Soutenance mémoire
Ordre réduit
Ce sont des modèles représentés dans l’espace d’état du système par des variables continues. Ce modèle est obtenu en considérant la moyenne des deux ou trois équations d’état selon le mode de fonctionnement du convertisseur (CCM ou DCM). Donc, nous avons un modèle mathématique pour chaque mode. Cependant, l’ordre du système est réduit seulement dans le cas du mode DCM, mais il nous semble qu’il est nécessaire d’expliquer d’abord le modèle dans le mode CCM pour mieux comprendre le principe de la modélisation et de la réduction de l’ordre. Il faut alors considérer ce modèle parmi ceux à ordre plein. Dans le cas des convertisseurs de puissance, l’ordre est généralement défini par le nombre de composants qui permet d’emmagasiner l’énergie, notamment les inductances et les condensateurs.
Pour le mode CCM, nous définissons deux phases de fonctionnement : l’interrupteur commandé est passant, u = 1 ; celui-ci est bloqué, u = 0. Dans chaque phase, le comportement dynamique du convertisseur est représenté par un modèle linéaire qui provient directement des lois de Kirchoff qui décrivent le fonctionnement du circuit :
Circuit équivalent moyenné
Pour modéliser un convertisseur avec cette méthode, au lieu d’une représentation d’état, un circuit moyenné est obtenu à partir des topologies des circuits de chaque état d’un mode de fonctionnement (deux pour CCM et trois pour DCM).
Une topologie moyenne globale est donc établie en remplaçant la partie contenant les éléments non linéaires (transistors et diodes) [WM73], appelée « partie de commutation », par un circuit équivalent. Les méthodes pour choisir et manipuler les expressions des courants et des tensions pour obtenir une expression moyenne globale et éventuellement un circuit moyen, sont faites de différentes manières dans la littérature. Le circuit équivalent est généralement composé des éléments passifs, de transformateurs idéaux et de sources de courant et de tension dépendantes d’autres courants et tensions dans le convertisseur.
Dans [Vor90a], l’interrupteur et la diode sont remplacés par un quadripôle composé d’éléments non linéaires. Ces éléments sont ensuite linéarisés autour du régime permanent pour obtenir un modèle « petits » signaux. Dans le cas du mode DCM [Vor90b], les expressions utilisées pour trouver le schéma équivalent prenant en compte d sont ensuite utilisées pour déterminer la frontière entre les modes DCM et CCM.
Prenons l’exemple du convertisseur basique Buck-Boost, en mode CCM, présenté sur la Fig. 1.3 (a) où les interrupteurs actif (transistor) et passif (diode) sont regroupés dans un seul bloc fonctionnel (quadripôle) appelé « interrupteur PWM ». Le terme PWM (Pulse Width Modulation) correspond à « Modulation à Largeur d’Impulsion » en anglais. Ce bloc fonctionnel représente la non linéarité du convertisseur et est représenté comme un dispositif à trois bornes sur la Fig. 1.3 (b). Pour des raisons évidentes, les désignations des bornes « a », « p » et « c » se référent à « actif », « passif » et « commune », respectivement. La désignation des entrées/sorties des tensions et courants du quadripôle sont importantes si nous considérons l’interrupteur PWM comme la composante de base des convertisseurs. De plus, les éléments du circuit externe sont connectés à l’interrupteur
État de l’art des modèles pour convertisseurs DC-DC
PWM d’une manière à assurer les notations de la Fig. 1.3 (b), ce qui permet aussi d’insérer ce même interrupteur PWM dans d’autres convertisseurs basiques avec une simple permutation. D’après la Fig. 1.3 (b), il est clair que :
Ordre plein corrigé
Cette méthode est fondée sur le principe d’un espace d’état moyenné. Néanmoins, elle a été établie pour le mode DCM, mais peut être également utilisée pour le mode CCM. La raison est d’essayer d’éviter la réduction de l’ordre dans le mode DCM, car cela conduit à « la perte de la dynamique » d’une variable d’état. L’ordre est conservé en ajoutant une contrainte sur le deuxième rapport cyclique d 2 .
