Anneaux et modules des fractions

Anneaux et modules des fractions

Anneaux réduits

Un anneau A est dit réduit si A n’admet pas d’éléments nilpotents autre que zéro, c’est à dire que si x n = 0 pour un certain entier naturel non nul n et x ∈ A, alors x = 0.
Soient A un anneau réduit et S une partie multiplicative de R. Alors S−1A est réduit.
Soient A un anneau réduit et Q(A) son anneau total des fractions. Alors, A est réduit si et seulement si Q(A) est réduit.

Anneaux classiques

Soit A un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes : Tout ensemble non vide d’idéaux de A admet un élément maximal. Toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire. Tout idéal de A est de type fini.
Un anneau A est dit Noethérien s’il vérifie l’un des conditions équivalentes de la proposition.
Soient A un anneau Noethérien et φ : A −→ B un morphisme d’anneaux surjectif. Alors B est Noethérien.
Soient A un anneau Noethérien et M un A-module. Alors M est Noethérien si et seulement si M est de type fini.

Dimension globale faible

Soit M un A-module. On dit que la dimension plate de M est inférieure ou égale à n, s’il existe existe une résolution plate de la forme : 0 −→ Fn −→ Fn−1 −→ …d2 −→ F1d1 −→ F0d0 −→ M −→ 0 où Fi est plate pour tout i. On note f d(M) ≤ n.
Si une telle résolution n’existe pas, la dimension plate de M est infinie on note f d(M) = ∞.
Si une telle résolution existe et n est le plus petit entier qui vérifie une telle résolution, on dit que la dimension plate de M est égale à n, on note f d(M) = n.
Soit A un anneau. On appelle dimension globale faible de A, ou simplement dimension faible de A, l’entier noté wdim(A) est défini par : wdim(A) = {f d(M)/M est un module }

LES EXTENSION TRIVIALES

Soient R un anneau commutatif et M est un R-module. R ∝ M est l’ensemble des couples (a, e) muni de l’addition composante par composante et de la multiplication définie par : (a, e)(b, f) = (ab, af + be). R ∝ M est dit l’anneau extension triviale, ou simplement extension triviale de R par M. R ∝ M est un anneau commutatif avec l’élément unité (1,0).
Notons que R s’injecte dans R ∝ M via r → (r, 0). Si N est sous-module de M, alors 0 ∝ N est un idéal de R ∝ M. 0 ∝ M est idéal nilpotent de R ∝ M et on a (R ∝ M)/(0 ∝ M) ∼= R.
On remarque d’autre part que l’anneau R ∝ M est isomorphe à un anneau T tel que T={ [r m0 r]/r ∈ R, m ∈ M} avec T muni de l’addition et la multiplication usuelles des matrices. T est anneau commutatif et unitaire, et l’application R ∝ M → T défini par (r, m) → [r m0 r] est un isomorphisme d’anneaux.

L’AMALGAMATION D’ANNEAUX

Soient A et B deux anneaux commutatifs et unitaires, soit J un idéal de B, et soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux. On appelle l’amalgamation de A et B suivant J et respectant f le sous anneau de A × B défini par : A ./f J = {(a, f(a) + j)| a ∈ A, j ∈ J}
Soient A un anneau commutatif unitaire et R un A-module. l’anneau A⊕R est l’ensemble des couple dans A × B muni de l’addition composante par composante et de la multiplication définie par (a, x)(a0, x0) = (aa0, ax0 +a0x+xx0) , pour tout a, a0 ∈ Aet x, x0 ∈ R.
Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux, et soit J un idéal de B. Noter que f induit sur J une structure naturelle de A-module définie par a.j := f(a)j, pour tout a ∈ A et j ∈ J. Donc on peut considérer A⊕J.

LES (A)-ANNEAUX FORTS

Soit R un anneau commutatif et Q(R) l’anneau total des fraction de R, i.e., Q(R) = S−1R, où S est l’ensemble des éléments réguliers de R. Un anneau R est dit anneau total des fraction si Q(R) = R.
Un théorème important dans la théorie des anneaux commutatifs est que si I est un idéal d’un anneau Noethérien entièrement engendré par des diviseurs de zéros, alors l’annulateur de I est non nul. Ce résultat n’est pas vrai pour quelques anneaux non Noethérien, même si l’idéal I est de type fini. Huckaba et Keller ont introduit la définition suivante : un anneau commutatif R vérifié la propriété(A) si tout idéal de type fini de R engendré par des diviseurs de zéros possède un annulateur non nul. La propriété(A) a été initialement introduite par Quentel .
La propriété(A) est la condition(C) de Quentel). Dans ce chapitre, Nous enquêtons sur une classe particulière d’anneaux satisfaisant la propriété (A) que nous appelons anneaux satisfaisant la propriété(A)-forte.
Soit R un anneau commutatif. Nous définissons la propriété (A)- forte comme suit : » tout idéal de type fini engendré par un nombre fini de diviseur de zéro admet un annulateur non nul ». Autrement ; soit I un idéal de R, s’il existe ai ∈ R tel que I =Pn i=1 Rai et ai ∈ Z(R) pour tout i, alors il existe 0 6= a ∈ R tel que aI = 0.

Transfert de la propriété (A) forte à la duplication amalgamé d’un anneau le long d’un idéal

Soit I un idéal d’un anneau commutatif R. I est régulier si il contient un élément régulier de R (un élément non diviseur de zéro)
Soient R un anneau, I un idéal propre de R et soit S = R ./ I la duplication amalgamé de R le long de I. Alors,
Si S vérifie la propriété (A) forte, alors R la vérifie aussi.
Si S vérifie lé propriété (A), alors R la vérifie aussi.
Supposons que I est un idéal régulier de R. Alors, S vérifie la propriété (A) si et seulement si R la vérifie.

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Table des matières

1 Préliminaire
1.1 Rappel sur les modules
1.1.1 Définition
1.1.2 Modules libres
1.1.3 Modules projectifs
1.1.4 Modules plats
1.2 Anneaux et modules des fractions
1.2.1 Anneaux des fractions
1.2.2 Modules des fractions
1.3 Anneaux réduits
1.4 Anneaux classiques
1.5 Dimension globale faible
2 Les extension triviales
2.1 Introduction
2.2 Idéaux et éléments distingués de R ∝ M
2.3 Quelques constructions d’anneaux et propriétés de R ∝ M
3 L’amalgamation d’anneaux
3.1 Définition et exemples
3.2 Produit fibré
3.3 L’anneau A ./f J : quelques propriétés algébriques
3.4 Les idéaux premiers et maximaux de l’anneau A ./f J
3.5 L’extension des idéaux de A à A ./f J
3.6 Fermeture intégrale de l’anneau A ./f J
4 Les extensions triviales des anneaux et la conjecture de Costa
4.1 Définitions et résultats de base
4.2 Résultats et exemples
4.3 Discussion
5 les (A)-anneaux forts
5.1 Introduction
5.2 Transfert de la propriété (A)-forte aux extensions triviales
5.3 Transfert de la propriété (A) forte à la duplication amalgamé d’un anneau le long d’un idéal
6 les anneaux Noethériens faibles
6.1 Principaux résultats
7 Les G-anneaux
7.1 Transfert de la propriété de G-anneau au produit fibré
7.2 Transfert de la propriété de G-anneau aux extensions triviales
7.3 Exemples
Bibliographie