Banc de mesure de films visco´elastiques

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Formes param´etriques de la fr´equence r´eduite en temp´erature

La section pr´ec´edente a montr´e qu’on peut utiliser une loi tabul´ee pour d´ecrire le comportement visco´elastique du mat´eriau. On stocke dans un tableau les parties r´eelles et imaginaires du module complexe en fonction de la fr´equence r´eduite. On donne dans cette section les principales repr´esentations param´etriques du facteur de d´ecalage qui permettent de faire la conversion de la fr´equence r´eduite αTω en fr´equence physique ω, ceci pour des temp´eratures autres que celles mesur´ees exp´erimentalement.
Dans la zone de transition, ` a des temp´eratures sup´erieures `a la transition vitreuse Tg et sur une gamme de temp´erature d’environ 50oC, i.e. de Tg ` a Tg+50oC, l’´equation WLF (WilliamsLandel-Ferry) [81] d´ecrit de fa¸con satisfaisante le facteur de d´ecalage en temp´erature αT log αT = – C1o(T – T0) Co 2 + T – T0 . (1.7)
Les coefficients visco´elastiques C1o et C2o (donn´es en oC) sont des caract´eristiques du mat´eriau, mais leurs valeurs sont fonctions du choix de la temp´erature de r´ef´erence T0.
On peut montrer, pour un polym`ere, que la quantit´e T0 – C2o est une constante, homog`ene `a une temp´erature et que le produit C1oC2o est aussi une constante, ind´ependante du choix de la temp´erature de r´ef´erence T0. De ce fait, les valeurs C1g et C2g des coefficients visco´elastiques ` a T g se d´eduisent facilement des valeurs C1o et C2o ` a T0. Initialement, il avait ´et´e envisag´e qu Cg 1 et C2g puissent prendre des valeurs “universelles”, ind´ependantes du mat´eriau consid´er´e : Cg 1 = 17, 4 et C2g = 51, 6oC. En fait, il est rapidement apparu que d’un polym`ere `a l’autre, les constantes Cg 1 et C2g peuvent prendre des valeurs sur des plages de temp´eratures tr`es larges, typiquement [34] 5 ≤ C1g ≤ 30 et 25oC ≤ C2g ≤ 100oC. (1.8)
Halary [34] propose une justification pr´ecise de la forme de l’´equation WLF `a l’aide d’´equations simples bas´ees sur les mod`eles de volume libre pour un polym`ere solide homog`ene dans la zone de transition.
Des lois arrh´eniennes sont observ´ees aussi bien dans la r´egion des transitions secondaires ` a basse temp´erature (T < Tg), que dans la r´egion d’´ecoulement (T > Tg). L’´equation d’Arrhenius est utilis´ee en thermodynamique pour quantifier la relation entre le taux auquel une r´eaction intervient et sa temp´eraturelog αT =R T1 T1o` u T est la temp´erature en degr´es Kelvin, R = 8.314 × 10–3kJmol–1K–1 est la constante des gaz pafaits et Ea correspond ` a l’´energie d’activation de la r´eaction [34].

Repr´esentations du module

Cette section expose les diff´erentes repr´esentations du module complexe. On peut utiliser directement les lois tabul´ees issues des mesures (section 1.2.3.1). On peut ´egalement choisir une loi param´etrique dont on identifie les param`etres `a l’aide des mesures exp´erimentales (section 1.2.3.2). Finalement, on discute de la pertinence de ces repr´esentations dans le domaine fr´equentiel, par comparaison avec les mod`eles temporels propos´es dans la litt´erature (section 1.2.3.3).

