Soutenance mémoire
Séries de Volterra et méthode multilinéaire de Schetzen
Les series de Volterra, que nous devons au mathematicien italien Vito Volterra, ont ete introduites pour la premiere fois en 1887 dans le cadre d’un effort pour une analyse systematique des systemes non lineaires. Ce n’est toutefois que dans les annees 1950, grace au mathematicien americain Norbert Wiener (Wiener, 1958), ainsi qu’a la traduction anglaise des travaux de Volterra (Volterra, 1959), que les series de Volterra seront appliquees a des problemes pratiques, dont l’analyse des circuits non lineaires. Wiener utilisa pour la premiere fois les series de Volterra afin d’analyser la reponse d’un circuit R-L-C dans lequel la resistance etait non lineaire. La tension aux bornes de la resistance etait alors representee par Wiener comme une serie de puissance du courant a travers l’element. Le succes de cette approche amena Wiener a considerer l’analyse en series de Volterra comme une composante essentielle de la theorie des systemes non lineaires (Schetzen, 2000). La relation entree/sortie d’un systeme non lineaire peut etre approchee par une serie de Volterra d’ordre, avecsuffisamment grand: ou et sont respectivement la sortie et l’entree du systeme (figure 1-3). La fonction multidimensionnelle est le noyau de Volterra d’ordre et represente la reponse impulsionnelle d’un systeme d’ordre .
Dans le cas de l’analyse d’un circuit contenant des éléments non linéaires, on substitue tensions et courants par leurs expansions en series de Volterra dans l’equation differentielle non lineaire originale du circuit. On obtient ainsi un ensemble de N equations differentielles lineaires, representant chacune un circuit de Volterra d’ordre k; l’analyse complète du circuit non linéaire est alors réduite à l’analyse séquentielle de circuits linéaires. La reponse du circuit original est constituee par la somme des reponses des circuits de Volterra. Il a ete demontre que est fini pour la plupart des systemes non lineaires (Boyd et Chua, 1985). L’estimation des noyaux des series de Volterra est cependant un probleme complexe, requerant l’usage d’outils mathematiques sophistiques (Diaz et Desrochers, 1988), (Schetzen, 1980). La methode multilineaire proposee par Schetzen (Schetzen, 1985) est une simplification de l’analyse des reseaux faiblement non lineaires par les developpements en series de Volterra. Elle evite les multiples integrales et noyaux de l’analyse de Volterra, qui ne sont plus explicitement determines. Dans cette methode, l’auteur determine les circuits de Volterra a partir de modeles equivalents pouvant se decomposer en une serie de puissances, pour chaque type de composants communement rencontres dans un circuit electrique (voir tableau 1.1).
Le circuit equivalent d’ordre ? d’un circuit non lineaire donne est ensuite obtenu en remplacant chaque element par son modele (Schetzen, 1985), la reponse du circuit original etant toujours calculee en faisant la somme des reponses des circuits de Volterra. La limitation fondamentale de l’analyse en series de Volterra, et donc de la methode de Schetzen qui en decoule, est que le taux de convergence des series obtenues lors de l’analyse depend du niveau de non-linearite. Une convergence rapide ne peut etre atteinte qu’avec un faible signal d’entree et une faible non-linearite; par consequent ces methodes sont seulement utiles pour l’analyse de circuits quasi lineaires pour lesquels les series convergent rapidement (Schetzen, 1985). Utiliser plus de termes dans cette serie resulte en une complexification exponentielle des calculs; par ailleurs, la serie peut diverger pour des termes d’ordre eleve lorsque des fonctions avec des non-linearites exponentielles sont developpees. Dans ce cas, la serie n’est plus une representation adequate de la relation entree/sortie du systeme non lineaire considere.
LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES SIMULTANÉES ET LEUR RÉSOLUTION
La résolution d’un système d’équations en dimension finie ou infinie est souvent la dernière étape menant vers la solution de problèmes théoriques ou pratiques, en ingenierie ou en physique; c’est notamment le cas des methodes numeriques d’analyse de circuits non lineaires presentees dans la revue de litterature du chapitre precedent, dont les methodes de compensation et de balance des harmoniques. Meme pour les systemes d’equations unidimensionnels (? ? ?, voir definition 2.2), la plupart des equations non lineaires n’ont pas de solution analytique, c.-a-d. qu’elles ne peuvent etre obtenues en un nombre fini d’operations. Des methodes iteratives doivent alors etre utilisees afin d’approcher une solution de plus en plus precisement, d’une iteration a l’autre. Il s’agit d’algorithmes generant une sequence de solutions approchees. Suivant une breve section dediee a quelques definitions utiles, deux algorithmes iteratifs frequemment utilises pour la resolution de systemes d’equations non lineaires sont presentes dans ce chapitre. Il s’agit tout d’abord de la méthode du point fixe, employee dans les travaux de (Fortin et al., 2002), travaux sur lesquels est base le present memoire, puis de la méthode de Newton-Raphson, largement la methode iterative la plus souvent rencontree pour ce type de probleme. Nous terminons ce chapitre par une introduction aux methodes de Quasi-Newton, a travers la methode de Broyden, et par une section dediee a la methode de Newton-Krylov. Ces methodes permettent de pallier a certaines faiblesses de Newton-Raphson pour les systemes non lineaires de grande taille tels que ceux generes par les modeles frequentiels vus au chapitre precedent.
Méthode de Newton-Krylov
La methode de Newton-Krylov est une variante de la methode de Newton dans laquelle une technique basee sur les sous-espaces de Krylov est utilisee pour resoudre approximativement l’equation lineaire (2.9) en evitant de formuler explicitement le Jacobien. Elle est notamment utilisee par (Nastov et White, 1999) pour diminuer le temps de calcul de la Methode de Balance des Harmoniques. La variation de la methode de Newton-Krylov la plus communement rencontree est basee sur la resolution pour de la condition de Newton inexacte (Knoll et Keyes, 2004) : (2.14) Dans le contexte de la methode de Newton-Krylov, pour chaque iteration de Newton n, le ≪ terme de forcage ≫est choisi, puis une methode de Krylov, le plus souvent la methode iterative de minimisation du residu generalisee (plus connue sous l’acronyme GMRES, issu de l’Anglais Generalized Minimum RESidual), est appliquee pour trouver un satisfaisant (2.14). Le choix adequat de ?? est de premiere importance pour le succes de Newton-Krylov : en effet, plus sa valeur est petite, plus il faut d’iterations de la methode de Krylov a chaque iteration de Newton; inversement, plus sa valeur est grande et moins la methode de Krylov necessite d’iterations pour satisfaire (2.14), provoquant toutefois une convergence plus lente de Newton sur un plus grand nombre d’iterations.
Un compromis doit donc etre trouve entre l’effort requis pour resoudre le systeme lineaire selon une faible tolerance et le nombre d’iterations non lineaires en resultant, tout en evitant une sur-resolution inutile du systeme lineaire. Il existe dans la litterature plusieurs schemas pour trouver un ?? adequat, de facon adaptative (Eisenstat et Walker, 1996), (Knoll et Keyes, 2004). La convergence de la methode de Newton-Krylov est approximativement lineaire (Smirnov et Sa, 2009), et devient asymptotiquement quadratiquement convergente lorsque.
Ce chapitre etait dedie a une analyse detaillee des methodes numeriques employees pour resoudre les modeles frequentiels d’analyse de circuits non lineaires presentes dans le chapitre precedent. Nous avons ainsi presente les methodes du Point Fixe et de Newton-Raphson, en plus d’une introduction de quelques definitions utiles relatives aux systemes d’equations non lineaires et a la convergence des methodes numeriques de resolution. Nous avons egalement aborde deux variantes de la methode de Newton-Raphson, qui permettent d’eviter une formulation explicite du Jacobien et s’affranchissent ainsi notamment du calcul de l’inverse de celui-ci a chaque iteration, l’un des principaux defauts de la methode de Newton, particulierement lorsqu’elle est appliquee a la resolution de systemes de grande taille tels que ceux formes par les modeles frequentiels. Le chapitre suivant est consacre a l’expose de notre methodologie de resolution du systeme d’equations propose par (Fortin et al., 2002). Cette methodologie repose sur l’utilisation de l’algorithme de Recuit Simule.
