Application de la commande prédictive non-linéaire pour la culture des E. coli

Identification basée sur l’analyse de sensibilité

   La procédure d’identification développée ici est basée sur l’analyse de sensibilité des sorties du modèle vis-à-vis de ses paramètres. Le but de cette analyse est de déterminer les paramètres du modèle les plus influents pour chaque type d’expérience (batch, fed-batch…), et d’en déduire une stratégie d’identification pouvant s’avérer plus performante qu’une identification simultanée de l’ensemble des paramètres. Cette méthode s’apparente à une stratégie par planification d’expériences. Dans ce cas, les expériences sont déterminées par résolution d’un problème d’optimisation. En effet, les conditions opératoires et le profil d’alimentation sont déterminés pour maximiser la sensibilité du modèle vis-à-vis d’un paramètre à identifier. Dans le cadre de cette thèse, le processus d’identification proposé ci-dessous est composé de plusieurs étapes, en considérant plusieurs scénarii expérimentaux (par exemple, tout d’abord une ou plusieurs expériences en mode batch, puis une ou plusieurs expériences en mode fedbatch). Pour chacun de ces scénarii,  les paramètres les plus influents sont estimés et les valeurs des paramètres obtenues peuvent être exploitées à l’étape suivante. La démarche proposée ici peut être généralisée en utilisant plusieurs jeux de données (correspondant à des conditions expérimentales différentes) et plusieurs étapes successives (où les valeurs des Application de la commande prédictive non-linéaire pour la culture des E. coli paramètres obtenues à une étape peuvent servir soit pour fixer la valeur de certains paramètres à l’étape suivante, soit pour initialiser l’identification d’autres paramètres. Finalement, on peut imaginer de libérer à nouveau l’ensemble des paramètres et procéder à une identification initialisée par les valeurs obtenues aux étapes précédentes. La motivation première de la stratégie proposée, comparativement à une stratégie d’identification simultanée de l’ensemble des paramètres [Rocha, 2003], vient du fait qu’elle évite les problèmes de sur-paramétrisation ou de conditionnement lors de la résolution des problèmes d’optimisation pendant les phases d’identification. En effet, dans le cas où des paramètres possèdent des influences faibles pour un scénario donné, leurs valeurs identifiées ne sont pas précises et peuvent s’avérer éloignées des vraies valeurs. Ainsi, la démarche proposée a pour but de robustifier la procédure d’identification vis-à-vis des bruits de mesure et de l’influence de l’initialisation de l’algorithme.

Dépendances linéaires entre les paramètres

   A partir des vecteurs de paramètres sélectionnés précédemment, il est nécessaire d’analyser la dépendance linéaire entre les divers paramètres retenus. En mode batch, le calcul du déterminant de la matrice de Gram des fonctions de sensibilité normalisées associée aux paramètres qo max et os k montre que ces deux paramètres sont linéairement dépendants. Cette dépendance est parfaitement visible par ailleurs dans les équations des taux de croissance (en régime oxydo-fermentatif, seul le rapport entre ces deux paramètres intervient dans la dynamique du système). Dès lors, dans ce mode, le vecteur de paramètres à identifier se réduit pour le mode batch à 5 variables : ( , , , max , max ) 1 2 3 s o os k k k q q k . L’analyse des matrices de Gram pour les paramètres retenus pour chaque variable d’état permet de vérifier leurs indépendances. En effet, le calcul des déterminants des matrices de Gram des fonctions de sensibilité normalisées montre que :
ƒ les paramètres 1k et o os q max k sont linéairement indépendants par rapport à la concentration en biomasse,
ƒ les paramètres qs max , 1k et o os q max k sont linéairement indépendants par rapport à la concentration en substrat,
ƒ les paramètres qs max , 2k et 3k sont linéairement indépendants par rapport à la concentration en acétate. Par ailleurs, l’identification est réalisée en considérant les trois variables d’état simultanément. Ainsi, les paramètres ( , , , max , max ) 1 2 3 s o os k k k q q k considérés sont « globalement » linéairement indépendants (on dispose pour chacun d’eux de suffisamment d’information pour les identifier de façon indépendante). En mode fed-batch, les déterminants de la matrice de Gram associée aux paramètres s k et io k sont non nuls pour les trois variables d’état. Ces paramètres sont donc linéairement indépendants et ce résultat sera utilisé dans la démarche d’identification. Plus globalement donc, le calcul de déterminants des matrices de Gram des fonctions de sensibilité normalisées permet de choisir les paramètres à identifier pour chaque étape et enrichit la connaissance des influences établies par les Tableaux 3.1 et 3.2.

