Approximations unidirectionnelles de la propagation acoustique en guide d’ondes irrégulier

Dans l’environnement urbain, l’essentiel des nuisances sonores est produit par les moyens de transport. La forte concentration des axes de communication à l’intérieur des villes a pour effet d’exposer en permanence les citadins à de forts niveaux sonores. Perçu comme une nuisance dans le confort de vie, le bruit des transports présente également un risque sanitaire. Un récent rapport de l’Organisation Mondiale de la Santé [1] établit un lien direct entre l’exposition continue aux bruits environnementaux et le risque de maladies cardio-vasculaires, les troubles du sommeil et les troubles cognitifs chez les enfants. Depuis plusieurs années, la législation  impose une réduction des nuisances sonores en milieu urbain. À cet effet, une directive européenne  exige une évaluation de l’exposition aux bruits des transports pour toutes les villes de plus de 25000 habitants. Cette évaluation a pour support des cartographies de bruit, qui sont utilisées pour mettre en œuvre les plans d’actions dans le traitement de ces nuisances. La réalisation de ces cartes de bruit est donc un enjeu majeur de la lutte contre les nuisances sonores.

La taille étendue des axes de communication rendant irréalisables des campagnes de mesures à l’échelle d’une ville, les cartographies de bruit sont générées par des logiciels de prédictions. Les renseignements importés dans ces logiciels sont les données géométriques et topographiques de la ville, ainsi que la description du trafic routier (nombre et type de véhicules) en fonction du type de voiries (voiries locales, artères principales, réseaux secondaire et autoroutier). Ces données sont traitées par un modèle de bruit routier avant d’être intégrées dans un logiciel de prédictions de la propagation acoustique. Un recalage de ce modèle avec des mesures ponctuelles in situ permet de générer une cartographie des nuisances sonores. Les logiciels de prédictions communément utilisés sont basés sur une approche énergétique de la propagation des ondes acoustiques. Cette approche ne prend pas en compte la phase des ondes acoustiques, ce qui limite sa validité pour les basses fréquences.

Approximation unidirectionnelle de la propagation acoustique

Dans le cadre de l’étude de la propagation acoustique, l’approximation unidirectionnelle consiste à considérer la propagation des ondes selon un sens de propagation privilégié. Cette approximation est basée sur la décomposition du champ de pression en fonction du sens de propagation des ondes. L’équation différentielle d’ordre deux, qui régit la propagation acoustique, peut alors être transformée en une paire d’équations différentielles couplées d’ordre un, où chacune de ces équations traduit l’évolution des composantes du champ selon un sens de propagation. L’approximation unidirectionnelle consiste alors à découpler ces deux équations différentielles en y négligeant, de part et d’autre, le terme de couplage. Cela peut revenir, par exemple, à négliger la contribution du champ contra-propagatif dans l’évolution du champ co-propagatif.

Lorsque le milieu de propagation est homogène, le champ de pression peut être en toute rigueur séparé en ondes allers et ondes retours. Par contre, si le milieu de propagation comporte des hétérogénéités, cette séparation n’est plus possible. Cependant, lorsque l’hétérogénéité du milieu est lentement variable, une approximation unidirectionnelle est envisageable afin de pouvoir conserver la forme découplée de l’équation d’onde. L’intérêt de l’approximation unidirectionnelle réside dans la plus grande facilité de résolution des équations différentielles d’ordre un par rapport à l’équation d’onde originale. En effet, avec cette approximation, l’équation d’onde, correspondant à un problème aux frontières, est approchée par une équation différentielle d’ordre un, pouvant se résoudre comme un problème aux valeurs initiales.

Généralités sur les équations paraboliques

Très souvent associée à l’approximation unidirectionnelle, l’équation parabolique est une forme d’équation d’onde unidirectionnelle couramment utilisée dans de nombreux domaines de l’acoustique, tels que l’acoustique sous-marine [22,44,91], la propagation en milieu extérieur [14, 43] ou encore la propagation d’ondes sismiques [94]. Ce type d’équation d’onde est largement utilisé pour sa facilité de résolution et son aptitude à prendre en compte les paramètres du milieu de propagation (hétérogénéité du milieu de propagation [9], milieu en mouvement [17,72], géométries des frontières [27,59]). Aussi connu sous le nom de Beam Propagation Method dans le domaine de l’optique [34,48,96], ce type d’équation est apparu en premier lieu dans le domaine de l’électromagnétisme pour résoudre des problèmes de propagation d’ondes le long de la surface de la Terre [57].

Résolution numérique de l’équation parabolique 3D

Utilisation de la méthode des directions alternées 

La séparation d’opérateurs, réalisée précédemment, permet d’utiliser la méthode des directions alternées [21] pour la résolution de l’équation parabolique tridimensionnelle. Aussi bien en diffusion thermique [29, 80] qu’en mécanique des fluides [35], cette technique est couramment utilisée pour son faible coût numérique lors de la résolution de systèmes d’équations linéaires à plusieurs dimensions. Aussi appelée dans la littérature ADI (Alternating-Direction Implicit method), la méthode des directions alternées consiste à diviser en deux chaque pas d’avancement sur l’axe x et permet de traiter implicitement, à chaque sous-étape, l’un des deux opérateurs préalablement séparés [92]. L’avantage de cette opération est de transformer une équation aux dérivées partielles à plusieurs dimensions en une composition d’équations différentielles d’ordre 1, pouvant se résoudre comme des problèmes aux valeurs initiales.