Formes tabul´ees

Un certain nombre d’essais dynamiques (cf. mesures directes explicit´ees en section 1.2.4.1) permettent de mesurer le module de stockage E′(ω) et le facteur de perte η(ω) d’un mat´eriau en un certain nombre de points de fr´equence ω sur une bande ´etroite. Si on mesure ces quantit´es `a plusieurs temp´eratures ou plusieurs pr´econtrainte diff´erentes, on peut envisager d’utiliser l’hypoth`ese de superposition explicit´ee en section 1.2.2.2 pour obtenir un nomogramme en fr´equence r´eduite (cf. figure 1.7). L’objectif principal du chapitre 2 est la mise au point d’un banc de mesure pour construire des nomogrammes fr´equence-temp´erature et fr´equence-pr´econtrainte de tˆ oles sandwich.
On dispose alors d’une repr´esentation sous forme de table (loi tabul´ee) du module complexe en fr´equence r´eduite αTω ou αε0ω, mais ´egalement du facteur de d´ecalage en temp´erature αT et en pr´econtrainte α0 aux temp´eratures T et aux pr´econtraintes ε0. Pour connaˆıtre le module en un point de fonctionnement arbitraire (ω, T, 0), on interpole ou extrapole les valeurs exp´erimentales du facteur de d´ecalage pour trouver la fr´equence r´eduite, puis on interpole ou extrapole le module sur la courbe maˆıtresse.
L’interpolation se d´eroule en deux ´etapes. On effectue d’abord une interpolation lin´eaire du logarithme du facteur de d´ecalage log αT ou log αε0 pour connaˆıtre sa valeur au point de temp´erature T ou de pr´econtrainte ε0 d´esir´e. On en d´eduit la fr´equence r´eduite associ´ee αTω ou αε0ω. On r´ealise alors une interpolation du logarithme des parties r´eelles et imaginaires du module complexe log E′(ω) et log E′′(ω) en ces nouvelles valeurs de fr´equence r´eduite. L’extrapolation peut se faire directement sur le nomogramme. Dans les zones haute et basse fr´equence non mesur´ees, on prolonge par des asymptotes. La section 1.2.4.3 ´evoque la prolongation par des asymptotes du module complexe dans le domaine des fr´equences physiques.
L’avantage d’une repr´esentation non-param´etrique de la loi de comportement est de permettre la repr´esentation de comportements g´en´eraux fortement d´ependants de la fr´equence et de la temp´erature/pr´econtrainte sur une large gamme. De plus, l’utilisation directe des donn´ees permet de contourner des ´etapes de choix de repr´esentation et d’identification des param`etres. Dans la mesure o` u l’ensemble des calculs de conception peuvent ˆetre r´ealis´es en utilisant des interpolations num´eriques, la repr´esentation tabul´ee est la plus g´en´erale.

Dualit´e temps/fr´equence – Causalit´e

Dans le cadre de la visco´elasticit´e lin´eaire, on est parti du domaine temporel, puis pass´e au domaine fr´equentiel pour obtenir la relation contrainte-d´eformation et d´efinir ainsi le module complexe (1.2). On peut alors directement utiliser les lois tabul´ees issues des mesures exp´erimentales ou encore effectuer une identification param´etrique des mod`eles expos´es en section 1.2.3.2. Certaines ´etudes, tel que les ph´enom`enes transitoires, n´ecessitent un calcul temporel. Dans cette section, ` a travers la litt´erature disponible sur ce sujet, on se pose la question de la bonne repr´esentation des propri´et´es de fluage et relaxation de telles repr´esentations apr`es passage dans le domaine temporel par transform´ee de Fourier inverse.
Barkanov [12] a v´erifi´e la causalit´e de mod`eles tabul´es fr´equentiels issus de tests dynamiques. Il ´evalue num´eriquement ` a l’aide de la m´ethode des ´el´ements finis la r´eponse transitoire de poutres sandwich (tricouche avec un cœur visco´elastique) ` a un impact. La repr´esentation des propri´et´es amortissantes du cœur est donn´ee par une loi tabul´ee. Apr`es transformation ` a l’aide de la transform´ee de Fourier inverse discr`ete pour se placer dans le domaine temporel, il observe que la r´eponse est bien obtenue apr`es application de l’excitation.
Les mod`eles d´ecrivant le module complexe par des fractions rationnelles peuvent ˆetre d´ecrits ` a l’aide de variables internes et ont donc une repr´esentation temporelle directe. L’utilisation de leurs expressions fr´equentielles pour le calcul des structures est abord´ee en section 1.3.1.3.
Bon nombre de mod`eles d’amortissements hyst´er´etiques ont ´et´e propos´es dans le domaine temporel, mais il s’est av´er´e que ces formulations posent divers probl`emes comme la violation du principe de causalit´e ou la non-´equivalence entre les expressions fr´equentielle et temporelle [26].
Christensen [22] a d´evelopp´e un mod`ele temporel reposant sur une fonction de relaxation qui peut ˆetre transform´ee dans le domaine fr´equentiel en un module complexe. Il est tr`es difficile d’obtenir dans ce cas un mod`ele fr´equentiel qui colle bien aux donn´ees exp´erimentales. Son point de vue reste th´eorique puisqu’il ne donne pas d’expression analytique de fonction de relaxation qui convienne.
Les probl`emes de causalit´e et de non-´equivalence fr´equentiel/temporel sont et restent encore un large champ d’investigations qui n’a pas trouv´e de r´eponses d´efinitives `a l’heure actuelle.