Principe de la commande prédictive

   Le principe de la commande prédictive consiste à créer pour le système asservi un effet anticipatif par rapport à une trajectoire à suivre connue à l’avance, en se basant sur la prédiction du comportement futur du système et en minimisant l’écart de ces prédictions à la trajectoire au sens d’une certaine fonction coût, tout en respectant des contraintes de fonctionnement. Cette idée est simple et intuitive, pratiquée de façon assez systématique dans la vie quotidienne. Par exemple, un piéton analyse l’état de son chemin sur un horizon assez lointain pour déterminer le chemin le plus rapide à prendre, en tenant compte des différentes contraintes (« feux de circulation », « éviter la foule », « passage glissant » …). Les techniques de commande prédictive s’appuient sur un modèle de prédiction déterminé hors ligne. Cette particularité permet de classer la commande prédictive dans la grande famille des commandes à base de modèles, dite ‘MBC’ (Model Based Control). A partir d’une trajectoire de référence à suivre connue, elles réalisent en temps réel à chaque période d’échantillonnage les étapes suivantes :
1. Calculer les prédictions des variables de sortie yˆ sur un horizon de prédiction sur la sortie Ny ,
2. Minimiser un critère quadratique à horizon fini portant sur les erreurs de prédictions futures, écarts entre la sortie prédite du système et la consigne future,
3. Obtenir une séquence de commandes futures sur un horizon de commande Nu pouvant être différent de Ny ,
4. Appliquer uniquement la première valeur de cette séquence sur le système,
5. Répéter ces étapes à la période d’échantillonnage suivante, selon le principe de l’horizon fuyant

Bref historique de la commande prédictive

   Issues de la même philosophie, plusieurs variantes de la commande prédictive ont été développées dans la littérature depuis son apparition. Ce paragraphe dresse un bilan non exhaustif de cette évolution. La philosophie de la commande prédictive est régulièrement citée depuis la fin des années 60 par les spécialistes de la commande optimale. Ainsi, la lecture de cette citation traduite de [Lee et Markus, 1967] montre que l’idée était effectivement présente depuis relativement longtemps : « Une façon d’obtenir un bouclage à partir de la connaissance des solutions en boucle ouverte est de mesurer l’état courant du système et de calculer très rapidement la trajectoire optimale. La première portion de celle-ci est alors appliquée pendant une courte période à la fin de laquelle une nouvelle mesure est acquise et une nouvelle solution optimale est calculée. La procédure est ainsi répétée ». Mais ce n’est qu’au milieu des années 70 qu’elle a été mise en œuvre dans l’industrie grâce notamment à Richalet et al. qui ont développé le logiciel IDCOM (Identification-Commande) [Richalet et al., 1976]. Les premières applications industrielles de la commande prédictive ont été réalisées dans le domaine pétrolier et pétrochimique [Richalet et al., 1978]. En 1979 et dans le même domaine, des ingénieurs de Shell, Cutler et Ramaker, ont présenté leur expérience sur un craqueur catalytique [Cutler et Ramaker, 1979], en se basant sur l’approche dite DMC (Dynamic Matrix Control). En 1987, Clarke et son équipe d’Oxford ont proposé la première version de la commande prédictive généralisée GPC (Generalized Predictive Control) [Clarke et al., 1987a] et [Clarke et al., 1987b]. La même année, Richalet et al. ont développé une autre variante de la commande prédictive, dénommée commande prédictive fonctionnelle [Richalet et al., 1987], en l’appliquant notamment au domaine de la robotique. A partir des années 90, le nombre d’applications de la commande prédictive a explosé (tout d’abord aux Etats-Unis, puis au Japon et ensuite en Europe). De nombreuses applications sont présentées dans la littérature, principalement dans le domaine des procédés chimiques [Bequette, 1991], [De Keyser, 1998], [Camacho et Bordons, 1998] et [Morari et Lee, 1999], dans le domaine de la robotique [Company et Pierrot, 1999], [Essen et Nijmeijer, 2001] et dans le domaine des bioprocédés [Rodrigues et Filho, 1999], [Zhu et al., 2000] et [Ramaswamy et al., 2005].