Apres avoir analyse en quoi les methodes de Point Fixe ou de Newton-Raphson pourraient se montrer inadequates pour la resolution des systemes d’equations non lineaires formes par la MFC, nous faisons dans le chapitre 3 l’hypothese que l’algorithme de Recuit Simule pourrait representer une bonne alternative notamment parce qu’il est global et qu’il n’implique aucun calcul de derivees ni inversion de matrices.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 REVUE DE LITTERATURE
1.1 Analyse des circuits non lineaires : methodes temporelles
1.1.1 Methode nodale modifiee
1.1.2 Methode de compensation
1.2 Analyse des circuits non lineaires : methodes hybrides temporelles-frequentielles
1.2.1 Series de Volterra et methode multilineaire de Schetzen
1.2.2 Methode de balance des harmoniques
1.2.3 Methode frequentielle de compensation
1.3 Modelisation analytique de l’onde de choc induite par la foudre
1.3.1 La fonction double-exponentielle
1.3.2 Le modele de Heidler
1.4 Conclusion
CHAPITRE 2 LES SYSTEMES D’EQUATIONS NON LINEAIRES SIMULTANEES ET LEUR RESOLUTION
2.1 Definitions
2.1.1 Les systemes d’equations non lineaires
2.1.2 Convergence et vitesse de convergence
2.2 Methode du Point-Fixe
2.3 Methode de Newton-Raphson
2.4 Les Quasi-Newton : la methode de Broyden
2.5 Methode de Newton-Krylov
2.6 Conclusion
CHAPITRE 3 METHODOLOGIE : RESOLUTION DU MODELE FREQUENTIEL DE COMPENSATION PAR RECUIT SIMULE
3.1 Particularites du systeme a resoudre
3.2 Enonce du probleme comme un probleme d’optimisation globale
3.3 La methode du Recuit Simule
3.3.1 Une analogie avec la mecanique statistique
3.3.2 Algorithme et modele mathematique
3.3.3 Convergence et vitesse de convergence
3.4 Application a la resolution du modele frequentiel de compensation
3.4.1 La fonction generatrice
3.4.2 La fonction de cout
3.4.3 La fonction d’acceptation
3.4.4 Le schema de refroidissement
3.4.5 Initialisation de l’algorithme
3.5 Conclusion
CHAPITRE 4 EVALUATION DE LA METHODE ET RESULTATS
4.1 Essais sur un modele de ligne de transmission par quadripoles en cascade
4.1.1 Test de scalabilite
4.1.2 Comparaison avec ATP-EMTP
4.2 Essais de simulation d’une ligne de transmission realiste
4.2.1 Resultats de convergence selon le coefficient de non-linearite
4.3 Variation du parametre algorithmique k
4.3.1 Modele d’onde de choc de Heidler
4.3.2 Modele d’onde de choc en double exponentielle
4.4 Conclusion
CHAPITRE 5 INTERPRETATION PHYSIQUE DES RESULTATS ET DISCUSSION
5.1 Comparaison entre les methodes de compensation temporelles et frequentielles
5.1.1 Phenomene de reflexion
5.1.2 Dependances en frequence
5.2 Discussion
5.2.1 Parametres algorithmiques : temperature et schema de refroidissement
5.2.2 Parametres algorithmiques : facteur k
5.2.3 Implementation de la methode et ameliorations
5.2.4 Methodes numeriques de resolution alternatives
5.3 Conclusion
CONCLUSION
LISTE DE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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