Apport du filtrage particulaire au recalage altimétrique

Positionnement par satellites

   Le système GPS (Global Positionning System) est actuellement le principal système de positionnement par satellites, en attendant la mise en opération du système concurrent européen Galileo. Le système GPS est constitué de 24 satellites dont les orbites assurent la visibilité d’au moins 4 d’entre eux en tout point du globe et à tout instant. Le principe de localisation est celui de la triangulation. Les satellites émettent un signal radio-fréquence capté par un récepteur qui mesure le déphasage du signal reçu. Le décalage temporel des signaux est directement relié à la distance qui sépare le récepteur du satellite. La vitesse du récepteur est également accessible par la mesure de l’effet Doppler sur les signaux reçus. En terme de précision, le GPS permet un positionnement avec une erreur horizontale inférieure à 10m. Contrairement à une navigation inertielle, la localisation obtenue est absolue et la précision est indépendante de l’instant de vol. La disponibilité est permanente et couvre l’ensemble du globe terrestre. Les données en sortie d’un récepteur GPS sont rafraîchies avec une fréquence de l’ordre de quelques hertz. La fiabilité du système GPS pour des applications sensibles est sujette à deux réserves principales. Tout d’abord, les signaux GPS sont sensibles aux perturbations électromagnétique. Ensuite, le système GPS dépend des autorités américaines.

La navigation hybridée

   Le concept de navigation hybridée repose sur la complémentarité des différentes sources de positionnement dégagée précédemment [19][18]. Dans un schéma classique, un système de navigation inertiel est utilisé comme source primaire de positionnement. Il permet une mise à jour permanente et à fréquence élevée de la position, vitesse et attitude de l’engin. Les autres sources sont prises en compte pour corriger la dérive inertielle, en exploitant le fait que ces sources fournissent une erreur maîtrisée en position. Le schéma général d’un système de navigation hybridée est représenté par la figure 1.8. L’élément central est l’algorithme d’hybridation qui permet d’estimer la dérive inertielle à partir de l’estimation inertielle et des données fournies par les sources complémentaires. Nous détaillerons dans le chapitre suivant le principe théorique de cet algorithme ainsi que les différentes manières de l’implémenter dans la pratique.

Principe du filtrage particulaire

  L’algorithme du filtre particulaire consiste à propager un ensemble d’échantillons pondérés (appelés particules) de telle façon qu’à chaque itération k, les particules soient représentatives de la loi p(Xk|Mk). Ceci est effectué récursivement en modifiant l’état et le poids de chaque particule, selon des règles qui dépendent des équations d’état et de mesure du problème. On peut faire l’analogie avec le filtrage de Kalman, dans lequel l’état estimé et sa covariance sont récursivement mis à jour. Cependant, deux différences importantes sont à souligner. D’une part, le fonctionnement du filtre particulaire est de nature stochastique : le mouvement des particules est le résultat de tirages aléatoires. D’autre part, il n’existe pas un algorithme unique de filtrage particulaire. On a vu dans le chapitre précédent que la représentation d’une densité de probabilité par un échantillonnage pondéré n’est pas unique mais dépend de la proposal distribution choisie et que la qualité de l’approximation particulaire dépendait de ce choix. Le filtre particulaire fait aussi appel à la notion de proposal distribution. De même, les performances du filtre dépendent de ce choix. Ce chapitre présente le principe du filtre particulaire, ainsi que les choix classiques pour la proposal distribution.

Nécessité de l’étape de rééchantillonnage

   Dans un problème classique d’estimation récursive, l’incertitude sur l’état est initialement importante, puis au fur et à mesure de l’accumulation des observations, celle-ci diminue : la connaissance de l’état est de plus en plus précise. En d’autres termes, le support de p(xk|Mk), initialement large, se réduit au cours du temps. Par contre, les particules se dispersent dans l’espace d’état suivant une marche aléatoire analogue à un mouvement brownien. En conséquence, on se retrouve après quelques itérations du filtre dans une situation analogue à la figure 2.10. Une majorité de particules sont dispersées dans des zones où p(xk|Mk) est très faible, et donc possèdent un poids très faible. L’intensité de ce phénomène dépend du problème (plus la variance du bruit de mesure est faible, plus la dégénérescence est rapide) et du choix de la proposal distribution. Pour pallier la dégénérescence des particules, l’idée est d’éliminer les particules de poids négligeable et de dupliquer les particules de fort poids. Ainsi, sans altérer la qualité de l’approximation particulaire, et sans modifier le nombre total de particules, on assure qu’un maximum de particules seront présentes dans les zones de forte densité de probabilité. Il existe différentes méthodes pour le choix des particules à dupliquer ou éliminer. La plus utilisée est nommée SIR (pour Sampling Importance Resampling), qui consiste à construire un nouvel ensemble de particules en effectuant N tirages avec remise parmi l’ensemble des particules avec la probabilité de choisir la particule i égale à son poids ω(i).

