Approche déterministe du problème de contact mécanique

Approche déterministe du problème de contact mécanique

Approche déterministe du problème de contact mécanique

 Généralités

Nous proposons, dans ce chapitre, de présenter de façon succincte une formulation générale du problème de contact. On présentera en particulier les aspects liés à la modélisation d’un problème de contact mécanique avec frottement entre corps élastiques. La discrétisation spatiale utilise la méthode des éléments finis basée sur une formulation variationnelle en déplacement pour résoudre les équations aux dérivées partielles régissant l’équilibre du système. La méthode de résolution du contact est basée sur différents schémas numériques qui seront présentés ci-après. La revue et la formulation du problème sont inspirées des travaux de [MAR01], [TAY88], [PAR97], [WRI99] et [WRI90]. Le contact mécanique est généralement traité comme un problème à deux corps qui interagissent entre eux selon les lois de la mécanique des milieux continus. Dans la formulation éléments finis du problème, on est amené à respecter certaines conditions d’équilibres et d’impénétrabilités entre les deux corps. Cela nécessite l’utilisation d’une approche numérique pour prendre en compte ces conditions. Pour maîtriser la condition d’impénétrabilité, des conditions de contact au niveau de l’interface de contact sont appliquées. Cela se traduit par la mise en place d’un concept de nœuds esclaves et de segment maître. Le principe général de ce concept consiste à désigner des points nodaux appartenant à un segment extérieur du maillage d’un objet comme des nœuds esclaves, tandis que des segments maîtres sont choisis parmi les segments extérieurs du maillage du second corps (ou du même corps dans le cas d’auto-contact). Si un nœud esclave pénètre un segment maître, une force de contact est alors appliquée pour repousser le nœud vers
l’extérieur de cet segment.

Équation d’équilibre d’un milieu déformable

Considérons, dans la configuration Ct, un solide dans i?3, de domaine intérieur Q et de surface extérieure F. Le solide est soumis à diverses sollicitations extérieures telles que des déplacements Ï7 imposés sur une partie du contour Tu, des forces volumiques fv et des forces surfaciques fs, appliquées sur une partie du contour Ts qui est le complémentaire de Tu. Les forces surfaciques peuvent provenir de chargements imposés fa ou d’efforts de contact fc. On désigne par Ta la partie du contour sur laquelle est appliquée fa et par Tc la partie du contour sur laquelle est appliquée fe.

Méthode de régularisation

Différentes techniques de régularisation ont été développées pour les problèmes de contact. Dans ce qui suit, nous exposons sommairement la méthode de pénalisation. Il s’agit de la méthode la plus utilisée encore aujourd’hui en raison de sa simplicité d’implémentation. En effet, cette technique autorise une certaine interpénétration entre les corps en contact. Ceci représente un de ces avantages supplémentaires puisque qu’elle permet par l’intermédiaire de cette interpénétration de représenter indirectement les phénomènes physiques tels que la présence d’aspérités et l’amorce du glissement.

Application des méthodes probabilistes au problème de contact mécanique

Dans le chapitre précédent une formulation déterministe sommaire du problème de contact mécanique a été présentée. Les difficultés d’ordres numériques ou analytiques liées à ce type de problème font de lui un domaine de recherche qui reste ouvert. Ce chapitre a pour objectif d’étudier ce même problème en utilisant une approche stochastique. S’appuyant sur la méthode des éléments finis classique et la théorie des probabilités, la méthode des éléments finis stochastiques constitue actuellement une voie de grand intérêt pour l’étude de l’aspect stochastique de certains problèmes physiques complexes. Depuis une dizaine d’années, des travaux de recherches ont été menés pour étudier le problème probabiliste de contact mécanique en particulier. En raison du manque de maturité du sujet, de nombreux travaux ont été publiés. On distingue deux grands axes de recherches. Le premier s’intéresse à l’analyse probabiliste du contact, à l’échelle microscopique, en évaluant l’effet de la rugosité sur le comportement de l’interface. Dans ce domaine, plusieurs méthodes sont utilisées pour inclure l’influence de la rugosité sur la distribution de la pression de contact et des glissements au niveau de l’interface de contact [NAY71], [WHI70]. Les travaux de Kleiber [KLE99] représentent l’une des références de base dans l’étude du microcontact. Ces derniers consistent à prendre en compte la distribution aléatoire des rugosités au niveau de la zone de contact. En se basant sur la théorie de Hertz couplé avec la théorie du frottement de Mindlin, un modèle élastopîastique est élaboré. Ce modèle est combiné avec une description mécanique des pics de rugosité. Pour calculer les paramètres et les coefficients d’interfaces les auteurs ont fait appel aux travaux de Greenwood, Williamson [GRE66] et McCool [MCC86]. Le second axe de recherche de cette thématique s’intéresse à la modélisation et à la simulation probabiliste du problème de contact. La majorité des travaux concerne l’étude de l’aspect dynamique et expérimental du problème. Oden et Martins [ODE85] ont mené une étude sur le frottement dynamique et développé un modèle continu pour le comportement de l’interface et des algorithmes appropriés pour l’analyse du problème de contact dynamique avec frottement. Des simulations du type Monte Carlo ont également été menées par Yinnon, Buch et Devlin [YIN04] afin d’étudier le même type de problème. Pour mettre en œuvre une approche probabiliste pour le problème de contact, il faut opérer des choix à deux niveaux. Le premier concerne le schéma de résolution des équations issues de la discrétisation spatiale avec prise en compte des variabilités. Le second concerne l’approche probabiliste proprement dite. A ce niveau, on distingue également deux approches. La première est la méthode de Monte Carlo dite aussi méthode directe tandis que la seconde est dédiée au couplage entre la méthode des éléments finis déterministe et la méthode de discrétisation de Karhunen Loeve couplé elle-même avec la technique de développement en série de Neumann. Compte tenu des objectifs retenus et de la méthodologie adoptée, on distingue dans ce qui suit les étapes de base de la présente étude. Ces étapes dépendent de la démarche retenue pour la simulation probabiliste et aussi de la manière de la programmation de l’approche dans un contexte orienté objet.

