Application de l’approche X-FEM pour le calcul parallele

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M´ethode des ´el´ements finis ´etendus (X-FEM)

Partition de l’unite

Le principe premier de la m´ethode r´eside dans le fait que l’approximation du champ de d´eplacements classique uf em est enrichie par une correction uenr sous la forme : u = uf em + uenr tout en respectant la partition de l’unit´e. Tout d’abord, nous rappelons la d´efinition de l’approximation du champ de d´eplacements de la m´ethode des ´el´ements finis : X X n (x) α i∈N (x) = aiαφiα(x) (1.16) o`u Nn(x) est l’ensemble des noeuds de l’´el´ement contenant le point x et aαi repr´esente les degr´es de libert´e classiques. Le domaine d’influence (support) de la fonction d’interpo-lation φαi est l’ensemble des ´el´ements connect´es au noeud i. L’ensemble Nn(x) est donc ´egalement l’ensemble des noeuds dont le support couvre le point x. Cette approxima-tion de base est enrichie par l’ajout de degr´es de libert´e, pour les ´el´ements concern´es par la discontinuit´e, multipli´es par les fonctions de forme classiques et par une fonction d’enrichissement repr´esentant au mieux le ph´enom`ene physique a` ´evaluer : n (x) α n (x)∩NF α i∈N i∈N X X X X u(x) = φiαaiα + biαφiα(x)F (x) (1.17)
o`u NF est l’ensemble des noeuds dont le support a une intersection avec le domaine ΩF (domaine dans lequel on souhaite un enrichissement) et o`u bαi repr´esente les nouveaux degr´es de libert´e. Cette derni`ere formulation exprime la partition de l’unit´e : la somme des fonctions de forme sur le domaine est ´egale a` l’unit´e. Ceci permet de repr´esenter la fonction F (x) dans la solution X-FEM.

Application aux trous et interfaces mat´eriau

La seconde application directe concerne la mod´elisation des trous et des inclusions d´evelopp´ees dans [61]. Cette extrapolation permet la pr´esence de deux constituants dans un ´el´ement du maillage. Qu’il s’agisse, pour un domaine, de contenir du vide et de la mati`ere ou deux mat´eriaux diﬀ´erents, la m´ethode des ´el´ements finis nous impose de repr´e-senter la fronti`ere entre deux zones aux caract´eristiques m´ecaniques diﬀ´erentes. X-FEM, au contraire, permet de s’aﬀranchir de ces contraintes.
Cas des trous Dans le cadre des trous, l’interpolation du champ va ˆetre modifi´ee en utilisant une fonction sp´ecifique F (x) prenant 0 comme valeur dans le trou et 1 dans la mati`ere. L’utilisation de cette fonction n’est eﬀective que pour les ´el´ements qui sont coup´es par la fronti`ere. Ceux dont le support se trouve totalement dans le vide sont ´elimin´es et ceux dont le support est situ´e totalement dans la mati`ere ne subissent aucun enrichissement. L’approximation pr´ec´edente induit, lorsqu’un ´el´ement est coup´e par la discontinuit´e, que l’int´egration se fait seulement sur la partie de l’´el´ement situ´ee dans la mati`ere. Pour que cette approximation soit eﬀective, il est n´ecessaire de s´electionner les noeuds a` garder et ceux a` ´eliminer. La figure 1.3 illustre cette s´election.

Fonction de Niveau (Level Set)

Dans la m´ethode d’approximation classique par ´el´ements finis, les fronti`eres sont d´e-finies explicitement par des entit´es g´eom´etriques (segments de droite, de parabole …). La m´ethode des Level Sets, introduite par Sethian (1999) [57] et Osher (Osher et Sethian 1988) [51], propose une autre alternative en d´ecrivant implicitement la g´eom´etrie des fron-ti`eres. Cette technique a ´et´e d´evelopp´ee par Sukumar, Chopp, Mo¨es et Belytschko (2001) [61] dans le cadre de trous et d’inclusions.

