Calcul à l’echelle méso avec interface non locale des composites stratifiés

Modèles à grande échelle

   La modélisation à grande échelle permet d’avoir des solutions à faible coût numérique. Généralement, la structure laminée est modélisée avec une approche de plaque ou coque. L’objectif de ces théories est de réduire la dimension du problème à un problème bidimensionnel. Le domaine de validité reste assez restreint, car le ratio entre l’épaisseur et les autres dimensions de la plaque (coque) doit être grand (un rapport de 10 minimum). Les différentes orientations des plis sont prises en compte par l’introduction d’un modèle élastique anisotrope. La différence primordiale entre les différents modèles existants est la forme donnée à priori au champ déplacement dans l’épaisseur de la plaque (coque). Pour l’utilisation dans le cadre de composites, de nombreuses théories prenant en compte les différentes couches du stratifié ont été mises en place (Caron et et A. Diaz, 1999; Reddy, 1984). Tous ces modèles imposent une forme du champ de déplacement à priori dans l’épaisseur du stratifié ou dans l’épaisseur de chaque pli. Ces hypothèses ne sont donc valides que pour des sollicitations relativement douces dans l’épaisseur du stratifié. Un des points faibles de ces théories est donc la très mauvaise capacité à capter les effets de bord, donc l’influence des accidents géométriques (trous, reprise de plis. . .)qui sont assez souvent à l’origine des mécanismes de dégradation. Pour la plupart des cas, une analyse à cette échelle se déroule de la manière suivante : d’abord, une simulation élastique est réalisée sur l’ensemble de la structure avec un modèle de plaque (ou coque). Une reconstruction des quantités locales est effectuée à postériori à partir des quantités calculées. Ensuite, un critère de rupture est appliqué à  directions principales du matériau. La comparaison de la contrainte locale par rapport aux contraintes de rupture permettra la détermination du point de défaillance de la structure. La même démarche peut être appliquée en utilisant comme quantités d’intérêt la déformation à rupture dans les trois directions principales. Un des points faibles de cette approche est qu’elle ne prend pas en compte l’interaction entre les différents modes de ruptures, et elle peut mener à une surestimation de la contrainte de défaillance.

Modèles à l’échelle méso

   L’échelle méso, comme son nom le dit, est l’échelle intermédiaire entre l’échelle de la structure (macro) et l’échelle du matériau (micro). Elle est tout à fait appropriée à la modélisation, de manière homogénéisée, des mécanismes de dégradation du matériau deséchelles inférieures (par exemple la décohésion fibre-matrice et la plasticité de la matrice). Mais elle permet également de garder l’hétérogénéité structurale (par exemple les plis à différentes orientations, les trous. . .), qui est très importante pour une description correcte des phénomènes où la redistribution de contrainte joue un rôle majeur (macrodélaminage). De très nombreux travaux ont été menés dans le cadre de la mécanique continue de l’endommagement. Les microfissures à l’intérieur d’un matériau ne sont plus décrites comme des discontinuités du milieu, mais par un abaissement de la raideur. Cette idée,originale de Rabotnov et Kachanov, a été développée par Lemaître et Chaboche pour les matériaux métalliques, et par Mazars et Pijaudier-Cabot pour les matériaux du génie civil. Dans le cadre de matériaux anisotropes et en particulier des composites, une solution est proposée par Ladevèze (1983). Il s’agit d’utiliser un minimum de variables internes pour caractériser l’état du matériau et la construction d’une cinématique d’endommagement appropriée au type de matériau étudié. Une des mises en œuvre de cette théorie est le méso-modèle pour les composites stratifiés (Ladevèze, 1986). Une de ses particularités est le traitement des dégradations de façon continue à l’échelle du pli. Ce modèle a été retenu pour le reste de l’étude, il est exposé en détail dans le chapitre suivant.

Méthode des éléments finis

   La résolution du problème de référence se fait classiquement par l’utilisation de la méthode des éléments finis (Zienkiewicz et Taylor, 1987). Pour cela, la structure est découpée en éléments auxquels sont associées des fonctions d’interpolation appelées « fonctions de forme ». Le champ de déplacement U en un point quelconque du maillage est alors fonction des déplacements nodaux u. Les quantités dérivées, comme la déformation, sont calculées à partir des déplacements nodaux et les fonctions d’interpolation à l’intérieur de chaque élément.En général, pour rendre les calculs plus légers, le domaine d’étude est simplifié au maximum. La prise en compte des plans de symétrie, de l’axisymétrie et même de la périodicité du domaine d’étude permet de diminuer considérablement le nombre de degrés de liberté du maillage éléments finis. Dans le cas des structures composites laminées, la présence de plis à des angles différents de 0◦ au 90◦ ou bien des accidents géométriques (trous, reprise de plis) fait que la simplification du domaine d’étude est rarement possible. Cela nous impose à se placer dans le cadre le plus général. Un calcul éléments finis tridimensionnel sans symétrie apparente. Même si l’étude se place dans le cadre quasi statique (forces d’inertie négligeables), le problème de référence reste un problème d’évolution et des phénomènes liés à la vitesse, comme la viscosité, peuvent être incorporés au modèle. Dans la formulation du méso-modèle, l’effet retard fait intervenir le temps. En conséquence, le comportement est dépendant du temps, c’est-à-dire de la vitesse de chargement. La résolution numérique du problème de référence impose donc la discrétisation de l’intervalle d’étude [0,T] en un nombre fini d’incréments [t,t + ∆t].

Méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement

  Les méthodes de décomposition de domaine se basent, comme leur nom l’indique, sur l’idée de la sous-structuration. Ces méthodes sont très adaptées pour chercher la solution fine sur l’ensemble du domaine d’étude Ω et non uniquement sur une zone déterminée à l’avance. Elles reposent sur les techniques de condensation des inconnues et sur une décomposition de la structure étudiée en plusieurs domaines (sous domaines). Idéalement la solution finale est obtenue à partir de calculs indépendants par sous-domaine. Selon l’approche choisie, la résolution du problème condensé peut être directe ou itérative. Dans le premier cas, le problème condensé est assemblé et résolu de manière directe. Dans le second cas, le problème condensé n’est jamais assemblé et un processus itératif est mis en place pour assurer le transfert d’information entre sous-domaines, et ainsi obtenir une solution complète sur l’ensemble à convergence. La manière de faire propager l’information entre sous-domaines au cours des itérations va distinguer les différentes  approches. Quand le processus itératif porte sur les déplacements, et que ce sont les efforts qui sont transférés entre sous-domaines, on parle d’approches primales (Mandel, 1993). Dans le cas inverse, on parle d’approches duales (Farhat et Roux, 1991). La dernière famille travaille sur des quantités mixtes faisant intervenir en même temps les efforts et le déplacement (Fortin et Glowinski, 1983b; Ladevèze et Dureisseix, 2000).

Table des matières

Table d’illustrations
Notations
Introduction
1 Structures composites stratifiées 
1 La microstructure de composites à matrice organique 
1.1 Le renfort
1.2 La matrice
1.3 Le pli unidirectionnel
1.4 Le stratifié
2 Mécanismes de dégradation
3 Prédiction de la ruine des structures composites stratifiées 
3.1 Modèles à grande échelle
3.2 Modèles à l’échelle fine
3.3 Modèles à l’échelle méso
2 Méso-modèle amélioré pour composites stratifiés 
1 Introduction 
2 Méso-constituant pli 
2.1 Loi d’état
2.2 Loi d’évolution
2.2.1 Endommagement diffus
2.2.2 Endommagement sens fibre
2.2.3 Fissuration transverse
2.2.4 Déformation anélastique
3 Méso-constituant interface
3.1 Loi d’état
3.2 Loi d’évolution
4 Effet retard
5 Améliorations apportées
5.1 Loi d’évolution pour la rupture fibre compatible avec l’effet retard
5.2 Réorientation de fibres due à la déformation
6 Bilan
3 Méthodes de résolution 
1 Problème mécanique de référence et notations 
2 Méthode des éléments finis 
3 Résolution de problèmes de grande taille 
3.1 Méthodes descendantes
3.2 Méthodes multigrilles
3.3 Méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement
3.3.1 Sous-structuration
3.3.2 Condensation
3.3.3 Approche primale
3.3.4 Préconditionneur et problème grossier
3.3.5 Approche duale
3.3.6 Approche mixte
4 Méthodes de résolution de problèmes non linéaires
4.1 Méthodes de Newton
5 Les méthodes Newton-Krylov-Schur
6 Bilan
4 Mise en œuvre numérique 
1 Le calcul haute performance
2 Développements informatiques 
2.1 Librairie LMTpp
2.2 Librairies externes
2.3 Structure générale du code
2.4 Discrétisation temporelle
2.5 Discrétisation spatiale
2.6 Partitionnement
2.7 Post-traitement
3 Bilan 
5 Mise en œuvre : lois de comportement 
1 Loi de comportement pli
1.1 Réorientation de fibres due à la déformation
1.2 Hyperélasticité direction fibre
1.3 Plasticité
1.3.1 Direction d’écoulement plastique
1.3.2 Direction d’évolution des variables d’écrouissage
1.3.3 Retour itératif sur le convexe d’élasticité
1.3.4 Algorithme
1.4 Endommagement sens fibre
1.5 Endommagement diffus
1.6 Fissuration transverse
2 Interface 
3 Effet retard 
4 Bilan 
6 Mise en œuvre : méthodes de résolution 
1 Résolution d’un problème linéaire
1.1 Traitement des conditions de bords
2 Résolution d’un problème non linéaire 
2.1 Le contact
3 Non linéaire en décomposition de domaine
3.1 Solveur linéaire
3.1.1 Projection
3.1.2 Préconditionnement
3.2 Solveur non linéaire
3.3 Localisation non linéaire
4 Bilan 
7 Exemples de prévision des dégradations dans les structures composites 
1 Problème élastique en parallèle
2 Réorientation de fibres 
3 Petit choc 
4 Traction sur une plaque trouée 
5 DCB Double Cantilever Beam 
Conclusion
A Hypothèse d’un matériau isotrope transverse
B Propriétés standards du méso-modèle pour CFRP
Bibliographie

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