Approximation radiale et méthode LATIN

Méthode de Projection de Dirichlet Hiérarchique

   La méthode de projection de Dirichlet hiérarchique (HDPM) a été initialement proposée [Zohdi et al., 1996; Oden et al., 1999] pour l’étude de structures fortement hétérogènes dans le cadre de l’élasticité linéaire. Cette méthode repose sur une vision à deux échelles de la structure. Une première échelle dite macroscopique liée à un modèle homogénéisé du matériau et à un maillage éléments finis relativement grossier. La second échelle, dite microscopique, est obtenue en décomposant le domaine Ω en sous-domaine Ωi suivant une grille régulière (cf. Figure 1.3). Chaque cellule peut, au besoin, être elle-même maillée par éléments finis suffisamment finement pour pouvoir décrire la microstructure du matériau.

G-FEM

   L’idée de la méthode des éléments finis généralisés est d’utiliser la PUM pour enrichir le comportement local du modèle éléments finis, en choisissant des fonctions spéciales sous la forme de développements asymptotiques, de modes, ou encore de solutions éléments finis de problèmes locaux appelés des handbooks. Cette technique permet de modéliser des structures présentant un grand nombre d’inclusions ou de trous. Pour ce faire, les trous intersectant un élément de la grille grossière, sont isolés dans un problème à part contenant uniquement ces trous, soumis à des chargements simples, type Dirichlet ou Neumann

Approche duale

   La méthode FETI (pour Finite Element Tearing and   Interconnecting [Farhat et Roux, 1991]) est une méthode de type duale. Le problème d’interface construit est également résolu par un gradient conjugué préconditionné projeté. Le préconditionneur est utilisé pour accélérer la convergence du gradient conjugué. L’utilisation du projecteur est liée à la condition d’inversion des problèmes locaux, c’est le traitement de cette condition globale qui permet à chaque itération une propagation globale de l’information. Dans [Gosselet et Rey, 2002], les auteurs proposent des stratégies d’accélération de la convergence dans le cadre de la résolution de plusieurs problèmes linéaires, donc en particulier de la résolution d’un problème non linéaire par une approche par exemple de type Newton. Les auteurs proposent la construction de préconditionneurs et/ou de problèmes grossiers définis grâce à la réutilisation des informations issues de la résolution des problèmes précédents, information représentée par les espaces de Krylov. Il s’agit donc d’un premier pas pour améliorer les performances des méthodes de décomposition de domaine dans le cadre non linéaire. Les méthodes présentées jusqu’à maintenant sont toutes dédiées aux problèmes linéaires. Dans le cadre non linéaire elles sont simplement utilisées comme solveur de la prédiction linéaire d’un Newton-Raphson. Il n’est donc absolument pas tenu compte de la décomposition de domaine pour traiter la non-linéarité. Autrement dit, il n’est jamais résolu de problèmes non linéaires sur les sous-structures. Dans [Pebrel et al., 2008b] les auteurs proposent une extension de la méthode FETI au cas non linéaire : la condensation se fait sur le problème non linéaire, le problème d’interface non linéaire est résolu par un algorithme de Newton-Raphson et la stratégie est équivalente à une approche de type FETI avec une étape de résolution de problèmes non linéaires sur chaque sous-structure.

Méthodes multi-pas en temps

  Dans certains cas, le fait d’utiliser une description unique pour tous les phénomènes temporels en jeu, peut s’avérer inutile voire, parfois, pénalisant, en particulier dans le cas des problèmes multiphysiques, pour lesquels les différentes physiques ne nécessitent pas la même description [Dureisseix et al., 2003; Néron et Dureisseix, 2008a], ou dans le cas ou une zone de l’espace limitée nécessite une solution temporelle fine [Combescure et Gravouil, 2002]. Pour répondre à cette problématique, des premières approches ont été proposées pour permettre de prendre en compte des discrétisations temporelles différentes dans des régions séparées de la structure. Des méthodes mixtes initiées par [Hughes et Liu, 1978] permettent de coupler des schémas d’intégrations différents, par exemple impliciteexplicite. Les méthodes permettant de prendre en compte des discrétisations temporelles différentes sont introduites, ce sont les méthodes de sous-cyclage ou multi-pas en temps [Belytschko et al., 1979]. Puis des méthodes mixtes avec sous-cyclage, combinant les deux approches précédentes on été proposées [Belytschko et al., 1985; Gravouil et Combescure, 2001; Combescure et Gravouil, 2001]. Ces méthodes permettent alors d’adapter la finesse dans certaines zones, afin de modéliser des phénomènes complexes, sans que cela devienne pénalisant pour le reste de la structure. Ces méthodes ont été particulièrement bien adaptées à la simulation de l’impact en dynamique transitoire [Combescure et Gravouil, 2002; Faucher et Combescure, 2003]. Dans [Gravouil et Combescure, 2003] l’approche est couplée à des méthodes multiéchelle spatiales .

