discrétisations temporelles différentes. Puis, des méthodes mixtes avec sous-cyclage combinant les deux approches précédentes ont été proposées [Belytschko et al. 1985, Gravouil et Combescure 2001, Combescure et Gravouil 2001]. Ces méthodes permettent alors d’utiliser une discrétisation temporelle fine dans certaines zones, afin de modéliser des phénomènes complexes, sans que cela devienne pénalisant pour le reste de la structure. Ces méthodes ont été appliquées à la simulation d’impact en dynamique transitoire [Combescure et Gravouil 2002], elles ont été ensuite associées à des méthodes multiéchelles en espace dans [Gravouil et Combescure 2003]. Dans [Combescure et Gravouil 2002], une méthode de décomposition de domaine en dynamique transitoire est proposée. Les sous-structures sont associées à des schémas d’intégration et des discrétisations temporelle différents

Algorithme de résolution : la méthode LaTIn

   L’approche proposée ici s’appuie sur une technique de résolution de type LaTIn (LArge Time INcrément method). Proposée en 1985 dans [Ladevèze 1985c], elle s’inscrit dans un cadre général de résolution de problèmes non-linéaires d’évolution. Par itérations successives, l’état des inconnues est affiné jusqu’à convergence de la méthode. La convergence de la méthode a été démontrée pour un large type de matériaux dans [Ladevèze 1996]. Dans le cadre de cette étude, nous utilisons la méthode LaTIn pour résoudre le problème de dynamique sous-structuré avec prise en compte du contact avec frottement. Pour cela nous reprenons les deux premiers principes de la méthode :
– Séparation des difficultés
– Algorithme itératif à deux étapes
La méthode LaTIn comporte un troisième point (le point P3). Ce dernier point porte sur la représentation des inconnues : l’approximation radiale [Ladevèze 1985b] ou approximation PGD (Proper Generalized Decomposition). En quasi-statique, les champs inconnus sont décrits comme une somme de produits de fonctions du temps par des fonctions d’espace. Cette description des inconnues n’est pas adaptée au problème de dynamique. Le dernier point de la méthode LaTIn n’est donc pas utilisé dans ce travail.

Table des matières

Table des matières
Introduction
1 Méthode de sous-structuration/multiéchelle en dynamique 
1 Problème de référence
2 Méthode de décomposition de domaine 
2.1 La méthode de Schwarz
2.2 La méthode de Schur primale
2.3 La méthode de Schur duale
2.4 Approches mixtes
3 Stratégies de calcul multiéchelle
3.1 La méthode Arlequin
3.2 Méthodes multi-pas de temps
2 La méthode LaTIn multiéchelle dédiée à la dynamique 
1 Problème de référence sous-structuré
1.1 Partitionnement en sous-structures et interfaces
1.2 Problème sous-structuré
2 Description multiéchelle introduite au niveau des interfaces 
2.1 Définition des quantités macroscopiques
2.2 Choix des quantités macroscopiques
2.3 Admissibilité des quantités macroscopiques
3 Algorithme de résolution : la méthode LaTIn
3.1 Séparations des difficultés
3.2 Algorithme itératif à deux étapes
3.3 Ecriture des problèmes à résoudre
3 Mise en oeuvre numérique et informatique 
1 Discrétisation 
1.1 En espace
1.2 En temps
2 Traitement du schéma itératif
2.1 Etape locale
2.2 Etape linéaire
2.3 Algorithme de la stratégie
3 Une stratégie de calcul parallèle 
3.1 Un code de calcul éléments finis
3.2 Parallélisation de la stratégie
4 Comportement de la stratégie
4.1 Comparaison entre les méthodes mono/multiéchelle
4.2 Extensibilité de la stratégie
4.3 Performance, Speed-up
4.4 Traitement du contact
4 Une stratégie de calcul dédiée aux études paramétriques 
1 Etat de l’art : stratégie de calcul multirésolution 
1.1 Préambule
1.2 Méthode de perturbation
1.3 Méthode de Neumann
1.4 Méthode spectrale
2 Stratégie multirésolution basée sur la méthode LaTIn 
2.1 Principe
2.2 Application à la dynamique transitoire
2.3 Comportement de la stratégie
5 Exemples de simulation et d’application 
1 Exemple d’étude paramétrique sur un cas académique 
2 Exemple d’assemblage – liaison « SSS » 
2.1 Etude paramétrique
2.2 Calcul haute performance
3 Matériau fortement hétérogène 
3.1 Etude paramétrique
3.2 Calcul haute performance
Conclusion
Bibliographie

Télécharger le rapport complet