Soutenance mémoire
Analyse variationnelle et théorie de la mesure
Méthodes du calcul variationnel
Les méthodes du calcul variationnel abordées dans ce paragraphe interviennent dans la plupart des démonstrations des résultats d’existence des problèmes d’optimisation. A l’absence d’hypothèses de semi-continuité sur la fonction objectif, la méthode de relaxation se substitue à la méthode directe.
Semi-continuité
Dans cette partie, on considère un espace topologique (X, τ ) et une application
F : X → R
Rappelons d’abord qu’un sous-ensemble A de X est séquentiellement ouvert dans X si pour tout x ∈ A et pour toute suite (xn) convergente vers x dans X, il existe N ∈ N tel que xn ∈ A pour tout n ≥ N. Un sous-ensemble K de X est dit séquentiellement fermé dans X si x ∈ K chaque fois qu’il existe une suite dans K convergente vers x dans X. Une partie C de X est dite séquentiellement compacte dans X si pour toute suite {xn}n∈N de C, il existe x ∈ C et une sous suite {xnk }k∈N tels que {xnk} converge vers x.
Définition 1.1.1 : Une fonction F : X → R est dite τ -semi-continue inférieurement sur X, en abrégé τ -sci, si l’ensemble {x ∈ X : F(x) ≤ t} est fermé dans X.
Méthode directe
La méthode directe définit les conditions suffisantes d’optimilité d’une fonction F sur un espace vectoriel normé.
Définition 1.1.5 : La fonction F est dite inf-bornée sur X, si le niveau t de F noté Nt = N(F, t) = {F ≤ t} est borné pour tout t ∈ R. La fonction F est dite τ -coercive si, pour tout t ∈ R, il existe un sous-ensemble τ – compact Kt de X tel que {F ≤ t} ⊂ Kt . Une suite (Fn) de fonctionnelles est dite τ -équicoercive si, pour tout t ∈ R, il existe un sous-ensemble τ -compact Kt de X (indépendant de n) tel que, pour tout n ∈ N, {F ≤ t} ⊂ Kt.
Preuve : Supposons que F n’est pas inf-bornée, alors il existe t ∈ R tel que Nt n’est pas borné ; c’est-à-dire qu’il existe une suite (xn) dans Nt telle que lim n→+∞ kxnk = +∞ et lim sup n→+∞ F(xn) ≤ t; donc F ne vérifie pas la condition de coercivité. Par suite la coercivité de F implique que Nt est borné pour tout t ∈ R. Supposons qu’on n’ait pas lim kxk→+∞ F(x) = +∞ alors il existe t > 0, tel que, pour tout n ∈ N, il existe x ∈ X : kxk ≥ n et F(x) ≤ t. Donc Nt vérifie : pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ Nt tels que kxnk ≥ n et xn ∈ Nt ; donc Nt n’est pas borné. Donc le fait que Nt soit borné pour tout t ∈ R implique la coercivité de F.
Méthode de Relaxation
Lorsque F n’est pas τ -semi-continue inférieurement, en général F ne possède pas de minimum sur X. Cependant il serait intéressant d’étudier le comportement des suites minimisantes de F qui, du fait de la coercitivité, sont τ -compact. Pour cela on introduit la fonction τ -relaxée de F donnée par :
Γ(τ−)F = sup{G(x) : G est τ − sci, G ≤ F}.
Les propriétés de la fonction Γ(τ−)F sont listées dans la proposition suivante.
Transformée de Fenchel, sous-différentiabilité et ctransformée
Les outils mathématiques de cette section seront utilisés en particulier pour la définition du potentiel maximal de Kantorovich et des conditions d’optimalité du problème de transport de masse.
Définition 1.2.1 : Etant donné un espace vectoriel V muni d’une topologie d’espace vectoriel topologique localement convexe et T la famille des semi-normes, on appelle dual topologique de V l’espace vectoriel noté V’ des formes linéaires continues sur (V, T ).
Théorème de Golab et ses extensions
Dans cette section nous considérons (X, d) un espace métrique muni de la distance d et nous notons par C(X) l’ensemble de tous les sous-ensembles fermés de X. Etant donné deux fermés C et D, la distance de Hausdorff entre eux est définie par :
dH(C, D) = inf{r ∈ [0, +∞[: C ⊆ Dr, D ⊆ Cr},
où Cr = {x ∈ X : d(x, C) < r}. Il est aisé de voir que dH est une distance sur C(X), de sorte (C(X), dH) est un espace métrique. Nous rappelons les résultats usuels suivants :
i) (X, d) compact ⇒ (C(X), dH) compact
ii) (X, d) complet ⇒ (C(X), dH) complet
Preuve : Supposons, au contraire, qu’il existe deux sous-ensembles F1 et F2 non vides, disjoints et fermés tels que C = F1∪F2. Puisque F1 et F2 sont compacts, d(F1, F2) = d > 0. Choisissons ε = d/4 . Par la définition de la convergence de Hausdorff, il existe un entier positif N tel que n ≥ N ⇒ Cn ⊆ (C)ε, C ⊆ (Cn)ε. Puisque CN est connexe, nous pouvons avoir soit CN ⊆ (F1)ε ou CN ⊆ (F2)ε. Supposons, par exemple, que CN ⊆ (F1)ε. D’un côté, du fait de la convergence de Hausdorff, on a F2 ⊆ (Cn)ε, de l’autre par le choix de ε on a F2 ∩ (Cn)ε = ∅ ; absurde.
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Table des matières
Introduction
1 Analyse variationnelle et théorie de la mesure
1.1 Méthodes du calcul variationnel
1.1.1 Semi-continuité
1.1.2 Méthode directe
1.1.3 Méthode de Relaxation
1.2 Transformée de Fenchel, sous-différentiabilité et c-transformée
1.3 Théorème de Golab et ses extensions
1.4 Eléments de la théorie de la mesure
1.4.1 Espace des mesures de Radon
1.4.2 Mesure image
1.4.3 Fonctionnelles de mesures
2 Problémes de transport optimal dans les réseaux urbains
2.1 Modèlisation de la planification urbaine
2.1.1 Répartition habitants-services
2.2 Problèmes d’irrigation appliqués au trafic urbain
2.2.1 Résultats d’existence d’un réseau optimal
2.2.2 Approximation du problème de la distance moyenne
2.2.3 Simulations numériques
3 Transport de masse appliqué à la pollution en milieu poreux
3.1 Introduction
3.2 Etude du mouvement d’un fluide
3.3 Modèle de pollution en milieu poreux : cas d’une porosité constante non nulle
3.3.1 Condition d’optimalité
3.3.2 Simulations numériques
4 Reconnaissance de domaines
4.1 Position du problème
4.2 Quelques résultats préliminaires
4.2.1 Problème de Dirichlet
4.2.2 Convergence des domaines
4.2.3 Résultats théoriques d’existence
4.2.4 Dérivation par rapport au domaine
4.3 Application à la reconnaissance de domaine
4.3.1 Existence d’une forme optimale du problème posé
4.3.2 Condition d’optimalité
4.3.3 Principaux résultats
4.3.4 Algorithme et résultats de convergence
Conclusion
