Analyse structurelle pour des systèmes de commande

Analyse structurelle pour des systèmes de commande

Après avoir rappelé quelques concepts et donné les terminologies liées au thème des propriétés structurelles en général, la commandabilité structurelle, l’observabilité structurelle et la surveillabilité seront traités à partir de la modélisation par bond graphs des systèmes linéaires Sueur & Dauphin-Tanguy (1989), Sueur & Dauphin Tanguy (1991), Tagina (1995). Dans un premier temps, rappelons la représentation vectorielle d’un modèle bond graph permettant d’établir les équations d’état et par conséquent de faire de l’analyse structurelle. Le bond graph met en évidence à la fois la structure et le comportement du système étudié, il peut être considéré comme une structure de jonction reliée à quatre modules Rosenberg &  Karnopp (1983), Borne et al. (1992), Sueur (1990) : sources, capteurs, modules dissipatifs et modules de stockage (voir l’annexe A pour des rappels sur la méthodologie bond graph).

x est le vecteur d’état (composé des moments généralisés p sur les éléments I et déplacements généralisés q sur les éléments C) scindé en xi et xd respectivement associés aux composants en causalité intégrale et dérivée, x& est la dérivée par rapport au temps du vecteur d’état (variables e sur les I et f sur les C), Z représente le vecteur complémentaire de x& (les variables flux f sur les éléments I et les variables effort e sur les éléments C) scindé en Zi et Zd, u le vecteur d’entrée (sources), y vecteur de sortie (capteurs), Din le vecteur entrée du champ dissipatif d’énergie « R » et Dout le vecteur sortie du champ dissipatif d’énergie « R ».

Rang Structurel 

La représentation structurelle consiste à décrire les phénomènes physiques à l’aide d’un modèle mathématique ou graphique, où les termes non nuls qui représentent les relations entre les différentes variables sont décrites sans préciser leur valeur numérique. Différentes méthodes, liées au type de représentation, ont été utilisées pour étudier les propriétés structurelles de systèmes dynamiques Lin (1974), Perelson & Oster (1976). A une matrice A, on peut associer sa matrice de structure [A]. Cette matrice est obtenue en remplaçant chaque élément de la matrice A par *, L, 1,… Ceci repose sur l’hypothèse que tous les éléments de la matrice sont indépendants.

Le rang d’une matrice de structure [A] est égal au rang maximal de la matrice A, pour des valeurs quelconques des éléments de la matrice. Le rang structurel d’une matrice A carrée, est égal au rang de la matrice de structure [A] associé à A; il est noté rang-S [A]. Cette notion conduit à une majoration du rang réel.

La structure de jonction d’un modèle bond-graph contient les informations sur le type des éléments constituant le système et sur la façon dont ils sont interconnectés, quelle que soit la valeur numérique des paramètres. L’utilisation de cet outil pour caractériser des propriétés permet d’obtenir des résultats pratiquement toujours égaux aux résultats réels.

Dans le cadre d’une étude graphique du rang-S[A], on rappelle que l’ordre du modèle n est égal au nombre d’éléments I et C qui admettent une causalité intégrale quand on affecte une causalité intégrale au bond graph.

Définition 1. (Lien d’information) Un lien d’information est un lien ne transportant pas de puissance, il est ainsi représenté par une flèche entière pour être distingué d’un lien BG (lien de puissance représenté par une demi-flèche) .

Hypothèse 1. On ne considère que les modèles BGs ne comportant pas de liens d’information.
– Aucun élément en causalité dérivée n’est directement lié avec les entrées et les sorties dans le modèle initial.
– La structure de jonction linéaire est solvable, c’est à dire que les boucles disjointes et non disjointes sont solvables Rosenberg & Andry (1979).

Théorème 1. Sueur & Dauphin Tanguy (1991) Le rang-S[A] noté q représente le nombre de valeurs propres non nulles de la matrice A du modèle et on peut écrire: q= n − k (1.2)

où k est égal au nombre de modes nuls et représente dans le cadre d’une étude graphique le nombre de I et C restant en causalité intégrale quand une causalité dérivée est appliquée au bond graph. Il est aussi défini comme le rang bond graph « rang-BG ».

Commandabilité/ Observabilité Structurelle 

Un modèle (A, B) décrit par une équation d’état est commandable en état Ssi :

Rang [B, AB,…………..,An-1B ] = n (1.3)

Pour la commandabilité en sortie on pourra se rapporter par exemple à Rahmani et al. (1997). Il est reconnu que la structure d’un système est un élément clef dans la recherche de loi de commande, il est ainsi intéressant de définir la commandabilité structurelle.

