Approximation radiale et méthode LATIN multiéchelle en temps et en espace

Méthode de Projection de Dirichlet Hiérarchique

La méthode de projection de Dirichlet hiérarchique (HDPM) a été initialement proposée [Zohdi et al., 1996; Oden et al., 1999] pour l’étude de structures fortement hétérogènes dans le cadre de l’élasticité linéaire. Cette méthode repose sur une vision à deux échelles de la structure. Une première échelle dite macroscopique liée à un modèle homogénéisé du matériau et à un maillage éléments finis relativement grossier. La second échelle, dite microscopique, est obtenue en décomposant le domaine Ω en sous-domaine Ωi suivant une grille régulière (cf. Figure 1.3). Chaque cellule peut, au besoin, être elle-même maillée par éléments finis suffisamment finement pour pouvoir décrire la microstructure du matériau. Ωi Ωu=u0 Pour coupler les deux échelles, la méthode propose de corriger le champ de déplacement issu d’un calcul à l’échelle grossière u0 , par des calculs locaux indépendants par cellule, menés à l’échelle fine. Comme son nom l’indique, la méthode consiste à imposer, comme conditions aux limites, le déplacement macro u0 sur la frontière de Ωi. Si, éventuellement, la frontière de Ωi correspond à celle de Ω, les conditions aux limites du problème initial, lui sont appliquées. Il en résulte un champ de déplacement u1i satisfaisant l’équilibre local. En combinant l’ensemble des solutions calculées, on peut définir un champ de déplacement u a priori plus précis et cinématiquement admissible. Afin d’assurer à la méthode un caractère plus systématique et d’avantage de robustesse, une stratégie adaptative basée sur un estimateur a posteriori [Oden et al., 2006] lui est associé. Elle est constituée de trois niveaux d’amélioration successifs :
1. Le premier niveau correspond à la procédure décrite précédemment. La qualité de la solution u est mesurée par un estimateur d’erreur a posteriori. Si sa qualité n’est pas suffisante, on passe au niveau 2.
2. Le deuxième niveau consiste à recaler l’opérateur homogénéisé (par exemple le module d’Young et le coefficient de poisson) au sens d’un potentiel fonction de u et u0 . Une fois l’opérateur amélioré, l’étape 1 peut être reconduite. Si après plusieurs itérations des deux précédentes étapes, la nouvelle solution n’est toujours pas d’une qualité suffisante, alors on passe au niveau 3.
3. L’idée du troisième niveau consiste à déraffiner la grille de décomposition du domaine. Les précédentes étapes sont alors réitérées. De cette façon, la taille des problèmes micro est agrandie, et la précision de la solution u s’améliore. Dans le cas extrême, s’il ne reste plus qu’une seule sous-structure, alors le problème complet est résolu sur la micro structure, ce qui assure la convergence de la méthode.

Approche duale

La méthode FETI (pour Finite Element Tearing and Interconnecting [Farhat et Roux, 1991]) est une méthode de type duale. Le problème d’interface construit est également résolu par un gradient conjugué préconditionné projeté. Le préconditionneur est utilisé pour accélérer la convergence du gradient conjugué. L’utilisation du projecteur est liée à la condition d’inversion des problèmes locaux, c’est le traitement de cette condition globale qui permet à chaque itération une propagation globale de l’information. Dans [Gosselet et Rey, 2002], les auteurs proposent des stratégies d’accélération de la convergence dans le cadre de la résolution de plusieurs problèmes linéaires, donc en particulier de la résolution d’un problème non linéaire par une approche par exemple de type Newton. Les auteurs proposent la construction de préconditionneurs et/ou de problèmes grossiers définis grâce à la réutilisation des informations issues de la résolution des problèmes précédents, information représentée par les espaces de Krylov. Il s’agit donc d’un premier pas pour améliorer les performances des méthodes de décomposition de domaine dans le cadre non linéaire. Les méthodes présentées jusqu’à maintenant sont toutes dédiées aux problèmes linéaires. Dans le cadre non linéaire elles sont simplement utilisées comme solveur de la prédiction linéaire d’un Newton-Raphson. Il n’est donc absolument pas tenu compte de la décomposition de domaine pour traiter la non-linéarité. Autrement dit, il n’est jamais résolu de problèmes non linéaires sur les sous-structures. Dans [Pebrel et al., 2008b] les auteurs proposent une extension de la méthode FETI au cas non linéaire : la condensation se fait sur le problème non linéaire, le problème d’interface non linéaire est résolu par un algorithme de Newton-Raphson et la stratégie est équivalente à une approche de type FETI avec une étape de résolution de problèmes non linéaires sur chaque sous-structure.

p-raffinement

La première consiste à renforcer l’approximation macro en augmentant le nombre de fonctions de base. Par exemple, cela peut consister à augmenter le degré des polynômes sur chaque intervalle de temps grossiers. On pourrait également envisager des familles de fonctions plus complexes telles que des séries de Fourrier, des ondelettes… Examinons le cas d’une base polynomiale. Nous résolvons le problème de la figure 4.12 avec la méthode MuST pour différents degrés p de polynômes. Nous commençons par la base quadratique précédente p = 2 puis nous augmentons progressivement le degré des polynômes de la base p = 3,5,7,9,11 et 13, jusqu’à se rapprocher de la convergence de la méthode MuS. Nous superposons sur la figure 4.14(a) les courbes de convergence correspondantes sur les courbes de la figure 4.13. Sur cette figure, on peut remarquer qu’il faut utiliser au moins une base de polynômes de degré p = 10 voire 13, pour se rapprocher de la convergence de la méthode MuS qui sert de référence. L’utilisation d’une telle technique en 3D conduirait à une base de dimension 12×14 = 168, ce qui reviendrait à construire des opérateurs homogénéisés de taille 168 × 6 = 1008 dans le cas d’une sous-structure de forme cubique. Sans compter que pour des exemples plus complexes, le degré 13 ne serait sans doute pas suffisant, cette technique est totalement inappropriée