Commande prédictive non-linéaire

  Le problème simple issu de la minimisation du critère prédictif dans le cas d’un système linéaire invariant sans contrainte se complique singulièrement lorsque l’on envisage le cas de la commande prédictive d’un système non-linéaire sous contraintes. En ce qui concerne les contraintes en particulier, la meilleure solution consiste alors à considérer les contraintes depuis l’étape de synthèse, imposant ainsi leur présence au sein du problème d’optimisation. Cette façon de voir la commande prédictive sous contraintes engendre notamment la difficulté de mise en forme appropriée des contraintes induisant une forme canonique utilisable par les programmes d’optimisation. Cette problématique est très largement développée par exemple dans [Camacho et Bordons, 2003], [Maciejowski, 2002] et [Rossiter, 2003], références dans lesquelles on trouve également des réponses aux questions de mise en œuvre. La stratégie d’optimisation engendre également l’incertitude quant à la stabilité de la structure asservie résultante. Celle-ci étant globalement non-linéaire, tous les outils classiques d’analyse de stabilité des systèmes linéaires sont inapplicables. Des outils spécifiques doivent être utilisés, basés essentiellement sur la méthode de Lyapunov [Keerthi et Gilbert, 1988], [Mayne et Michalska, 1990]. A ce sujet, [Mayne et al., 2000] propose une vision synthétique complète des conditions de stabilité de schémas de commande prédictive non-linéaire. De façon générale, la commande prédictive non-linéaire est appliquée aux systèmes nonlinéaires en se basant pour la prédiction notamment sur un modèle non-linéaire du système, évitant ainsi le recours à une linéarisation préalable. Comme on l’a vu, elle repose sur la résolution d’un problème d’optimisation à chaque pas d’échantillonnage. Ce dernier consiste à minimiser une fonction coût sur un horizon de prédiction. Une formulation très globale de cet ensemble est donnée ci-dessous.

Analyse des performances au nominal

  La stratégie développée ci-dessus est maintenant implantée sous l’environnement Matlab™. Rappelons que l’objectif de commande est de réguler la concentration en acétate à une valeur de référence Aset tout en forçant le débit d’alimentation à suivre une trajectoire de référence Fref . Dans la suite de ce chapitre, on cherche essentiellement à illustrer les performances de la loi de commande proposée dans une configuration « nominale », à savoir en supposant que le modèle est parfait. Le signal D.O.M. introduit dans la prédiction n’agira donc pas. De même, les comparaisons avec d’autres techniques de commande se feront avec cette hypothèse de modèle adapté. Le chapitre 6 s’intéressera par la suite à tous les problèmes de robustesse et tiendra compte alors d’erreurs de modèle. Pour illustrer les performances de la loi de commande développée au nominal, trois scénarii sont successivement envisagés. Le but du premier scénario est de réguler la concentration en acétate à la valeur g/kg Aset = 0 , correspondant au fonctionnement biologique optimal. En pratique, à cause des problèmes de sensibilité des capteurs, ce premier scénario s’avère peu réaliste. Il est préférable en effet de réguler à une valeur non nulle mais malgré tout proche de 0. Ceci implique au préalable de déterminer le nouveau débit d’alimentation de référence pour cette valeur de référence non nulle, choisie égale à 0,5 g/kg . Enfin un troisième scénario, régulant initialement à 0,5 g/kg , fait intervenir un changement de consigne de façon à valider le comportement de la régulation en régime transitoire (même si ce type de scénario est peu réaliste pour le bioprocédé considéré).