Espace d’état moyenné
En mode CCM, la moyenne du produit di L est identique au produit des moyennes, et la moyenne de l’espace d’état donne le même résultat que la moyenne des équations décrivant le fonctionnement du circuit. En revanche, dans le mode DCM, la moyenne du produit di L ne donnera pas le même résultat que le produit des moyennes[SMG + 98] [SMG + 01]. Selon la Fig. 1.2, la moyenne du courant en DCM est : ¯ i L = iLmax
Espace d’état moyenné numérique
Le principe de cette méthode est comparable à l’approche précédente en termes de la contrainte sur d2 et la matrice de correction M. Cependant, toutes les mé thodes présentées ajoutent l’effet de termes parasites après avoir établi les expres sions mathématiques. Dans cette approche, les termes parasites, représentés par les résistances équivalentes en série avec les inductances et les condensateurs, sont intégrés avant d’avoir établi le modèle mathématique, en raison de la complexité et difficulté de les intégrer analytiquement dans certains cas. Par conséquent, en présence de ces termes, la matrice M n’aura plus la forme donnée dans le para graphe précédent, mais une forme complexe à trouver analytiquement. En mode DCM, le modèle moyen, incluant les termes parasites dans les matrices d’état, peut être représenté par [DJ01] :
Discussion sur les modèles
Comme nous l’avons vu, diverses approches sont impliquées dans la modélisation des convertisseur DC-DC et conduisent parfois à des résultats similaires.
En réalité, chaque approche à été conçue pour un objectif. Il faut donc pouvoir déterminer l’utilisation de chacune d’elles afin de décider lesquelles seront utiles et dans quelles perspectives. Après avoir analysé ces modèles, nous estimons leurs potentialités, vis-à-vis de leur exploitation pour l’analyse des comportements des convertisseurs et la synthèse de lois de commande globales robustes, en termes de la complexité mathématique, précision et faisabilité d’implantation pratique.
Le modèle moyen, représenté par (1.1), fournit un modèle unifié pour tous les types de convertisseurs DC-DC en utilisant une forme générale canonique. La représentation d’état globale permet d’analyser la stabilité et la conception des lois de commande non linéaires. Ce modèle bilinéaire est assez simple mathématiquement et est valide sur tout l’espace de fonctionnement du convertisseur. Il reflète donc le comportement moyen des variables d’état. Dans la majorité des cas, le dimensionnement du circuit du convertisseur est fait de façon à assurer des ondulations faibles autour de la valeur moyenne. Il est donc très raisonnable d’utiliser ce modèle pour l’analyse et la synthèse. Cependant, il est valide pour une plage de fréquences qui doit être inférieure à la fréquence de commutation. Dans les applications industrielles, les contraintes de poids et d’encombrement obligent souvent le concepteur à choisir des fréquences de découpage élevées. En revanche, le mode DCM n’est pas bien représenté en raison de la réduction de l’ordre qui conduit à la perte de la dynamique d’une variable d’état.
L’approche par modèle en circuit moyenné dans la section 1.1.1.2.1 est très utile pour l’analyse des fonctions de transfert locales, l’étude des impédances d’entrée et de sortie du circuit du convertisseur et l’intégration avec d’autres circuits électroniques. Cependant, l’exploitation pour la synthèse des lois de commande non linéaires robustes est limitée.
Dans les sections 1.1.1.2.2 et 1.1.1.2.3, les modèles d’ordre plein présentent une formulation plus précise que le modèle moyen initial. Ils reflètent, selon les précisions de leurs approximations, les ondulations des signaux en temps réel et sont moins limités en fréquence. Néanmoins, ils sont conçus pour le mode CCM seulement et ont des formulations mathématiques complexes, ce qui rend très difficile leur exploitation pour la synthèse des lois de commande non linéaires. Ils conviennent mieux aux convertisseurs à résonance.
Choix des modèles et conclusion
Le choix d’un modèle pour une commande est déterminé selon les exigences pour atteindre certains niveaux de performances (précision, rapidité, insensibilité aux bruits, …) et de robustesse exprimés par le cahier des charges. Cependant, pour un système donné, il n’est pas toujours facile de décider quelle loi de commande donnera les meilleurs résultats, mais il est possible d’envisager une classe des lois de commande et de les étudier. Par conséquent, les classes de structures/méthodes de commande exigeront des modèles dédiés. Cette thèse se focalise donc sur la synthèse des lois de commande non linéaires tout en assurant la faisabilité de leur implantation pratique et de la réponse aux cahiers des charges.