Commandabilité structurelle

Une classe de systèmes représentée par la matrice de structure [A B] est dite structurellement commandable s’il existe au moins une réalisation (A, B) commandable. Pour pouvoir illustrer cette notion sur un modèle BG, définissons d’abord la notion de chemin causal.

Définition 2. (Chemin causal) Un chemin causal est une alternance de liens et d’éléments (R, C, I) appelés nœuds telle que tous les nœuds ont une causalité complète et correcte, et deux liens du chemin causal ont en un même nœud des orientations causales opposées. Suivant la causalité, la variable traversée est l’effort ou le flux. Pour changer cette variable il faut passer par un élément de jonction GY, ou par un élément passif (I, C ou R).

Définition 3. Rimaux (1995) (Chemin causal généralisé) Un chemin causal généralisé est un chemin causal qui peut traverser les liens de puissance et les liens d’information ou les deux. Le chemin causal généralisé est propre s’il ne contient que des liens de puissance. Il est impropre s’il contient au moins un lien d’information.

Exemple 1.2.1. Considérons le système thermofluide en régime sous saturé donné par sa représentation symbolique sur le schéma 1.2 (a). Comme nous allons voir au chapitre 2, le réservoir est modélisé par un 2-ports C et la pompe par une source thermofluide. Le modèle bond graph correspondant montré par la figure 1.2 (b) présente un lien d’information (lien 3), ce lien d’information représente le couplage des énergies hydraulique et thermique : en effet, le flux thermique ( H& ) dépend du flux hydraulique ( m& ). On est en présence de deux capteurs d’effort (un capteur de pression De: P et un capteur de température De: T) et de deux actionneurs hydraulique Sf h : m& et thermique Se :T .

– Le chemin causal h Sf – De: T passe par un lien d’information et donc c’est un chemin causal généralisé : 1 – 3 – 5 – 6 – C – 6 -10 – De: T.
– Le chemin causal h Sf – De: P ne contient pas de lien d’information, c’est un chemin causal généralisé propre ou un chemin causal tout court : 1 – 2 – 7 – C – 7 -11- De: P.

Le lien 3 montre que le flux d’enthalpie H& dépend du débit massique m& (lien 1). Si le modèle est commandable, ces chemins signifieront que la variable hydraulique « la pression » ainsi que la variable thermique « la température » du réservoir sont commandables par la source de flux débit Sf h : . m& Soit un modèle BG contenant m sources et p capteurs, on associe à ce modèle la matrice de structure [A B] ou A et B sont calculées à partir du BG, le théorème suivant peut être énoncé :

Théorème 2. Sueur & Dauphin-Tanguy (1989) Un modèle BG linéaire caractérisé par la matrice de structure [A B] de dimension n.(n + m) est structurellement commandable Ssi:

– le modèle est atteignable, c à d tous les éléments dynamiques I et C en causalité intégrale dans le bond-graph en causalité intégrale préférentielle sont causalement connectés à au moins une source indépendante par des chemins causaux.
– le rang structurel de [A B] est égal à n.

On a vu précédemment comment déterminer le rang structurel de [A]. Une extension de cette procédure permet facilement de déterminer de manière purement graphique le rang structurel de [A B].

Définitions de base d’un système de surveillance 

Afin que les pannes puissent être traitées le plus rapidement possible, deux types d’information sont à fournir à l’opérateur de supervision. Le premier concerne le niveau FDI (Fault Detection and Isolation), qui consiste à détecter et isoler les défaillances qui peuvent survenir sur l’installation afin de pouvoir diagnostiquer précisément l’origine de ces pannes Staroswiecki (1992), Staroswiecki (1994). Le deuxième niveau concerne la commande tolérante aux fautes FTC (Fault Tolerant Control). Cette étape indique les moyens de continuer à conduire le processus en présence de défaillances. La mise en œuvre de cette étape permet la reconfiguration du système ou la mise en œuvre de lois de commande tolérantes aux fautes. Afin d’éviter les terminologies différentes dans les applications industrielles de diagnostic, nous donnons dans ce paragraphe quelques définitions d’après ce qui ressort des tendances actuelles en matière de normalisation:

Terminologies

Processus Industriel
La notion de processus recouvre des secteurs industriels très variés. Au sens très large, un processus assure la fabrication d’un produit ou fournit un service Zwingelstein (1995). C’est un assemblage fonctionnel de composants technologiques associés les uns aux autres de façon à former une entité unique accomplissant ou pouvant accomplir une activité clairement définie (i.e. colonne de distillation, générateur de vapeur,…).