Interface de contact avec frottement

   Pour prendre en compte le contact avec ou sans frottement [Alart et Curnier, 1991;Dostal et al., 1998; Barboteu et al., 2001; Dureisseix et Farhat, 2001; Ladevèze et al., 2002; Boucard et Champaney, 2003; Avery et al., 2004], il n’est pas nécessaire d’utiliser une approche par multiplicateurs de Lagrange, pénalisation ou Lagrangien augmenté,il suffit de faire coïncider la surface de contact avec une interface de la décomposition de domaine, et le calcul non linéaire suivant doit être mené à l’étape locale. La difficulté, dans ce cas, est qu’a l’étape locale, on doit trouver des efforts et déplacements vérifiant un comportement inconnu a priori. Une méthode classique consisterait à supposer un comportement (ouverture ou contact, adhérence ou glissement),de faire un calcul prédictif sous ces hypothèses, et de vérifier si l’hypothèse n’est pas absurde, ou de corriger, le cas échéant, l’hypothèse de départ. L’originalité de la démarche présentée ici (introduite dans [Duvaut et Lions, 1976]) est qu’il s’agit d’une méthode directe de calcul du problème non linéaire de contact. Pour ce faire, le problème est séparé en deux étapes : un problème de contact, puis en cas de contact, un problème de frottement.

Caractéristiques du code

  Ce travail de thèse a donné lieu à l’élaboration du code de recherche éléments finis 2D/3D Multi-ST basé sur une bibliothèque éléments finis développée au LMTCachan par H. Leclerc et un code développé par D. Violeau dédié aux problèmes élastostatiques. Ce code en C++ / Python permet de traiter des problèmes élastiques, viscoélastiques d’évolution ou élasto-statiques. La structure est décomposée en sous-domaines de matériaux éventuellement différents (d’une sous-structure à l’autre ou à l’intérieur d’une même sous-structure). Les bords des sous-structures sont surdiscrétisés automatiquement si on le souhaite. Les algorithmes de résolution sont la LATIN monoéchelle, multiéchelle en espace ou multiéchelle en temps et en espace, et les problèmes micro peuvent être résolus par une méthode incrémentale classique ou par approximation radiale (qui fera l’objet du chapitre 5). Le comportement d’interface peut être parfait ; conditions aux limites effort ou déplacement ; contact avec ou sans frottement, avec ou sans jeu ; symétrie. D’une manière générale, toutes les particularités développées dans cette thèse y ont été implantées, et les exemples qui y sont présentés en sont exclusivement issus. Le code développé dans un langage moderne permet de traiter des problèmes non linéaires d’évolution de plus de 3 105 degrés de libertés sur 60 intervalles de temps en séquentiel. Ce logiciel robuste rassemble la plupart des « ingrédients » de la méthode LATIN multiéchelle avec approximation radiale ; il a été développé dans le cadre d’une plate-forme logicielle commune du laboratoire et servira de base à d’autres thèses.

