Soutenance mémoire
Actuellement en physique atomique les études concernant la détermination des caractéristiques des états doublement excités telles que les énergies totales, les largeurs totales ainsi que les sections efficaces d’autoionisation revêtent d’une grande importance. Ces études ont permis aux théoriciens et aux expérimentateurs de mettre en évidence l’importance des phénomènes de corrélations électroniques d’abord dans les états doublement excités des systèmes atomiques à deux électrons puis dans les états triplement excités des systèmes atomiques à trois électrons. Plusieurs méthodes de calcul ont été utilisées par les théoriciens. Nous pouvons en citer quelques unes : la méthode variationnelle [1-5]; la théorie des perturbations combinées à la méthode variationnelle ; la méthode des opérateurs de projection de Fechbach [6,7] avec ses variantes telles que la méthode de diagonalisation tronquée (TDM) [8-14] et la méthode de stabilisation [15,16] ; la méthode de la rotation complexe utilisée par Ho [17-22], ainsi que par Ho et ses collaborateurs [23-26].
Bien que beaucoup d’efforts ont été déployés durant ces dernières années dans la mise au point de plusieurs méthodes théoriques pour la description des systèmes atomiques à deux électrons, il reste encore possible de faire d’autres études dans ce domaine afin de tester de nouvelles méthodes théoriques pouvant contribuer à une meilleur compréhension des phénomènes de corrélations électroniques. Le présent travail est consacré à la description des états singulets doublement excités nlnl’ et (nl) 2 de l’hélium et des ions héliumoїdes[27]. Cette description utilise des fonctions d’onde de formes spéciales obtenues par la combinaison des fonctions d’onde radiales hydrogenoїdes incomplètes avec les fonctions d’onde de type Hylleraas. Les calculs sont basés sur la méthode variationnelle combinée à la théorie de l’interaction des configurations.
Méthode variationnelle
La méthode des perturbations stationnaires nécessite la connaissance des valeurs propres et des vecteurs propres associés à l’Hamiltonien non perturbé. Il n’est parfois pas possible de décomposer l’Hamiltonien en une partie principale Ĥ 0 et une perturbation V. Il arrive aussi que l’on ne sache pas résoudre le problème correspondant à l’Hamiltonien non perturbé. Dans beaucoup de cas, que ce soit en physique ou en chimie, on s’intéresse à l’énergie de l’état fondamental. La méthode variationnelle, que nous allons présenter maintenant, est alors un outil d’approximation simple et puissant pour résoudre ce genre de problème. Cette méthode est basée sur une propriété mathématique que nous allons maintenant exposer [28]. Considérons un système dont l’Hamiltonien est Ĥ. Supposons, pour l’instant, que nous ayons résolu l’équation aux valeurs propres :
Ĥ | Фi > = Ei | Фi >
Par conséquent nous connaissons les vecteurs propres | Ф0>, | Ф1>,… | Фi > et les valeurs propres correspondantes classées par valeurs croissantes E0< E1<…< Ei associées à Ĥ. Nous supposerons, pour simplifier, que ces dernières sont discrètes et non dégénérées.
Le principe de la méthode est donc simple. On se donne une classe de fonctions dépendant d’un ou plusieurs paramètres α, β, …On calcule l’énergie du système en utilisant cette classe de fonctions et l’équation ( I -2 ) . On obtient alors une énergie E (α, β, …) qui dépend des paramètres α, β, … On cherche ensuite la plus petite valeur de cette énergie en minimisant E (α, β, …) par rapport aux paramètres α, β, … La valeur minimum trouvée Emin, est toujours supérieure ou égale à l’énergie de l’état fondamental. Elle représente la meilleure approximation possible de la solution exacte pour la classe de fonctions considérée. Si l’on a de la chance, on peut même trouver l’énergie de l’état fondamental. Le choix de la classe de fonctions à considérer est donc très important. Il doit être fait très soigneusement en tenant compte des caractéristiques physiques et des symétries du problème posé. La méthode variationnelle est un moyen simple d’estimer l’énergie de l’état fondamental d’un système. Le résultat est d’autant meilleur que le choix de la classe de fonctions permet de mieux décrire la vraie fonction d’onde. Le choix n’est pas facile pour des problèmes compliqués et nécessite toute l’intuition du physicien. Le problème de cette méthode est qu’elle ne permet pas de savoir si l’on se trouve loin ou près du résultat exact. Une estimation peut être faite si l’on a pu mesurer exactement l’énergie de l’état fondamental. Nous travaillons donc un peu en aveugle. Si la fonction d’onde n’est pas très proche de la vraie fonction d’onde, elle peut, pour calculer une autre propriété autre que l’énergie du système, s’avérer désastreuse. Son utilisation, pour le calcul d’autres observables doit donc être faite avec la plus grande prudence.