La méthode de Monte Carlo

On présente ici les différentes étapes pour l’étude du problème de contact utilisant la méthode de Monte Carlo. Telle qu’elle est décrite au premier chapitre, cette méthode nécessite pour sa mise en œuvre d’importantes ressources informatiques. Nous présentons les notions nécessaires à une telle analyse par Monte Carlo suivie d’une étude fiabiliste du problème. On s’attarde plus particulièrement sur la définition de la fonction de performance, appelée aussi fonction d’état limite. Définir soigneusement cette fonction est d’une grande importance, car elle permet de définir efficacement les fenêtres d’admissibilité dans l’espace des variables aléatoires du problème. La démarche développée dans le cadre de ce travail est une méthode numérique permettant d’une part de dégager l’influence des paramètres et leurs interactions par l’utilisation de la technique de simulation de Monte Carlo et d’autre part, de construire une fenêtre de faisabilité.

Table des matières

Abstract
Remerciements
Liste des figures
Liste des tableaux
1 Introduction
1.1 Généralités
1.2 Problématique
1.3 Çbjeetifc
1.4 États des connaissances
1.4.1 Problème général du contact mécanique
1.4.2 Problème général de îa mécanique probabiîiste
1.4.3 Notations et définitions
1.4.4 Discrétisation des variables aléatoires
1.4.5 Méthodes de résolution
1.5 Méthodologie adoptée
1.6 Originalité de la thèse
1.7 Contenu de la thèse
2 Approche déterministe du problème de contact mécanique
2.1 Généralités
2.2 Notations et définitions
2.3 Équation d’équilibre d’un milieu déformabie
2.4 Principe des travaux virtuels
2.5 Formulation du problème de contact
2.5.1 Loi de contact unilatéral avec frottement
2.5.2 Méthode de régularisation
3 Application des méthodes probabilistes au problème de contact mécanique
3.1 Généralités
3.2 La méthode de Monte Carlo
3.2.1 Définitions
3.2.2 Hypothèses simplificatrices
3.2.3 Approche de fiabilité en mécanique
3.2.4 Mise en œuvre informatique
3.3 Méthode des éléments finis stochastiques
33.1 Discrétisation des variables aléatoires
3.3.2 Expansion de Neumann
3.3.3 Mise en œuvre informatique
3.4 Conclusion
4 Validation de l’approche stochastique
4.Î Généralités
4.2 Variables aléatoires
4.3 Problèmes du contact de Hertz
4.3.1 Caractéristiques statistiques des variables aléatoires
4.3.2 Contact de Hertz, version cylindre-cylindre
4.3.3 Contact de Hertz, version cylindre-massif
4.3.4 Analyse fiabiîiste et de sensibilité
4.4 Problèmes de contact multiphysiques
4.4.1 Glissement d’un bloc sur une plaque
4.4.2 Problème de contact d’une poutre courbe sur un bloc droit
4.4.3 Sensibilité des paramètres et indice de fiabilité
4.5 Conclusion
5 Applications industrielles
5.1 Généralités
5.2 Emboutissage d’une tôle mince, phénomène de retour élastique
5.2.1 Variables aléatoires
5.2.2 Caractéristiques statistiques des variables aléatoires
5.2.3 Solution Monte Carlo
5.2.4 Analyse fiabiîiste
5.3 Étude de précfaauffage d’une cuve d’électrolyse
5.3.1 Description du modèle
5.3.2 Variables aléatoires
5.3.3 Caractéristiques statistiques des variables aléatoires
5.3.4 Solution Monte Carlo
5.3.5 Analyse fiabiîiste
5.4 Conclusion
6 Conclusion générale et recommandations
6.1 Conclusion générale
6.2 Recommandations
Références

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