L’approximation radiale sur l’espace-temps

   L’approximation radiale, introduite initialement en 1985 [Ladevèze, 1985b] comme partie intégrante de la LATIN, est une méthode qui permet de calculer l’approximation de la solution d’un problème par sa meilleure décomposition d’ordre k souhaité. Elle ne nécessite la connaissance d’aucune solution a priori , ni la connaissance de l’une ou l’autre des deux bases de fonctions. Toutes les fonctions λi(t) et Λi(x) sont inconnues a priori et sont issues d’un calcul automatique, chaque paire λiΛi après l’autre. Un indicateur de la qualité de la solution obtenue peut-être calculé a posteriori. Si l’approximation est trop grossière, il est possible d’obtenir une approximation d’ordre plus élevé en calculant uniquement le terme supplémentaire. Fort de ce constat, l’approximation radiale peut être vue comme une méthode de POD plus générale que les techniques classiques KLD,SVD et PCA. Cette méthode a été utilisée dans un certain nombre de domaines tels que l’identification [Allix et Vidal, 2002], la plasticité, simulation de mise en forme de matériaux, ou plus récemment dans le domaine stochastique [Nouy, 2007]. Des développements similaires ont été également utilisés dans le cas de problèmes multi-variables [Ammar et al., 2006, 2007; Chinesta et al., 2008], sous le nom de la méthode de séparation de variables.

Table des matières

Introduction
I Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation pour les problèmes non linéaires d’évolution 
1 État de l’art sur le multiéchelle 
1 Stratégies multiéchelles en espace
1.1 Méthodes d’homogénéisation
1.2 Méthodes d’enrichissement
1.3 Méthodes microscopiques directes
2 Stratégies multiéchelles en temps 
2.1 Méthodes multi-pas en temps
2.2 Méthodes d’enrichissement micro
2.3 Méthodes dédiées aux chargements cycliques
2.4 Méthodes de décomposition de domaine en temps
2 Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation 
1 Problème de référence à l’échelle micro
2 Problème de référence sous-structuré en temps et en espace
2.1 Conditions d’admissibilité sur ΩE ×IGi
2.2 Comportement d’interface
2.3 Reformulation du problème de référence
3 Description multiéchelle sur l’espace-temps
3.1 Une description des inconnues à deux échelles
3.2 Admissibilité des quantités macro
4 La stratégie de calcul multiéchelle 
4.1 La méthode LATIN
4.2 Étape locale à l’itération n +1
4.3 Étape linéaire à l’itération n +1
5 Précisions sur l’algorithme
3 Mise en œuvre de la stratégie 
1 Choix des espaces d’approximation 
1.1 Discrétisation spatiale
1.2 Discrétisation temporelle
2 Étape linéaire pour un matériau viscoélastique
3 Étape locale pour quelques types d’interfaces  
4 Choix des directions de recherche 
4.1 Directions de recherche dans les sous-structures
4.2 Directions de recherche dans les interfaces
5 Un code éléments finis 
4 Maîtrise de la convergence 
1 Contrôle de la convergence 
1.1 Indicateur d’erreur classique
1.2 Définition d’un nouvel indicateur d’erreur
1.3 Comparaison sur un exemple de contact
1.4 Limitations
2 Base macro et extensibilité 
2.1 Base macro spatiale
2.2 Base macro temporelle
2.3 Techniques de raffinement classiques
2.4 Une technique d’enrichissement automatique
II Approximation radiale et stratégie de calcul adaptative 
5 L’approximation radiale sur l’espace-temps 
1 La POD
1.1 Le principe
1.2 Constructions classiques de la POD
1.3 Exemple
2 L’approximation radiale sur l’espace-temps
2.1 Définition classique
2.2 Définition sous forme d’un problème de minimisation
2.3 Approximation d’une fonction connue
3 Application à la résolution d’un problème micro
3.1 Réécriture de la direction de recherche
3.2 Reformulation des problèmes micro
3.3 Nouvelle approche pour l’approximation d’un problème micro
6 Mise en œuvre de la nouvelle technique d’approximation radiale 
1 Exemple de référence 
2 Approximation d’ordre 1
2.1 Problème spatial
2.2 Problème temporel
2.3 Exemple
3 Approximation d’ordre m 
4 Mise à jour des fonctions temporelles
4.1 Problème temporel sur toutes les fonctions
4.2 Une technique alternative de résolution des problèmes temporels
4.3 Résolution d’équations différentielles avec conditions finales
4.4 Application à la réutilisation des fonctions spatiales
7 Une stratégie de calcul adaptative 
1 Les méthodes de multirésolution
1.1 Méthode LATIN pour la multirésolution
1.2 Méthodes d’accélérations Krylov
1.3 Réduction de modèle basée sur la POD
2 Une méthode de calcul adaptative
2.1 Quelques remarques
2.2 Adaptativité et gestion de la base réduite
3 Exemples 3D 
Conclusion
Bibliographie

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