La méthode des perturbations
Etats non dégénérés
Soit un système auquel correspond un Hamiltonien Ĥ 0 dont nous supposons que les valeurs propres E )0( k sont connues. Nous supposons en outre que les états ne sont pas dégénérés. Soit maintenant un Hamiltonien Ĥ qui se déduit de Ĥ 0 par insertion d’un terme supplémentaire, que l’on peut rendre aussi petit que l’on veut et que l’on écrit sous la forme λĤ1 où λ est un facteur d’échelle que l’on suppose petit devant 1 [29].
Ĥ = Ĥ 0 + λ Ĥ1 ( I -6 )
Nous cherchons les valeurs propres et les fonctions propres de Ĥ sous la forme d’un développement en puissances de λ, c’est-à-dire :
E k = E )0(k + λ E )1(k + λ 2 E )2(k + ……… ( I -7 -a )
Formalisme des opérateurs de projection de Feschbach
Le formalisme des opérateurs de projection a été développé par Feschbach dans ces travaux sur la théorie unifiée des résonances nucléaires [30]. Selon la théorie de Feschbach, l’équation de Schrödinger ( H – E ) | ψ > = 0 du système atomique » projectile + cible » représentée par la fonction d’onde ψ, peut être transformée en deux équations couplées à l’aide des opérateurs de projection P et Q.
( E – H PP ) P | ψ > = H PQ Q | ψ > ( I -17-a )
( E – HQQ ) Q | ψ > = HQP P | ψ > ( I -17-b )
Où :
H PP = PHP H PQ = PHQ
HQQ = QHQ H QP = QHP
P est l’opérateur de projection sur les canaux ouverts et Q l’opérateur de projection sur les canaux fermés. Les opérateurs P et Q satisfont aux relations suivantes :
P 2 = P Q 2 = Q PQ = 0 P + Q = 1.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE I : REVUE DE QUELQUES METHODES THEORIQUES DANS L’ETUDE DES ETATS DOUBLEMENT EXCITES
I. 1. Méthode variationnelle
I. 2. Méthode des perturbations
I. 2. a. Etats non dégénérés
I. 2. b. Etats dégénérés
I. 3. Formalisme des opérateurs de projection de Feschbach et la méthode de diagonalisation tronquée
CHAPITRE II : EXPRESSIONS DES ELEMENTS MATRICIELS DE QUELQUES ETATS SINGULETS DOUBLEMENT EXCITES nlnl’et (nl) 2
II. 1. Expressions des fonctions d’onde nlnl’et (nl) 2
II. 2. Expressions littérales des éléments matriciels et de l’énergie totale
II. 2. 1. Les éléments matriciels de la constante de normalisation
II. 2. 2. Les éléments matriciels de l’opérateur de l’énergie cinétique des deux électrons
II. 2. 3. Les éléments matriciels de l’opérateur de l’énergie d’interaction entre le noyau et les deux électrons
II. 2. 4. Les éléments matriciels de l’opérateur de l’énergie d’interaction entre les deux électrons
CHAPITRE III : ETUDE DES PROGRAMMES DE CALCULS UTILISES ET APPLICATIONS AUX CALCULS DES ENERGIES DE QUELQUES ETATS
III. 1. Présentation du PROGRAMME 1
III. 2. Présentation du PROGRAMME 2
III.3. Discussions sur les programmes
III. 4. Applications
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