Difficultés de mise en œuvre pratique

   Dans notre application, l’allure de la fonction h présente une grande diversité selon les régions survolé. Si le terrain est peu accidenté, l’observabilité du système est faible pour estimer la dérive horizontale. Si au contraire, le terrain est très accidenté (montagnes), les non-linéarités de h rendent le problème difficile à filtrer. Cette difficulté est illustrée par l’exemple suivant : La figure 3.2 représente le profil altimétrique du terrain (l’exemple est en dimension 1). À l’instant k, on réalise une mesure. Le résultat donne une altitude mesurée du terrain de 1130m. On détermine alors la densité de probabilité p(xk|Mk) en appliquant les équations (3.14). Dans cet exemple, l’application numérique est effectuée en discrétisant l’espace d’état (ici de dimension 1) avec un pas fixe. Deux cas sont alors envisagés :
– Premier cas (figure 3.3) : la position de l’engin est a priori connue avec une bonne précision (la densité p(xk−1|Mk−1) est une gaussienne centrée sur 4,5, de variance 0,5). Le terrain peut être considéré comme approximativement linéaire sur la zone d’incertitude a priori. En conséquence, la densité p(xk|Mk) est approximativement gaussienne. Dans ce cas, l’algorithme de Kalman étendu aurait suffi à effectuer un filtrage proche de l’optimal.
– Deuxième cas (figure 3.4) : l’incertitude sur la position de l’engin est a priori grande (la densité p(xk−1|Mk−1) est une gaussienne centrée sur 8, de variance 10). En conséquence, le terrain ne peut plus être approché par une droite, et la densité de probabilité p(xk|Mk) possède une forme complexe : on y distingue trois maximums principaux. Dans un tel cas, le filtre de Kalman est mis en échec : une densité gaussienne ne peut constituer une approximation satisfaisante de la densité a posteriori. En conclusion de cet exemple se dégage les limitations du filtre de Kalman étendu et l’intérêt des méthodes de filtrage capables de prendre en compte des densités de probabilités non-gaussiennes. Dans le cadre du recalage altimétrique, on peut espérer que des filtres non-linéaires plus raffinés offrent une meilleure robustesse sur des terrains très accidentés et une meilleure convergence lorsque la zone d’incertitude initiale sur la position est grande.

Illustration du fonctionnement d’un filtre particulaire pour la navigation

   Le recalage altimétrique fournit un exemple de problème où le bruit d’état est faible (la dérive de la centrale inertielle est lente), ainsi que le bruit de mesure. Pour obtenir de bons résultats avec un nombre raisonnable de particules, la proposal distribution doit être choisie proche du choix optimal. Le filtre particulaire utilisé dans cet exemple possède les caractéristiques suivantes :
– 1000 particules
– La proposal distribution est construite par une méthode de linéarisation locale autour de chaque particule (un filtre de Kalman étendu est associé à chaque particule).
– Le seuil de rééchantillonnage est fixé à Nef f < 0,5 N.
La figure 3.9 montre la convergence du nuage de particules vers la solution (dans le plan latitude-longitude) pour les itérations [0, 50, 100, 200, 300, 400]. La figure 3.10 présente la reconstruction de la densité de probabilité à partir du nuage de particules. Dans les premières itérations du filtre, cette densité présente de nombreux maximum locaux qui traduisent l’ambiguïté sur la position. Cette ambiguïté est levée au fur et à mesure de l’accumulation des données radio-altimétriques.

Potentialités du filtre particulaire

Le filtre particulaire offre deux principaux avantages :
Domaine d’application : Le filtrage permet de résoudre en théorie tout problème d’estimation récursive avec un minimum de contrainte sur les équations d’état et de mesure, ainsi que sur les distributions des bruits.
Flexibilité : Lors de la conception d’un filtre particulaire pour une application donnée, il possible de jouer sur de nombreux facteurs (choix de la proposal distribution, du nombre de particules, de la fréquence des rééchantillonnage, …) pour adapter le filtre au problème et aux contraintes de puissance de calcul. Cependant, il est nécessaire de porter attention aux points suivants :
Dimension de l’espace d’état : Le nombre de particules nécessaires augmente rapidement avec la dimension de l’espace d’état. En conséquence, un filtrage particulaire n’est envisageable que pour des systèmes de dimension inférieure à 3 ou 4. Pour traiter les problèmes de dimension supérieure, il est dans certains cas possible de diviser l’espace d’état en deux sous-espaces : le filtrage particulaire ne s’opère que sur le premier, et un filtre de Kalman classique effectue l’estimation sur l’autre. Cette méthode est appelée Rao-Blackwellisation.
Nombre de particules : Le nombre de particules nécessaires pour assurer la consistance du filtre dépend beaucoup du problème considéré (intensité des non-linéarités, paramètres des bruits). Généralement, ce nombre est compris entre 500 et 10000. Cela impose une puissance de calcul généralement élevée et une mémoire suffisante pour stocker les paramètres de chaque particule.
Bruits d’état et de mesure : La variance des bruits d’état et de mesure influe beaucoup sur le comportement du filtre. Grossièrement, plus ces variances sont faibles, plus le filtrage particulaire est mis en difficulté. Un faible bruit de mesure entraîne une dégénérescence rapide des particules. Un faible bruit d’état ne permet pas d’assurer une bonne exploration de l’espace d’état par les particules après l’étape de rééchantillonnage. Dans ce dernier cas, il est nécessaire de disperser artificiellement les particules (régularisation).