Influence des paramètres de commande

  Ce paragraphe se focalise plus spécifiquement sur l’analyse de l’influence des paramètres de commande, à savoir le facteur de pondération sur la commande η et l’horizon de prédiction N. Comme nous l’avons précisé dans les deux exemples précédents, nous avons choisi comme valeurs de ces paramètres :
ƒ η = 0,1 pour le facteur de pondération sur la commande,
ƒ N = 8 pour l’horizon de prédiction.
Ce choix sera justifié à partir de l’analyse de quelques résultats de simulation présentés sur les figures suivantes. Pour tous ces tests, les conditions de simulation sont identiques à celles du deuxième exemple (régulation de la concentration en acétate à la valeur désirée Aset = 0,5 g/kg avec poursuite de la trajectoire Fref ), en faisant varier les valeurs des paramètres du critère η et N.

Table des matières

1. Introduction
1.1 Contexte
1.2 Motivations
1.3 Organisation de la thèse
2. Modélisation du bioprocédé fed-batch de culture de bactéries Escherichia coli 
2.1 Introduction
2.2 Description d’un bioprocédé
2.3.1 Schéma réactionnel
2.3.2 Modèle dynamique général
2.3.3 Modélisation de la cinétique réactionnelle
2.3.4 Modélisation des transferts gazeux
2.4 Modélisation du bioprocédé fed-batch de culture de bactéries Escherichia coli
2.4.1 Schéma réactionnel
2.4.2 Modèle macroscopique
2.4.3 Cinétique des E. coli
2.5 Mise en œuvre d’un modèle simplifié du bioprocédé de culture de bactéries E. coli
2.6 Conclusions
3. Vers une stratégie d’identification
3.1 Introduction
3.2 Identification basée sur le découplage
3.2.1 Identification des paramètres stœchiométriques
3.2.1.1 Méthode de découplage
3.2.1.2 Conditions de la « C-identifiabilité »
3.2.2 Identification des paramètres cinétiques
3.3 Identification basée sur l’analyse de sensibilité
3.3.1 Choix des paramètres à identifier
3.3.1.1 Analyse de sensibilité
3.3.1.2 Détermination des dépendances linéaires entre les paramètres
3.3.2 Procédure d’identification
3.4 Validation de l’identification
3.4.1 Intervalles de confiance
3.4.2 Erreur quadratique
3.5 Application de la stratégie basée sur le découplage au bioprocédé E. coli 
3.5.1 Découplage de la stœchiométrie et de la cinétique du bioprocédé
3.5.2 Procédure d’identification paramétrique
3.6 Application de la stratégie basée sur l’analyse de sensibilité au bioprocédé E. coli
3.6.1 Détermination des paramètres à identifier
3.6.1.1 Fonctions de sensibilité du modèle du bioprocédé E. coli
3.6.1.2 Dépendances linéaires entre les paramètres
3.6.2 Procédure d’identification paramétrique
3.7 Résultats et validation en simulation
3.7.1 Stratégie basée sur le découplage
3.7.2 Stratégie basée sur l’analyse de sensibilité
3.7.3 Stratégie d’identification simultanée
3.7.4 Validation des modèles identifiés
3.8 Conclusions
4. Détermination d’un profil optimal d’alimentation
4.1 Introduction
4.2 Formulation du problème
4.3 Résolution par l’approche directe
4.3.1 Approche séquentielle
4.3.2 Approche simultanée
4.4 Résolution par l’approche indirecte
4.4.1 Formulation du problème d’optimisation
4.4.2 Résolution
4.4.2.1 Méthode de tir
4.4.2.2 Méthode du gradient
4.4.2.3 Paramétrisation des états et des états adjoints
4.5 Récapitulatif des méthodes de résolution
4.6 Principe du Maximum de Pontryagin
4.7 Caractérisation analytique de la solution optimale
4.7.1 Caractérisation de la commande non singulière
4.7.2 Caractérisation de la commande singulière
4.7.2.1 Calcul analytique de la commande singulière
4.7.2.2 Détermination des intervalles singuliers