Validation de la méthode par comparaison avec des résultats expérimentaux

Présentation du dispositif expérimental 

La méthode de résolution de l’équation parabolique tridimensionnelle, précédemment présentée, est validée par comparaison avec des résultats expérimentaux. Ces résultats proviennent de mesures réalisées sur une maquette de rue à l’échelle 1/35ème, placée dans une salle semianéchoïque, caractérisée par un sol lisse ainsi que des murs et un plafond traités avec de la mousse de mélamine (efficace jusqu’à 1 kHz à pleine échelle). Cette maquette est composée par deux rangées de cubes en plexiglas afin de reproduire les bâtiments d’une rue. Les deux rangées de cubes mesurent 30 cm de haut et sont espacées de 20 cm, ce qui correspond à pleine échelle à une rue de 10.5 m de hauteur et de 7 m de largeur. Une grande plaque de plexiglas sert de support à cette maquette afin de représenter le sol . La matière constituant les éléments de la maquette permet d’approcher des conditions de paroi rigide au sol et sur les façades des bâtiments. Enfin, une terminaison anéchoïque est placée en sortie de la maquette afin d’éviter les réflexions en sortie de la rue.

La mesure du champ de pression à l’intérieur de la rue est réalisée par une antenne de huit microphones quart de pouce B&K 4190 . Ces huit microphones sont connectés à des pré-amplificateurs (B&K 2669) avant d’être reliés à un amplificateur de conditionnement (B&K Nexus 2693). Cette antenne microphonique est fixée sur le bras d’un robot comportant trois axes de déplacement, ce qui permet de cartographier le champ de pression dans plusieurs plans de la maquette. Le positionnement des cubes est renseigné dans un logiciel pilotant le robot et gérant l’acquisition des données. Les signaux acoustiques captés par les microphones sont transmis à une carte d’acquisition multi-voies.

Table des matières

Introduction
1 Approximation unidirectionnelle de la propagation acoustique
1.1 Généralités sur les équations paraboliques
1.1.1 Formulation de l’équation parabolique petit angle
1.1.2 Décomposition de l’équation de Helmholtz
1.1.3 Splitting de l’équation d’onde conduisant aux équations paraboliques petit angle
1.1.4 Equation parabolique grand angle
1.1.5 Conclusion
1.2 Formulation multimodale de la propagation acoustique unidirectionnelle
1.2.1 Généralités sur la méthode multimodale en guide de section variable
1.2.2 Décomposition du champ de pression
1.2.3 Approximation unidirectionnelle
1.2.4 Conclusion
Annexe 1.A Projection de l’équation d’onde sur les modes transverses
I Utilisation de l’équation parabolique pour une application à l’acoustique urbaine
2 Higher order Padé approximation for the parabolic equation in a varying cross-section waveguide
2.1 Introduction
2.2 Modified parabolic equation method
2.2.1 Formulation
2.2.2 Boundary condition
2.2.3 Numerical scheme
2.3 Validation of the modified parabolic equation
2.4 Range of validity
2.5 Conclusion
Appendix 2.A Finite Difference implementation of the boundary condition
Appendix 2.B Rotation angles in the complex plane for complex Padé coefficients
3 Résolution de l’équation parabolique tridimensionnelle dans des guides d’ondes ouverts
3.1 Propagation unidirectionnelle dans une rue droite
3.1.1 Formulation d’une équation parabolique 3D en guide d’ondes ouvert
3.1.2 Résolution numérique de l’équation parabolique 3D
3.1.3 Validation de la méthode par comparaison avec des résultats expérimentaux
3.1.4 Conclusion
3.2 Variation brusque de la section du guide d’ondes
3.2.1 Approximation de Kirchhoff
3.2.2 Validation par comparaison avec des résultats expérimentaux
3.2.3 Conclusion
3.3 Variation continue de la section du guide d’ondes
3.3.1 Formulation de l’équation parabolique 3D modifiée
3.3.2 Modification de la méthode de résolution de l’équation parabolique 3D
3.3.3 Application de la méthode
3.3.4 Conclusion
Annexe 3.A Intégration des PML dans la discrétisation par différences finies
II Approche multimodale de l’approximation unidirectionnelle de la propagation acoustique
4 Coarse-grid computation of the one-way propagation of coupled modes
4.1 Introduction
4.2 Multimodal admittance method
4.2.1 Coupled mode equations
4.2.2 Numerical integration
4.3 One-way approximation
4.4 Accuracy of the one-way method for coarse discretization
4.5 One-dimensional analytical solutions
4.6 Conclusion
5 Approche multimodale de la décomposition du champ de pression en série de Bremmer
5.1 Multidiffusion dans un guide d’ondes discontinu
5.1.1 Méthode multimodale pour les guides avec discontinuités de section
5.1.2 Utilisation des matrices de diffusion pour la décomposition du champ de pression
5.1.3 Multidiffusion dans un créneau
5.1.4 Convergence de la série
5.1.5 Sens de propagation des modes couplés
5.1.6 Conclusion
5.2 Série de Bremmer dans des guides d’ondes bidimensionnels à variation de section continue
5.2.1 Décomposition en ordres : introduction
5.2.2 Décomposition en ordres : résolution itérative
5.2.3 Méthode de résolution numérique
5.2.4 Approximation unidirectionnelle
5.2.5 Reconstruction du champ de pression jusqu’à un ordre donné
5.2.6 Modélisation du champ de pression transmis à travers un guide d’ondes irrégulier
5.2.7 Analogie avec l’approximation de Born appliquée à une équation d’onde unidimensionnelle non-homogène
5.2.8 Conclusion
Conclusions

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