Constructions classiques de la POD

L’article [Liang et al., 2002] montre l’équivalence, dans le cas discret, des trois façons de construire la POD : la décomposition de Karhunen Loeve (KLD), l’analyse en composantes principales (PCA), et la décomposition en valeurs singulières (SVD). Cette technique est encore connue sous d’autres noms : la transformation d’Hotteling, les modes quasi-harmoniques ou encore les fonctions orthogonales empiriques. Les fonctions de base issues de cette décomposition s’appellent fonctions propres empiriques, fonctions de base empirique, fonctions orthogonales empiriques ou encore modes propres orthogonaux. Cette terminologie hétérogène vient du fait que la POD a été « réinventée » plusieurs fois et utilisée dans un nombre surprenant de domaines scientifiques et technologiques. Parmi ceux-ci, on trouve l’analyse statistiques de données expérimentales ou numériques [Hotelling, 1933; Karhunen, 1943; Loeve, 1955; Aubry et al., 1991], l’acoustique, le traitement d’image, l’ingénierie biomédicale [Nenadic et al., 2002; Niroomandi et al., 2008], etc… Pour simplifier, plaçons-nous dans le cas discret. Considérons que nous avons accès à n variables d’état telles que des mesures expérimentales (jauges de déformations, accéléromètres, pixels pour la corrélation d’images…) ou des inconnues d’un modèle numérique (degrés de liberté, inconnues nodales, aux points de gauss…). Nous supposons maintenant que nous disposons des informations concernant ces n variables à p instants du temps, ou pour p valeurs des paramètres aléatoires. Les méthodes classiques de POD consistent à ranger ces données dans une matrice A de taille p × n.

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Table des matières

Introduction
I Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation pour les problèmes non linéaires d’évolution
1 État de l’art sur le multiéchelle
1 Stratégies multiéchelles en espace
1.1 Méthodes d’homogénéisation
1.2 Méthodes d’enrichissement
1.3 Méthodes microscopiques directes
2 Stratégies multiéchelles en temps
2.1 Méthodes multi-pas en temps
2.2 Méthodes d’enrichissement micro
2.3 Méthodes dédiées aux chargements cycliques
2.4 Méthodes de décomposition de domaine en temps
2 Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation
1 Problème de référence à l’échelle micro
2 Problème de référence sous-structuré en temps et en espace
2.1 Conditions d’admissibilité sur ΩE ×IGi
2.2 Comportement d’interface
2.3 Reformulation du problème de référence
3 Description multiéchelle sur l’espace-temps
3.1 Une description des inconnues à deux échelles
3.2 Admissibilité des quantités macro
4 La stratégie de calcul multiéchelle
4.1 La méthode LATIN
4.2 Étape locale à l’itération n +1
4.3 Étape linéaire à l’itération n +1
5 Précisions sur l’algorithme
3 Mise en œuvre de la stratégie
1 Choix des espaces d’approximation
1.1 Discrétisation spatiale
1.2 Discrétisation temporelle
2 Étape linéaire pour un matériau viscoélastique
3 Étape locale pour quelques types d’interfaces
4 Choix des directions de recherche
4.1 Directions de recherche dans les sous-structures
4.2 Directions de recherche dans les interfaces
5 Un code éléments finis
4 Maîtrise de la convergence
1 Contrôle de la convergence
1.1 Indicateur d’erreur classique
1.2 Définition d’un nouvel indicateur d’erreur
1.3 Comparaison sur un exemple de contact
1.4 Limitations
2 Base macro et extensibilité
2.1 Base macro spatiale
2.2 Base macro temporelle
2.3 Techniques de raffinement classiques
2.4 Une technique d’enrichissement automatique
II Approximation radiale et stratégie de calcul adaptative
5 L’approximation radiale sur l’espace-temps
1 La POD
1.1 Le principe
1.2 Constructions classiques de la POD
1.3 Exemple
2 L’approximation radiale sur l’espace-temps
2.1 Définition classique
2.2 Définition sous forme d’un problème de minimisation
2.3 Approximation d’une fonction connue
3 Application à la résolution d’un problème micro
3.1 Réécriture de la direction de recherche
3.2 Reformulation des problèmes micro
3.3 Nouvelle approche pour l’approximation d’un problème micro
6 Mise en œuvre de la nouvelle technique d’approximation radiale
1 Exemple de référence
2 Approximation d’ordre 1
2.1 Problème spatial
2.2 Problème temporel
2.3 Exemple
3 Approximation d’ordre m
4 Mise à jour des fonctions temporelles
4.1 Problème temporel sur toutes les fonctions
4.2 Une technique alternative de résolution des problèmes temporels
4.3 Résolution d’équations différentielles avec conditions finales
4.4 Application à la réutilisation des fonctions spatiales
7 Une stratégie de calcul adaptative
1 Les méthodes de multirésolution
1.1 Méthode LATIN pour la multirésolution
1.2 Méthodes d’accélérations Krylov
1.3 Réduction de modèle basée sur la POD
2 Une méthode de calcul adaptative
2.1 Quelques remarques
2.2 Adaptativité et gestion de la base réduite
3 Exemples 3D
Conclusion
Bibliographie