Description

Une fonction de niveau s’apparente a` un champ de valeurs associ´e a` la fronti`ere. Cette fonction peut ˆetre calcul´ee pour n’importe quel point de l’espace. Elle repr´esente alors la distance qui s´epare ces points de la fronti`ere. Dans le cadre de r´esolutions num´eriques de probl`emes m´ecaniques sur des maillages, la fonction de niveau est calcul´ee en chaque noeud du maillage. Les noeuds se voient alors assign´es une valeur sign´ee donnant la distance de ceux-ci a` la fronti`ere. La fonction de niveau prend, par exemple, une valeur n´egative a` l’int´erieur d’un trou et positive a` l’ext´erieur. Par cons´equent, l’iso-z´ero de la fonction de niveau, illustr´ee sur la figure 1.6, dans le cas d’un trou, d´efinit la fronti`ere. En ce qui concerne les applications qui suivent dans ce chapitre, cette fonction est calcul´ee aux noeuds et interpol´ee entre les noeuds par les fonctions d’interpolation classiques : X ψ(x) =ψI φI(x) (1.27)
La fonction de niveau repr´esente donc une fonction continue sur le domaine permettant de faciliter la d´efinition de la fonction d’enrichissement pour les probl`emes incluant une interface mat´eriau. Mis a` part cet aspect, les fonctions de niveau ont pour rˆole de d´efinir implicitement la position de l’interface ou de la fronti`ere afin d’eﬀectuer la s´election des noeuds a` supprimer ou a` enrichir.

S´election des noeuds `a enrichir ou `a supprimer

Nous avons pu voir que l’aﬀectation de l’enrichissement impliquait une s´election des noeuds. Concernant les trous, figure 1.3, la fonction de niveau correspondant a` la fronti`ere permet cette s´election. Si le support d’un noeud, c’est-a`-dire tous les ´el´ements connect´es a` celui-ci, n’a pour valeur de level set en ses noeuds que des valeurs n´egatives, alors celui-ci sera supprim´e. Au contraire, si ses valeurs sont positives il sera conserv´e mais aucun enrichissement ne lui sera aﬀect´e. Pour les noeuds dont le support est coup´e, c’est-a`-dire si on est pr´esence de valeurs n´egatives et positives, alors le noeud sera enrichi. La mˆeme d´emarche est appliqu´ee pour les interfaces mat´eriau dans le sens o`u si le support d’un noeud est coup´e par l’interface, celui-ci est enrichi. Dans le cas contraire, l’interpolation est identique a` la m´ethode des ´el´ements finis. L’impl´ementation pr´ecise est discut´ee dans le dernier chapitre concernant le calcul parall`ele.

Fonction xFit

L’introduction des fonctions de niveau dans la m´ethode des ´el´ements finis ´etendus n´e-cessite, au niveau num´erique, une tol´erance. Il est a` noter que si l’interface mat´eriau coupe un ´el´ement en une partie tr`es petite par rapport a` l’autre, il paraˆıt inutile d’eﬀectuer un enrichissement car il aurait un eﬀet n´egligeable. Par cons´equent, lorsqu’un noeud se situe tr`es pr`es de l’interface la valeur de la fonction de niveau calcul´ee au niveau de celui-ci est ramen´ee a` z´ero. Ainsi, si cela se produit pour deux noeuds d’un triangle, comme le montre la figure 1.7, celui-ci est consid´er´e totalement dans un mat´eriau et les noeuds qui le composent ne sont pas enrichis. En pratique, on consid`ere ls0 et ls1 les valeurs de la fonction de niveau aux deux noeuds appartenant a` un arˆete coup´ee par l’interface. On calcule le rapport −ls0 si celui est inf´erieur a` T OL, une tol´erance d´efinie arbitrairement, ls1−ls0 ls0 est mise a` z´ero et si celui-ci est sup´erieur a` 1 − T OL, ls1 est mise a` z´ero. Dans la majorit´e des cas, T OL prend 10−3 comme valeur.

