Bifurcations de Bassins d’Attraction

Bifurcations de Bassins d’Attraction

Sensibilité aux Conditions Initiales

Il existe des syst`emes dynamiques déterministes tr`es simples pour lesquels deux trajectoires, issues de points de départ, dont la distance est trop petite pour ˆetre observable, se séparent au bout d’un certain temps. Leur distance croˆıt de fa¸con exponentielle jusqu’`a ce que toute mémoire sur les points de départ soit perdue : on appelle ce phénom`ene Sensibilité aux Conditions Initiales ( en abrégé : SCI ). Définition 1.6.1. Un syst`eme dynamique discret (X, N, f) est dit sensible aux conditions initiales (S.C.I) si et seulement si : ∃  > 0 tel que pour tout x ∈ X on a : ∀η > 0 , ∃ y ∈ X , ∃ n ∈ N : d(x, y) < η et d(f n (x), fn (y)) ≥  (1.25) Donc un syst`eme est (S.C.I) si pour chaque état x, il existe des points arbitrairement voisins de x dont les orbites respectives s’écartent de celles de x au cours de l’évolution du syst`eme. La sensibilité aux conditions initiales est une notion centrale dans la théorie du chaos ([D89 ]). Définition 1.6.2. Expansitivité Un syst`eme dynamique discret (X, N, f) est positivement expansif si et seulement si : ∃  > 0 : ∀ x, y ∈ X (x 6= y), ∃ n ∈ N : d(f n (x), fn (y)) ≥  (1.26) 1.7 Bifurcations Soit (X ⊆ R n , N, fµ) un syst`eme dynamique discret ; µ ∈ R p (p ≥ 1) un vecteur param`etre, on suppose que fµ dépend continˆument de µ. La variation quantitative de ces param`etres peut entraˆıner des changements qualitatifs du syst`eme dans l’espace des phases, tels que : l’apparition ou la disparition de singularités, le changement de stabilité, le changement de type de singularités, etc… Ces changements sont regroupés sous l’appellation de bifurcations. Ci-apr`es, on présente les différentes bifurcations couramment observées. 1.7.1 Bifurcation Fold ou noeud-col Elle correspond `a l’apparition de deux cycles d’ordre k, de stabilités différentes. A la bifurcation, les deux cycles sont confondus et ont un multiplicateur λ égal `a 1. Cette 25 chapitre 1 Définitions et Notions Générales bifurcation s’écrira : Pour dim X = 1 : ∅ −−−→ λ←−−− = 1 ξ k s + ξ k i (1.27) o`u X désigne l’espace des phases, ∅ signifie l’absence de cycles d’ordre k, ξ k s désigne un cycle d’ordre k stable, ξ k i désigne un cycle d’ordre k instable. Pour dim X = 2 : ∅ −−−→ λ←−−− = 1 N k s + C k (1.28) o`u Nk s un noeud stable et C k un col.

Les Fractales

Fractale est un mot inventé par Benoˆıt Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (ou fractal, nom masculin beaucoup moins usité que le féminin fractale) une courbe ou surface de forme irréguli`ere ou morcelée qui se crée en suivant des r`egles déterministes ou stochastiques. Un objet fractal poss`ede au moins l’une des caractéristiques suivantes : 1. Il a des détails similaires `a des échelles arbitrairement petites ou grandes. 2. Il est trop irrégulier pour ˆetre décrit efficacement en termes géométriques traditionnels. 3. Il est exactement ou statistiquement autosimilaire c’est-`a-dire que le tout est semblable `a une de ses parties. En d’autres termes, si nous agrandissons une petite partie d’une forme fractale, nous retrouvons une structure similaire `a la structure globale. C’est une métonymie d’une partie pour le tout. 1.12 Conclusion Les concepts introduits dans ce chapitre, constituent des notions de base indispensables `a l’étude des syst`emes dynamiques discrets. Nous avons vu que les singularités sont utilisées pour cerner la structure des solutions, les exposants de Lyapunov nous renseignent sur les propriétés de stabilité locale d’un attracteur, la notion de variété stable permet de déterminer la fronti`ere de bassin d’attraction et la variété instable détermine l’aire absorbante mixte. On a aussi défini quelques bifurcations courantes : bifurcation noeud-col, bifurcation doublement de période, et bifurcation Ne¨ımark-Hopf. L’étude de la succession des bifurcations permet de comprendre les mécanismes qui conduisent `a l’apparition du chaos

Table des matières

Introduction
1 Définitions et Notions Générales
1.1 Préliminaires et Notations
1.2 Notion de Singularité
1.2.1 Point Périodique – Point Fixe
1.2.2 Attracteurs
1.3 Stabilité
1.4 Variété Stable et Instable
1.4.1 Variété Instable
1.4.2 Variété Stable
1.5 Conjugaison Topologique
1.6 Sensibilité aux Conditions Initiales
1.7 Bifurcations
1.7.1 Bifurcation Fold ou noeud-col
1.7.2 Bifurcation Flip ou doublement de période
1.7.3 Bifurcation de Ne¨ımark-Hopf
1.7.4 Bifurcations Globales
1.7.5 Bifurcations Homoclines
1.8 Chaos
1.9 Exposants de Lyapunov
1.10 La Section de Poincaré
1.11 Les Fractales
1.12 Conclusion .
2 Caractérisation des Lignes Critiques dans le Plan de Phases
2.1 Transformation Ponctuelle
2.2 Courbes Critiques
2.2.1 Définitions et Propriétés Générales
2.2.2 Propiétés des trajectoires ([B84])
2.3 Classification des Transformations Non Inversibles(TNI)
2.3.1 Feuilletage du plan des phases
2.4 Conclusion.
3 Bifurcation d’une Courbe Invariante Fermée d’un Endomorphisme Bidimensionnel de Type (Z0 − Z2)
3.1 Bifurcation d’une Courbe Invariante Fermée .
3.1.1 Bifurcation < λ = λ >e intersection avec LC−1
3.2 Interaction d’un Arc de Courbe avec les Lignes Critiques
3.3 Caractérisation de la Variété Instable Wu
3.3.1 Variété instable de p
3.4 Bifurcations de la Variété Instable Wu
(p) 3.4.1 Bifurcation < λ = λ
(p) 3.5 Intersection d’une courbe invariante fermée Γ avec une branche instable
(p) d’un col p
3.5.1 Exemple et résultats numériques.
3.6 Conclusion.
4 Bifurcations de Bassins d’Attraction des Endomorphismes Bidimensionnels de Type (Z0 −
4.1 Bifurcations de Bassins d’Attraction
4.1.1 Définitions et Propriétés Générales
4.1.2 Bassin connexe ,→ Bassin non connexe
4.1.3 Bassin non connexe ,→ Bassin connexe
4.1.4 Bassin simplement connexe ,→ Bassin multiplement connexe .
4.1.5 Modification du nombre d’ilˆots de D ou apparition d’une nouvelle
arborescence .
4.1.6 Exemple et résultats numériques
4.2 Aire Absorbante et Aire Chaotique .
4.2.1 Détermination des Zones Absorbantes et Chaotiques .
4.2.2 Bifurcation des Zones Absorbantes et Chaotiques
4.2.3 Exemple et résultats numériques.
4.3 Conclusion.
Conclusion Générale et Perspectives 101
Bibliographie

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