Identifications temporelle et fr´equentielle

Apr`es le choix d’une loi analytique a priori, il importe d’en d´eterminer les param`etres pour coller au mieux aux courbes maˆıtresses du mat´eriau. Dans le domaine temporel, de nombreux algorithmes pour approcher le module de relaxation et de fluage sont propos´es par Baumgaerel [14]. Liu [46] en fait une synth`ese et pr´esente un cadre math´ematique rigoureux pour l’identification ` a l’aide de s´eries de Prony. Il propose un algorithme bas´e sur la m´ethode des moindres carr´es non n´egatifs.
Dans le domaine fr´equentiel, de nombreux travaux ont ´et´e effectu´es sur les polym`eres, les colles et les rubans adh´esifs `a partir des courbes maˆıtresses d´elivr´ees par les constructeurs. Les mod`eles analytiques sont choisis a priori et les param`etres sont obtenus par la m´ethode des moindres carr´es ; en g´en´eral la fonction objectif est choisie “lin´eaire” mais des diff´erences de logarithmes sont ´egalement consid´er´ees. Le mat´eriau visco´elastique ISD112 (3M Company, Kraton – Shell Chemical) a ´et´e l’objet d’un certain nombre de caract´erisations. On pr´esente dans les paragraphes suivants les identifications r´ealis´ees par divers auteurs sur ce mat´eriau.
Lesieutre et Bianchini [43] ont pr´esent´e le lissage du mat´eriau ISD112, ` a une temp´erature de 27oC, entre 8 et 8000 Hz en introduisant leurs mod`eles ADF (cf. ´equation (1.16)). Ils concluent que cinq ADFs (avec deux param`etres par ADF, soient onze param`etres au total) repr´esentent fid`element le comportement du module ´elastique et du facteur de perte du mat´eriau en fonction de la fr´equence. Friswell et al. [31] ont pr´esent´e la mˆeme analyse pour le mod`ele GHM (cf. ´equation (1.15)), avec trois ou quatre param`etres par mod`ele pour l’ISD112 ` a 20oC entre 2 et 4800 Hz. Ces mod`eles lissent g´en´eralement bien les courbes maˆıtresses des mat´eriaux dont la d´ependance en fr´equence est forte.
Lin [45] propose pour le mat´eriau ISD112 les lois suivantes G′ = e–2.6962f0.6937 N/mm2, η = e0.60503f–0.08807 (1.18)

Dimensionnement

Pour concevoir le banc, on a recours ` a un mod`ele ´el´ements finis qui va nous permettre d’´etudier le comportement vibratoire du banc et valider les choix de dimensionnement.
On pr´esente le mod`ele ´el´ements finis du banc en section 2.3.1. Les modes propres calcul´es en pr´esence et en absence de la poutre de pr´econtrainte sont pr´ecis´es en section 2.3.2. On effectue en section 2.3.3 une analyse de la gamme de validit´e du banc en fonction de la valeur du module de cisaillement de la zone visco´elastique et de la fr´equence.

Mod`ele El´ ´ ements Finis

Le banc est r´ealis´e en acier d’usage courant, mat´eriau de bonne rigidit´e et facilement usinable. La tˆ ole sandwich de dimension 140 mm × 150 mm est coll´ee et viss´ee sur un bˆ ati. Elle est constitu´ee d’un mat´eriau tricouche acier-polym`ere-acier. Pour l’essai r´ealis´e, les ´epaisseurs respectives des couches sont 0.5 mm, 0.04 mm et 0.5 mm (´echantillon BI2F, voir section 2.4.1). Une zone d’essai a ´et´e usin´ee conform´ement `a la figure 2.1.
Le mobile est r´ealis´e `a l’aide de deux pi`eces assembl´ees autour de la zone d’essai et est solidaire du parement sup´erieur. Une lumi`ere permet le passage d’une poutre transverse fix´ee au parement inf´erieur de la plaque sandwich dans le bˆati (voir ´egalement figure 2.2). Un pot vibrant permet d’exciter le mobile via une tige d’excitation et on mesure la force dynamique inject´ee en entr´ee du mobile `a l’aide d’une cellule de force. Le mouvement diff´erentiel des parements, qui correspond au d´eplacement relatif du mobile par rapport au bˆ ati, permet de faire cisailler la zone d’essai. Ce d´eplacement relatif est mesur´e par un capteur de d´eplacement plac´e sur le flasque `a l’arri`ere du bˆati.