4.8 Application à la détermination d’un profil optimal de commande du bioprocédé E. coli
4.8.1 Mise en œuvre d’un modèle simplifié du bioprocédé E. coli
4.8.2 Définition du problème d’optimisation
4.8.3 Expressions analytiques des solutions optimales
4.8.3.1 Expression analytique de la commande non singulière upath
4.8.3.2 Expression analytique de la commande singulière using
4.8.4 Récapitulatif
4.9 Résultats numériques
4.10 Conclusions
5. Mise en œuvre d’une stratégie de commande prédictive non-linéaire 
5.1 Introduction
5.2 Commande prédictive
5.2.1 Principe de la commande prédictive
5.2.2 Bref historique de la commande prédictive
5.2.3 Commande prédictive non-linéaire
5.2.3.1 Définition de la fonction coût
5.2.3.2 Formulation du problème d’optimisation
5.3 Etude de la commandabilité du bioprocédé E. coli
5.3.1 Conditions de commandabilité
5.3.2 Commandabilité du bioprocédé E. coli
5.4 Application de la commande prédictive non-linéaire au bioprocédé E. coli
5.4.1 Objectif de commande
5.4.2 Formulation de la commande prédictive non-linéaire appliquée au bioprocédé E. coli
5.4.2.1 Définition du critère
5.4.2.2 Prise en compte d’une erreur de modèle
5.4.3 Résolution du problème d’optimisation
5.5 Analyse des performances au nominal
5.5.1 Régulation de la concentration en acétate à Aset = 0 g/kg
5.5.2 Régulation de la concentration en acétate à Aset = 0,5 g/kg
5.5.2.1 Détermination du profil d’alimentation sous-optimal associé
5.5.2.2 Résultats de simulation
5.5.3 Régulation de la concentration en acétate avec changement de consigne
5.5.4 Influence des paramètres de commande
5.6 Comparaisons avec d’autres commandes
5.6.1 Comparaison avec la commande adaptative linéarisante
5.6.1.1 Commande adaptative linéarisante appliquée au bioprocédé E. coli
5.6.1.2 Résultats de simulation
5.6.2 Comparaison avec la commande par modèle générique (GMC)
5.6.2.1 Commande par modèle générique appliquée au bioprocédé E. coli
5.6.2.2 Résultats de simulation
5.7 Conclusions
6. Etude de la robustesse de la loi de commande prédictive non-linéaire 
6.1 Introduction
6.2 Robustesse vis-à-vis d’erreurs de modèle
6.2.1 Analyse d’un scénario particulier
6.2.1.1 Prise en compte de la différence objet-modèle
6.2.1.2 Utilité de la différence objet-modèle
6.2.2 Analyse statistique
6.3 Analyse de la robustesse vis-à-vis du bruit de mesure
6.4 Comparaison avec d’autres commandes
6.4.1 Comparaison avec la commande adaptative linéarisante
6.4.2 Comparaison avec la commande par modèle générique (GMC)
6.5 Conclusions
7. Conclusions – Perspectives
7.1 Bilan du travail effectué
7.2 Apports scientifiques et originalité du travail
7.3 Perspectives
8. Références bibliographiques
9. Annexes
9.1 Annexe 1 : Analyse de sensibilité en régime oxydatif
9.1.1 Fonctionnement en sous-régime 1
9.1.1.1 Bioréacteur en mode batch
9.1.1.2 Bioréacteur en mode fed-batch
9.1.2 Fonctionnement en sous-régime 2
9.1.2.1 Bioréacteur en mode batch
9.1.2.2 Bioréacteur en mode fed-batch
9.1.3 Conclusions
9.2 Annexe 2 : Expression détaillée de la matrice M
9.3 Annexe 3 : Expression de Scrit en fonction de Aset
9.4 Annexe 4 : Montage expérimental
9.4.1 Présentation du bioréacteur
9.4.2 Dispositifs de mesures
9.4.2.1 Mesure de la concentration en biomasse
9.4.2.2 Mesure de la concentration en glucose
9.4.2.3 Mesure de la concentration en acétate
9.4.2.4 Mesures et régulations du pH et de l’oxygène dissous
9.4.2.5 Mesure du poids
9.4.3 Préparation d’une préculture
9.4.4 Réalisation d’une expérience « culture »

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