Apr`es avoir pr´esent´e la m´ethode des ´el´ements finis ´etendus, nous abordons sa mise en oeuvre pour l’homog´en´eisation, en d´etaillant, dans un premier temps, la d´efinition des fonctions d’enrichissement impliquant les fonctions de niveau, puis en ´evaluant la capacit´e de cette approche en terme de convergence via des calculs d’erreurs sur des cas tests et enfin en d´ecrivant les diﬀ´erentes conditions aux limites.

X-FEM et homog´en´eisation

Enrichissement pour les interfaces mat´eriaux

Lorsque la m´ethode des ´el´ements finis est utilis´ee pour repr´esenter ces interfaces ma-t´eriaux, le maillage se conforme a` celles-ci dans le sens o`u elles sont d´ecrites par des ´el´ements du maillage. Le taux de convergence, bas´e sur l’erreur en ´energie du probl`eme, obtenu alors varie lin´eairement en fonction de la taille des ´el´ements du maillage (de type O(h) o`u h repr´esente la taille caract´eristique des ´el´ements du maillage). A contrario, si le maillage ne suit pas la discontinuit´e, le taux de convergence est tr`es faible. C’est pour-quoi, comme il est d´ecrit section 1.3.1.3, l’enrichissement de l’approximation classique doit rendre possible l’obtention du mˆeme ordre de convergence que dans le cas de l’utilisation de la m´ethode des ´el´ements finis classique. Il est donc indispensable, dans notre cas, de d´efinir une fonction d’enrichissement capable d’approcher les convergences obtenues lors de l’emploi des m´ethodes classiques afin d’en garder tous leurs b´en´efices.

Choix de l’enrichissement

La fonction d’enrichissement, capable de repr´esenter le saut de d´eformation, utilis´ee en tout premier lieu, est d´ecrite dans [61] et repr´esente la valeur absolue de la fonction de niveau (φI ) interpol´ee sur le maillage par l’interm´ediaire des fonctions de forme (NI ) : X F 1(x) = |φINI(x)| (1.28)

Cette fonction est liss´ee et permet d’obtenir une nouvelle fonction nomm´ee F 1+smoothing. Elle correspond a` la fonction F 1 a` l’int´erieur de l’´el´ement coup´e par l’interface et a` une fonction constante sur le reste du domaine. Il a ´et´e expos´e, dans [61], que celle-ci procurait un meilleur taux de convergence que la premi`ere ´etant donn´e que le lissage de la fonction d’enrichissement permet de limiter la perturbation sur les ´el´ements voisins de ceux conte-nant l’interface.

Nous proposons une nouvelle fonction d’enrichissement permettant d’avoir un eﬀet uni-quement sur les ´el´ements coup´es par l’interface. Au contraire des pr´ec´edentes, celle-ci prend une valeur nulle sur les bords des ´el´ements enrichis comme on peut le voir sur la figure 1.8(b). Ceci permet de limiter l’action de cette fonction aux ´el´ements coup´es par l’interface. Elle est d´ecrite par la relation suivante : XX F 2 (x) = |φI|NI(x) − | φINI(x)| (1.29)

Les trois fonctions sont repr´esent´ees en 1D sur la figure 1.8(a) suivante et la derni`ere en 2D sur la figure 1.8(b). Sur cette derni`ere, on peut voir que lorsque l’interface (d´efinie en trait gras sur la figure) co¨ıncide avec les arˆetes des ´el´ements, la fonction d’enrichissement est nulle, alors que lorsqu’un ´el´ement est coup´e par l’interface elle d´efinit un pic au niveau de l’iso-z´ero de la fonction de niveau repr´esentant l’interface au sein de l’´el´ement. Ce pic permet ainsi de repr´esenter le saut de d´eformation au sein d’un ´el´ement induit par l’interface entre les deux mat´eriaux. Les r´esultats obtenus, en terme de convergence, pour F 1 F 2 F 1+ smoothing noeuds enrichis noeuds interface élémentA ces diﬀ´erentes fonctions d’enrichissement sont d´etaill´es dans la section suivante sur des cas tests classiques.