Dans un premier temps, le comportement non linéaire des convertisseurs DCDC est précisément analysé afin de mieux comprendre et choisir des lois de commande adaptées. Pour cela, le modèle moyen bilinéaire (1.1) est utilisé, et une caractérisation est définie dans le chapitre 2. Nous estimons que ce modèle reflète suffisamment l’analyse souhaitée pour la commande avec un bon compromis précision/complexité. Il est alors utilisé pour étudier et synthétiser des lois de commande et des observateurs par l’approche des modes glissants (chapitre 3). De plus, l’approche énergétique est particulièrement abordée dans cette thèse et les modèles énergétiques sont en conséquence étudiés et détaillés dans le chapitre 4.
L’approche par « immersion et invariance » est exploitée pour l’estimation et l’observation (chapitre 5). Le modèle moyen bilinéaire est encore utilisé. Dans toutes les approches traitées, les avantages, inconvénients et conséquences du choix du modèle correspondant sont clarifiés dans les chapitres dédiés. Finalement, le choix des modèles à temps continu et non pas discrets se fonde sur la discussion donnée dans la section 1.2
Caractérisation et corrélation en boucle fermée
Dans la section précédente, les propriétés en boucle ouverte ont été validées. Maintenant, la réponse en boucle fermée est analysée, où la tension de référence varie dans un premier temps en fixant R, et où R varie en fixant la consigne dans un second temps. La Fig. 2.17 montre le prototype expérimental du convertisseur SEPIC (à droite) avec le banc de variation de charge (à gauche). La commande en boucle fermée à été implantée en utilisant un régulateur PI.
Conclusions
Dans ce chapitre, nous avons proposé une méthode systématique pour l’analyse et l’étude des convertisseurs DC-DC, convenant à la synthèse des lois de commande, en partant du dimensionnement de ses composants, et en passant par la définition des marges de fonctionnement selon l’intérêt de son utilisation, jusqu’à l’analyse des conséquences du comportement non linéaire sur les réponses fréquentielles. Cette analyse à été faite en utilisant le modèle moyen et sa corrélation avec le circuit réel a été effectuée afin de valider, au regard des réponses expérimentale, les différentes remarques.
Commande discontinue
La commande par modes glissants appartient à une classe des lois de commande plus large appelée « commande à structure variable » où le changement de structure est généralement effectué par commutation au niveau de l’organe de commande. L’objectif de cette méthode est de contraindre la trajectoire du système, à l’aide d’une commande discontinue, à évoluer et se maintenir, au delà d’un temps fini, sur une surface, appelée « surface de glissement » s(x), où le comportement résultant correspond à une dynamique souhaitée. Le terme « surface » n’est pas précis au sens qu’il représente une surface à l’aide de deux vecteurs, mais il est communément utilisé. Le terme plus précis est « hyperplan » de dimension égale à celle de l’ordre du système diminuée de un. Donc, la synthèse d’une commande par modes glissants s’effectue généralement en deux étapes [Utk93] : définition ou choix de la surface de glissement s(x) qui prend en compte les objectifs attendus de la commande, et recherche d’une commande qui mène le système au glissement sur la surface. La surface peut être une expression linéaire ou non linéaire qui dépend du vecteur d’état x ou d’un vecteur dont les éléments sont une combinaison des variables d’état, et qui sera appelé « vecteur de commande (x 0 ) ». Le régime du système ainsi commandé est appelé modes glissants et la dynamique de celui-ci peut être rendue, du moins dans un certain intervalle, insensible aux variations paramétriques, aux erreurs de modélisation et à certaines perturbations externes. La loi de commande par modes glissants est relativement simple à concevoir et présente des qualités de robustesse vis-à-vis de certaines classes de perturbations. Les caractéristiques de ce type de commande sont :
– comportement dynamique du système adapté par le choix de la stratégie de commutation.