Composant Industriel
Un composant est un organe technologique représentant une partie du processus industriel (pompe, vanne, conduite, …).

P.I.D (Piping and Instrumentation Diagrams)

Un P.I.D définit un Plan des Instruments Détaillés ou un diagramme d’acheminement et d’instrumentation. Il comprend les outils d’agencement général destinés au positionnement et à la localisation des équipements, à la création et la gestion des lignes d’acheminement et à la création et la gestion des boucles d’instrumentation et de contrôle. Ce diagramme est utilisé pour une description visuelle de l’architecture du processus. Il utilise (selon des normes ISO) des symboles pour représenter les composants technologiques et des lignes pour leur connexion. Les entrées et sorties peuvent représenter des flux d’énergies (des variables de puissance comme débit massique, pression,…) pour les composants technologiques et des flux d’information pour les capteurs et les correcteurs.

Défaut
Le terme faute ou défaut est généralement défini comme une imperfection physique liée à la conception ou la mise en œuvre du dispositif. Un défaut peut rester caché pendant un certain temps avant de donner lieu à une défaillance Iserman & Balle (1997).

Faute ou Défaillance

La faute ou la défaillance concerne la modification suffisante et permanente des caractéristiques physiques d’un système ou d’un composant pour qu’une fonction requise ne puisse plus être assurée dans les conditions prévues Rouchouse (1992), Iserman & Balle (1997). Les défaillances sont classées selon leur origine en :

Défaillances capteur. Ecart entre la valeur réelle de la grandeur et sa mesure.
Défaillances d’actionneur. Incohérence entre les commandes et la sortie (la pompe délivre un débit incohérent avec sa caractéristique hydraulique).
Défaillances du processus physique. Ces défaillances sont dues à des modifications de la structure (fuite, rupture d’un organe,…) ou des paramètres du modèle (encrassement d’un tube d’un four, bouchage partiel d’une conduite, ..).
Défaillances du contrôleur. Ecart entre la valeur réelle de la sortie du contrôleur (selon l’algorithme implémenté) et sa mesure.

Les différentes approches de la surveillance 

Les travaux de recherche sur le diagnostic ont mobilisé ces dernières années une large communauté de chercheurs dans des domaines différents. Les premiers travaux sur le diagnostic proviennent des recherches dans le domaine médical par une application de systèmes experts en intelligence artificielle. Shortliffe (1974) expose un système de diagnostic de maladies du sang où la connaissance représente l’expertise qu’a pu acquérir le médecin sur les relations qui existent entre les symptômes observés et les causes de dysfonctionnement du système à diagnostiquer (le malade). De tels systèmes experts ont été plus tard exploités pour la supervision des hauts fourneaux de Sollac Frydman et al. (2001).

Les algorithmes de surveillances sont tous basés sur le principe de la redondance des sources d’information (figure 1.3). La redondance est obtenue par comparaison des données réelles issues du processus et des données théoriques fournies par un type de modèle (connaissance a priori). La comparaison des données réelles (transmises par les capteurs) et celles théoriques (fournies par une connaissance a priori sur le système) permet de vérifier que l’information obtenue à un instant donné reste conforme à des normes de fonctionnement normal (ou dans des limites fixées de tolérance). Cette étape met obligatoirement en oeuvre des banques de données contenant tous les modes de fonctionnement. On distingue deux étapes, une phase de détection de l’alarme et une phase de décision afin d’une part de décider de l’existence ou non de l’alarme et de localiser la défaillance d’autre part.