Calculs d’erreurs

Afin d’´evaluer l’eﬃcacit´e de la m´ethode sur des probl`emes contenant des vides ou sur des probl`emes bi-mat´eriaux, nous cherchons a` comparer les taux de convergence obte-nus par celle-ci avec ceux r´ealis´es avec la m´ethode des ´el´ements finis. Dans un deuxi`eme temps, nous comparons ces mˆemes taux de convergence suivant les diﬀ´erentes fonctions d’enrichissement sur des cas tests.

Pour cela, nous allons, tout d’abord, d´efinir les calculs d’erreurs utilis´es qui permettent de connaˆıtre les erreurs eﬀectu´ees entre la solution du probl`eme trait´e et la solution de r´ef´erence. Plusieurs solutions de r´ef´erence sont possibles. La solution exacte du probl`eme peut ˆetre prise comme r´ef´erence dans un premier temps, mais le nombre de cas o`u elle est connue est ´evidemment restreint.

Mat´eriau `a inclusions sph´eriques

Le dernier exemple traite de mat´eriaux contenant des inclusions. Cette application provient des travaux eﬀectu´es dans [40]. Les positions des inclusions sph´eriques sont al´ea-toires, l’objectif ´etant d’obtenir un comportement homog´en´eis´e moyen sur la cellule avec plusieurs d´efinitions g´eom´etriques. En eﬀet, dans [40], un certain nombre de tirages d´e-finissant le centre des sph`eres sont ex´ecut´es afin d’obtenir ce comportement moyen pour des nombres d’inclusions diﬀ´erents. L’approche X-FEM s’av`ere dans ce cas des plus avan-tageuses puisqu’un seul maillage est utilis´e quel que soit le nombre de tirages r´ealis´es (une nouvelle d´efinition de la fonction de niveau est eﬀectu´ee pour chaque cas). Comme nous avons pu voir dans la section 1.4.5.1, les conditions de p´eriodicit´e sont d’embl´ee aﬀect´ees au maillage et ne sont donc pas d´ependantes du tirage al´eatoire. Les positions des sph`eres sont d´efinies par un algorithme al´eatoire et lorsque une nouvelle sph`ere est intersect´ee par une sph`ere d´ej`a pr´esente, une nouvelle position du centre est d´efinie ; enfin, lorsque une sph`ere est coup´ee par une face du cube, son image p´eriodique sur l’autre face est r´ealis´ee. Nous pouvons ajouter que cet exemple est tout a` fait applicable a` des cavit´es sph´eriques si l’enrichissement choisi est celui d´efini section 1.3.1.3.
Les figures 1.33 et 1.34 pr´esentent quelques tirages pour des cellules contenant 8 et 32 sph`eres. Les propri´et´es des particules sont : Ep = 70 GPa, νp = 0.2 et celles de la matrice (m) sont : Em = 3 GPa, νm = 0.35. Le volume des sph`eres repr´esente 26.78 % du volume total dans les deux cas. La figure 1.35 pr´esente les r´esultats obtenus au niveau des d´e-placements microscopiques avec X-FEM pour un mode de d´eformation macroscopique en glissement pour une cellule a` 8 et 32 sph`eres.

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Table des matières

Introduction
1 Homogeneisation numerique sur VER
1.1 Contexte
1.2 Formulation sur le volume ´el´ementaire repr´esentatif
1.3 Introduction a` la m´ethode des ´el´ements finis ´etendus
1.4 X-FEM et homog´en´eisation
1.5 Applications
Conclusion
2 Analyse multi-echelle d’une structure contenant un detail
2.1 Description de la m´ethode
2.2 Formulation du probl`eme
2.3 Mise en oeuvre
3 Application de l’approche X-FEM pour le calcul parallele
3.1 Machines parall`eles
3.2 X-FEM et calculs parall`eles
3.3 Applications
Conclusion
Conclusion
References