Transferts ´el´ements finis et fonctionnels

Les fonctions de transfert ´el´ements finis acc´el´eration/force sont ´evalu´ees par r´esolution it´erative de r´eponse fr´equentielle directe (section 1.3.2) pour tenir compte de la variation en fr´equence du module de cisaillement. Cette m´ethode permet d’effectuer le calcul sur base de r´eduction (gain de temps et d’espace m´emoire) et de contrˆ oler l’erreur, avec possibilit´e d’enrichir la base.
L’erreur sur la fr´equence de r´esonance axiale observ´ee entre le mod`ele fonctionnel et le mod`ele ´el´ements finis est ainsi illustr´ee par les figures 2.14 et 2.15 qui montrent les fonctions de transfert pr´edites par les deux mod`eles. Le transfert ´el´ements finis permet de tenir compte du comportement dynamique du banc de mesure dans la zone fr´equentielle d’´etude : on observe ainsi l’influence des modes propres autres que le mode de cisaillement fonctionnel sur la pr´ediction des transferts. Il en ressort que les autres modes sont assez peu perturbants.
– Transfert 100-2048 Hz sans pr´econtrainte
Les fonctions de transfert ´el´ements finis d´eplacement/force du mobile de la figure 2.16 sont ´evalu´ees en consid´erant la loi tabul´ee BI2F `a diff´erentes temp´eratures (section 2.5.2). On observe une diminution avec la temp´erature de la fr´equence de r´esonance de cisaillement du mobile (mode 11 de la figure 2.9) et l’´evolution du facteur de perte. La perturbation visible ` a 1480 Hz est due au mode de flexion du mobile (mode 13 de la figure 2.9). La relative stabilit´e fr´equentielle de cette r´esonance quelle que soit la temp´erature s’explique par le fait que la zone visco´elastique travaille peu dans ce mode et donc ses propri´et´es m´ecaniques variables avec la temp´erature n’interviennent pas.
On compare les fonctions de transferts avec celles ´evalu´ees en absence de poutre de pr´econtrainte de la figure 2.17 : le mode perturbant de flexion du mobile (mode 10 de la figure 2.10) est translat´e `a plus basse fr´equence (perturbation ` a 420 Hz).