Table des matières

Introduction Générale
Chapitre 1 Pré requis et positionnement
1.2. Analyse structurelle pour des systèmes de commande
1.2.1. Rang Structurel
1.2.2. Commandabilité/ Observabilité Structurelle
1.2.2.1. Commandabilité Structurelle
1.2.2.2. Observabilité structurelle
1.3. Définitions de base d’un système de surveillance
1.3.1. Terminologies
1.3.2. Les différentes approches de la surveillance
1.3.2.1 Méthodes sans modèle
a) Phase d’analyse.
b) Phase de choix d’un système de détection.
c) Phase d’exploitation.
1.3.2.2. Méthodes avec modèles
a) Approche par estimation de paramètres.
b) Approche par estimation de l’état.
c) Approche par espace de parité
1.3.2.3. Modèles hiérarchiques
1.4. Surveillance des systèmes par bond graph
1.4.1. L’approche qualitative pour le diagnostic en utilisant le bond graph
1.4.2. L’approche quantitative pour le diagnostic en utilisant le bond graph
1.4.2.1. Génération de RRAs à partir de modèles BGs
1.4.2.1.1. Méthode par substitution
1.4.2.1.2. Méthode par projection
1.4.2.1.3. Génération des RRAs par parcours des chemins causaux
1.4.3. Surveillabilité directe à partir du modèle bond-graph linéaire
1.4.3.1. Surveillabilité des capteurs
1.4.3.2. Surveillabilité des sources de contrôle
1.4.4. Surveillance des composants
1.4.5. Informatisation des procédures d’analyse structurelle pour la surveillance des systèmes physiques par bond graph
1.5. Positionnement & Apport Scientifique
1.6. Conclusion
Chapitre 2 Représentation des Modèles Bond Graphs Couplés
2.1. Introduction
2.2. Représentation vectorielle des bond graphs multiénergies
2.2.1. Représentation des bond graphs à énergies couplées
2.2.2. Structure d’un modèle bond graph couplé
2.3. Systèmes multiénergies couplés en génie des procédés
2.3.1. Variables de puissance en génie des procédés
2.3.2. Classification des systèmes thermofluides au sens des modules de la représentation vectorielle
2.3.3. Représentation vectorielle d’un bond graph thermofluide
2.4. Génération de modèles BG non linéaires
2.4.1. Eléments multiports de base en génie des procédés (Elément constitutifs)
2.4.1.1. Multiport R thermodynamique
2.4.1.1.1. Causalité conductance
2.4.1.1.2. Causalité résistance
2.4.1.1.3. Multiport Mixte R
2.4.1.2. Multiport RS
2.4.1.3. Multiport C thermodynamique : accumulateur d’énergie
2.4.1.3.1. Régime sous saturé (réservoir de stockage)
2.4.1.3.2. Accumulateur de vapeur
2.4.1.4. Source thermofluide
2.4.1.5. Eléments Mécaniques
2.4.1.5.1. Pompes Externes
2.4.1.5.2. Pompe Branchée dans un circuit
2.4.2. La structure de jonction dans la représentation vectorielle
2.4.3. Bond graph à Multiliens/ lien et semi-lien multiénergie
2.4.4. Application : modèle BG non linéaire « découplé» d’un système à 3 réservoirs
2.5. Génération de modèles linéarisés des processus thermofluides
2.5.1. Méthodologie
2.5.2. Modèles Bond Graphs linéarisés des composants thermofluides
2.6. Conclusion
Chapitre 3 Analyse structurelle des modèles bond graphs multiénergies linéarisés
3.1. Introduction
3.2. Représentation vectorielle du modèle BG linéarisé
3.2.1. Généralisation
3.2.2. Cas des systèmes thermofluides
3.2.3. Quelques propriétés des matrices d’état du modèle linéarisé en génie des procédés
3.3. Commandabilité/ Observabilité Structurelle
3.4. Modèles de défauts de composants
3.4.1. Défauts paramétriques
3.4.2. Défauts structurels
3.4.2.1. Fuite de débit
3.4.2.2. Perte De Chaleur
3.4.3. Représentation des modèles en régime défaillant par bond graph linéarisé
3.4.3.1. Défaut Paramétrique sur une Résistance simple R (1 port)
3.4.3.2. Défaut Paramétrique sur un Multiport C
3.4.3.3. Cas des systèmes thermofluides
3.4.3.3.1. Sous modèle d’un défaut paramétrique R dans le BG linéarisé
3.4.3.3.2. Sous modèle d’un défaut paramétrique C dans le BG Linearisé (Déformation d’un accumulateur)
3.4.3.3.3. Fuite d’un flux thermofluide (la forme linéarisée)
3.4.3.3.4. Perte de chaleur (la forme linéarisée)
3.5. Surveillabilité des processus thermofluides
3.5.1. Introduction
3.5.2. Modèles mathématiques
3.5.3. Cahier des charges
3.5.4. Surveillabilité des capteurs
3.5.5. Surveillabilité des sources à partir des systèmes thermofluides linéarisés
3.5.6. Surveillance des composants
3.6. Conclusion
Chapitre 4 La surveillance des procédés à énergies couplées : Approche Non Linéaire
4.1. Introduction
4.2. Surveillance des systèmes non linéaires en génie des procédés ….
4.3. La platitude pour la surveillance des actionneurs en génie des procédés
4.3.1. La platitude et la surveillance
4.3.2. La platitude et la surveillance
4.3.3. Application à un système thermofluide
4.4. Conclusion
Conclusion Générale

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