– réponse en boucle fermée insensible aux perturbations et aux changements de paramètres (ce qui garantit la robustesse du système).
– choix de la surface assez vaste selon les cas.
– emploi relativement limité dans beaucoup d’applications, par exemple le cas des systèmes mécaniques, en raison des discontinuités de la commande.
Application à un convertisseur de type SEPIC
Nous proposons, dans cette section, de modifier la façon classique dont la commande par modes glissants est formulée. Nous illustrons cette modification en appliquant la stratégie proposée sur un convertisseur SEPIC. La philosophie de la démarche proposée est d’obtenir une stratégie de commande qui non seulement garantit des très bonnes performances et s’appuie sur une preuve théorique pour assurer la stabilité et même, la robustesse en stabilité ; mais aussi permet d’aboutir à une complexité de commande qui rend la loi de commande suffisamment simple (complexité de synthèse, implémentation pratique, …) afin d’être exploitable dans un environnement industriel.
Cela revient à gérer un compromis entre complexité théorique et complexité pratique que nous essayons de rendre optimal. En appliquant la commande discontinue, nous nous retrouvons avec une fréquence de commutation variable, ce qui conduit à la complexité du matériel du prototype expérimental. Pour pallier ce problème, une façon de procéder est d’utiliser la commande équivalente qui consiste à admettre qu’en modes glissants, tout se passe comme si le système était piloté par une commande qui rend la surface invariante dans le temps : s(x) = 0 ; ˙ s(x) = 0.
Néanmoins, en partant d’un point quelconque de l’espace d’état, il reste encore à vérifier que la trajectoire est attirée vers la surface de glissement, propriété obtenue généralement par une commande discontinue. Dans l’approche utilisée, nous assurons cette attraction sans l’ajout de la composante discontinue. Le convertisseur est donc piloté en faisant varier le rapport cyclique tout en conservant une fréquence de commutation constante.
La surface de glissement est souvent exprimée comme une combinaison linéaire des variables d’état ou des éléments du vecteur de commande pour la simplicité et la faisabilité de la loi de commande. En général, l’ordre de la commande
par modes glissants est défini comme l’ordre de la dérivée de la variable de sortie y intervenant dans l’expression de la surface de glissement [SFS04]. Ainsi, il existe des lois de commande d’ordre élevé, par exemple l’algorithme « Super Twisting ».
Cependant, pour mieux comprendre et classifier les différentes surfaces, nous définissons, dans le cadre de ces travaux, un autre ordre qui est l’ordre de la surface de glissement. Cet ordre représente « le nombre de variables d’état présents dans s(x) » ; néanmoins, il ne faut pas le confondre avec l’ordre de la dynamique de glissement. La réduction de l’ordre de la surface de glissement est généralement préférable afin de limiter le nombre de paramètres de réglage intervenant dans la loi de commande. Avant d’exposer notre approche, nous rappelons brièvement le modèle utilisé pour synthétiser les lois de commande et ensuite nous montrons l’efficacité de quelques surfaces classiques issues de la littérature.
Comme montré dans le chapitre 1, le modèle moyen bilinéaire est obtenu, en mode CCM, en moyennant les deux représentations linéaires (états fermé et ouvert de l’interrupteur) utilisant le rapport cyclique d .