Table des matières

Introduction
La science de la navigation
Contexte de la thèse
Démarche et objectifs
Organisation du mémoire
Notations et symboles
1 Navigation et fusion d’information 
1.1 Introduction
1.2 La navigation terrestre
1.2.1 Définition des repères
1.2.2 Grandeurs cinématiques
1.3 Structure de commande d’un véhicule autonome 
1.3.1 Hiérarchie
1.3.2 La fonction pilotage
1.3.3 La fonction guidage
1.3.4 La fonction navigation
1.4 Exigences pour une mission autonome
1.4.1 Précision de positionnement
1.4.2 Disponibilité
1.4.3 Fiabilité
1.5 Les sources d’information 
1.5.1 Navigation inertielle
1.5.2 Positionnement par satellites
1.5.3 Imagerie
1.5.4 Recalage altimétrique
1.6 Conclusion 
1.6.1 Complémentarité des sources
1.6.2 La navigation hybridée
2 Cadre bayésien et méthodes numériques 
2.1 Introduction 
2.2 Inférence bayésienne 
2.2.1 Caractérisation statistique d’une grandeur
2.2.2 Cadre bayésien pour l’estimation
2.2.3 Estimateurs
2.2.4 Cas des systèmes dynamiques
2.3 Filtrage linéaire 
2.3.1 Estimateur linéaire optimal
2.3.2 Filtre de Kalman
2.3.3 Filtre de Kalman étendu (EKF)
2.3.4 Unscented Kalman filter (UKF)
2.4 Filtrage particulaire
2.4.1 Représentation particulaire d’une densité de probabilité
2.4.2 Principe du filtrage particulaire
2.4.3 Principe de la Rao-Blackwellisation
3 Filtrage optimal pour le recalage altimétrique 
3.1 Introduction 
3.2 Identification d’une position par mesure altimétrique 
3.3 Outils mathématiques associés 
3.3.1 Modèle de dérive inertielle
3.3.2 Modèle de mesure altimétrique
3.3.3 Solution optimale dans un cadre bayésien
3.3.4 Difficultés de mise en œuvre pratique
3.3.5 Représentations de la densité de probabilité filtrée
3.3.6 Illustration du fonctionnement d’un filtre particulaire pour la navigation
3.3.7 Potentialités du filtre particulaire
3.4 Filtrage pour le recalage altimétrique : état de l’art 
4 Évaluation comparatives de filtres non-linéaires gaussiens 
4.1 Cadre de l’étude 
4.1.1 Comparaison de filtres non-linéaires pour la phase de poursuite
4.1.2 Contraintes d’intégration à un système de navigation
4.2 Filtre de Kalman étendu 
4.2.1 Mise en œuvre
4.2.2 Choix des paramètres
4.3 Unscented Kalman Filter 
4.3.1 Mise en œuvre
4.3.2 Choix des paramètres
4.4 Filtre à grille 
4.4.1 Principe
4.4.2 Mise en œuvre
4.4.3 Choix des paramètres
4.5 Filtre particulaire gaussien
4.5.1 Principe
4.5.2 Mise en œuvre
4.5.3 Choix des paramètres
4.6 Démarche de comparaison 
4.6.1 Critères d’évaluation
4.6.2 Définition des scénarios
5 Mise en œuvre pratique et exemples de résultats 
5.1 Outil de simulation numérique
5.1.1 Introduction
5.1.2 Les éléments de la simulation
5.1.3 Détails d’implémentation
5.2 Exemple de résultats : filtre particulaire gaussien 
5.2.1 Construction de la distribution d’importance
5.2.2 Évaluations comparées
Conclusion générale
Annexes 
A Équations de la navigation inertielle terrestre 
A.1 Introduction
A.2 Intégration des accélérations
A.3 Intégration des vitesses de rotation
A.4 Récapitulatif
B Modèle de dérive d’une centrale inertielle strap-down 
B.1 Linéarisation de la dynamique de l’erreur
B.2 Dynamique de l’erreur de position
B.3 Dynamique de l’erreur de vitesse
B.4 Dynamique de l’erreur d’attitude
B.5 Expression sous forme matricielle
Bibliographie

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