Mesure de modules complexes

Le but de ce montage exp´erimental (banc + capteurs) est de permettre la mesure directe du module complexe (par opposition aux mesures indirectes pr´ecis´ees en section 1.2.4.1). Les sections pr´ec´edentes ont montr´e qu’on pouvait estimer le module de cisaillement complexe G∗ ` a partir des mesures de fonctions de transfert acc´el´eration/force H et d´eplacement relatif/force Hr. Les relations entre le module G∗, les transferts H et Hr sont donn´ees par la section 2.2.1. La v´erification num´erique de l’uniformit´e des contraintes-d´eformations effectu´ee en section 2.3.3.1 a valid´e leur utilisation.
L’utilisation des relations (2.8) et (2.10) n´ecessite la connaissance de la raideur r´eelle de la poutre de pr´econtrainte Kp, de la masse du bˆ ati M et de la masse du mobile m. Pour connaˆıtre plus pr´ecis´ement leur valeur, on les ´evalue exp´erimentalement. La pes´ee du mobile ne prend pas en compte une partie de la masse ajout´ee par la pr´esence de la tˆole sandwich ; on cherche donc ` a l’´evaluer la masse mobile lorsque la zone visco´elastique est excit´ee par le pot vibrant sur la gamme de fr´equence 0-2048 Hz.
Pour les mesures `a diff´erentes temp´eratures, la masse mobile m correspond ` a l’inverse de l’asymptote haute fr´equence du transfert acc´el´eration/force (cf. figure 2.35). Pour les mesures ` a pr´econtrainte contrˆ ol´ee, on transforme le transfert d´eplacement relatif/force en transfert acc´el´eration/force et on traite l’asymptote haute fr´equence de la mˆeme mani`ere. Dans ce dernier cas, on observe une masse plus importante du fait de la pr´esence de la poutre de pr´econtrainte.
La raideur r´eelle de la poutre de pr´econtrainte Kp est donn´ee par la fr´equence de r´esonance de cisaillement du banc correspondant au cas d’une zone visco´elastique endommag´ee ou d’un essai `a vide -sans tˆ ole sandwich (dans ce cas, le mode de cisaillement du banc correspond au premier mode de flexion de la poutre de pr´econtrainte). L’absence de couche de polym`ere assure en effet que les capteurs mesurent seulement la raideur Kp du fait de la raideur visco´elastique Kv nulle. En ce qui concerne la masse du bˆati M, cette derni`ere est obtenue par pes´ee et soustraction de la masse mobile m de la masse totale du banc.
Dans ce qui suit, un lissage r´ealis´e par moyenne glissante a ´et´e effectu´e sur l’ensemble des mesures de transfert. Pour une gamme de temp´erature, on obtient le faisceau de fonctions de transfert de la figure 2.38 et par utilisation de (2.8) le module estim´e correspondant repr´esent´e en figure 2.39. Ces courbes montrent la diminution du module de stockage et l’´evolution du facteur de perte avec la temp´erature et la fr´equence tout ` a fait conformes avec les formes habituelles discut´ees au chapitre 1.

Table des matières

Introduction
Chapitre 1 Modelisation de l’amortissement
1.1 Introduction
1.2 Mat´eriaux visco´elastiques
1.2.1 Module complexe
1.2.2 Facteurs d’environnement
1.2.3 Repr´esentations du module
1.2.4 D´etermination du module
1.3 Mod`eles de structures amorties
1.3.1 Formes des ´equations du mod`ele
1.3.2 R´eponses fr´equentielles
1.3.3 Probl`eme aux valeurs propres
1.4 Conclusion
Chapitre 2 Banc de mesure de films visco´elastiques
2.1 Introduction
2.2 Banc de mesure
2.2.1 Principe fonctionnel
2.2.2 Mise en œuvre de la pr´econtrainte
2.3 Dimensionnement
2.3.1 Mod`ele El´ ´ ements Finis
2.3.2 Modes propres du banc
2.3.3 Analyses d´etaill´ees
2.4 R´ealisation exp´erimentale
2.4.1 Tˆ oles sandwich
2.4.2 R´ealisation et ´evolutions du banc
2.5 Exploitation des mesures
2.5.1 Mesure de modules complexes
2.5.2 Construction de nomogrammes
2.5.3 Lois tabul´ees du mat´eriau BI2F
2.6 Conclusion
Chapitre 3 Traitement amortissant d’une enceinte acoustique
3.1 Introduction
3.2 Enceinte acoustique
3.2.1 Pr´esentation
3.2.2 Rˆ ole du coffret
3.2.3 Traitement de l’enceinte
3.3 Mod`ele ´el´ements finis d’une enceinte PRAME
3.3.1 Propri´et´es de l’enceinte et objectifs du mod`ele
3.3.2 Mod`ele ´el´ements finis
3.3.3 Validation exp´erimentale du mod`ele
3.4 Analyse vibroacoustique
3.4.1 Mod`ele fluide-structure
3.4.2 Effet du fluide sur le comportement dynamique
3.4.3 Analyse de la performance acoustique
3.4.4 Conception d’un traitement amortissant
3.5 Conclusion
Conclusion 
Annexe
A Interaction Fluide-Structure 
A.1 Equations du mod` ´ ele
A.1.1 Acoustique lin´eaire
A.1.2 Elastodynamique lin´ ´ eaire
A.2 Equations continues
A.2.1 Equation locale fluide
A.2.2 Equation locale structure
A.2.3 Equilibre global de l’interface ´
A.3 R´esolution [19]
A.3.1 Sous-domaine fluide
A.3.2 Sous-domaine structure
A.3.3 Equilibre globa ´ l
Bibliographie

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