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Table des matières
Remerciements
Avant-propos
Table des matières
Liste des tableaux
Table des figures
Introduction générale
1 Modélisation des convertisseurs DC-DC
1.1 État de l’art des modèles pour convertisseurs DC-DC
1.1.1 Modèles continus
1.1.1.1 Ordre réduit
1.1.1.2 Ordre plein
1.1.1.3 Ordre plein corrigé
1.1.2 Modèles discrets
1.1.2.1 Modèle linéaire
1.1.2.2 Modèle bilinéaire
1.1.2.3 Modèle bilinéaire amélioré
1.1.2.4 Modèles non linéaires
1.1.3 Modèles hybrides
1.1.4 Modèles linéaires à paramètres variants .
1.1.5 Modèles énergétiques
1.2 Discussion sur les modèles
1.3 Choix des modèles et conclusion
2 Analyse du point de vue de la commande
2.1 Pré-dimensionnement et analyse du fonctionnement quasi-statique
2.1.1 Pré-dimensionnement des éléments passifs
2.1.1.1 Relation entrée/sortie
2.1.1.2 Conditions de conduction continue
2.1.1.3 Pré-dimensionnement de L 1
2.1.1.4 Pré-dimensionnement de L 2
2.1.1.5 Pré-dimensionnement de C2
2.1.1.6 Pré-dimensionnement de C1
2.1.2 Pré-dimensionnement du MOSFET et de la diode
2.1.2.1 MOSFET, pertes en conduction
2.1.2.2 MOSFET, pertes en commutation
2.1.2.3 MOSFET, contraintes maximales
2.1.2.4 Diode, pertes en conduction
2.1.2.5 Diode, contraintes maximales
2.1.3 Résultats numériques
2.2 Marges de fonctionnement
2.3 Effet des zéros instables
2.4 Corrélation du modèle moyen
2.4.1 Caractérisation et corrélation en boucle ouverte
2.4.2 Caractérisation et corrélation en boucle fermée
2.5 Conclusions
3 Commande et observation par modes glissants
3.1 Principes généraux de la commande par modes glissants
3.1.1 Commande discontinue
3.1.2 Commande continue
3.1.3 Application à un convertisseur de type SEPIC
3.1.3.1 Modes glissants du premier ordre
3.1.3.2 SMC du second ordre
3.1.4 Simulation et validation expérimentale des performances
3.1.4.1 Réglage du régulateur P.I
3.1.4.2 Commande par retour d’état
3.1.4.3 Commande par modes glissants : analyse des résultats obtenus
3.1.5 Analyse de robustesse
3.2 Synthèse des observateurs par modes glissants
3.2.1 Synthèse de l’observateur
3.3 Conclusions
4 Modélisation et commande par approches énergétiques
4.1 Modélisation par approches énergétiques
4.1.1 Le modèle d’E ULER-L AGRANGE
4.1.1.1 Principe de la modélisation d’E ULER-L AGRANGE
4.1.1.2 Application aux convertisseurs
4.1.2 Le modèle Hamiltonien
4.1.2.1 Principe de la modélisation Hamiltonienne
4.1.2.2 Application aux différents convertisseurs
4.1.3 Modulation de largeur d’impulsion et modélisation moyenne (PWM)
4.2 La passivité : principes, théorèmes et méthodes
4.2.1 Principes de la passivité
4.2.2 Exemple de système passif : le circuit RLC série
4.2.3 Définitions et propriétés de la passivité
4.2.4 Méthodes de synthèse de lois de commande par passivité
4.2.4.1 Injection d’amortissement (DI)
4.2.4.2 Assignation d’interconnexion et d’amortissement (IDAPBC)
4.3 Commande des convertisseurs DC-DC par passivité
4.3.1 Le convertisseur Buck
4.3.1.1 Synthèse par « damping injection » (DI)
4.3.1.2 Correction par IDAPBC
4.3.2 Le convertisseur Boost
4.3.2.1 Correction par « damping injection »
4.3.2.2 Correction par IDAPBC
4.3.3 Le convertisseur SEPIC
4.3.3.1 Correction par IDAPBC modifiée
4.3.3.2 Correction PI passive
4.4 Conclusions
5 Observation et estimation par immersion et invariance
5.1 Principe d’immersion & invariance
5.2 Principe général d’estimation des paramètres utilisant l’I&I
5.3 Principe d’observation utilisant l’I&I
5.4 Observateur pour la loi PI passive
5.4.1 Synthèse de l’observateur
5.4.2 Stabilité observateur-régulateur PI passif
5.4.3 Application au convertisseur SEPIC
5.4.4 Résultats en simulation et expérimentaux
5.4.4.1 Simulations
5.4.4.2 Résultats expérimentaux
5.5 Estimateur et observateur pour la loi IDAPBC
5.5.0.3 Estimateur de charge
5.5.0.4 Observateur
5.5.0.5 Stabilité globale
5.5.0.6 Simulations et résultats expérimentaux
5.6 Conclusions
Conclusions générales et perspectives
Bibliographie
